Ejercicios clase 10
Funciones c´
oncavas/convexas
(1) Estudiar la concavidad o convexidad de la funci´on
f(x, y, z) = ax2+by 2+cz2
(a) cuando a, b, c > 0.
(b) cuando a, b, c < 0.
(2) Estudiar la concavidad o convexidad de la funci´on
f(x, y, z) = ln(ax +by )
con a, b > 0.
(3) Estudiar la concavidad o convexidad de la funci´on
f(x, y) = (2a+ 4)xy + 4ay −6x2−y2
con a, b > 0.
(4) Encuentre la mayor regi´on convexa del plano donde la funci´on
f(x, y) = −x3+x2−xy −y2
es c´oncava.
(5) Demuestre que el conjunto
S=(x, y, z)∈R3:−2x2−2xz + 4x−y2+ 10y−5z2≥2
es convexo.
(6) Demuestre que el conjunto
S=(x, y, z)∈R3: 5x2+ 3xy −2x+ 3y2−7y+ 4z2≤5
es convexo.
(7) Demuestre que si se verifica que λ1, . . . , λn≥0 y λ1+· ·· +λn= 1, entonces dados n
n´umeros reales x1, . . . , xn>0, tenemos que
xλ1
1·· ·xλn
n≤λ1x1+· ·· +λnxn
Utilice la desigualdad anterior para probar que si a, b ≥0, entonces
√ab ≤a+b
2
1