Universidad Nacional de Ingenier´ıa
Facultad de Ciencias
Escuela Profesional de Matem´atica
Ciclo 2025-2
Curso: ´
ALGEBRA LINEAL[BMA03]
EJERCICIOS EXTRA
1. Si se cumple que para toda matriz X∈Rn×n:traza(AX)=traza(BX ), entonces A=B.
Demostraci´on:
Consideremos pyqn´umeros fijos y arbitrarios tales que: 1 ≤p, q ≤n.
Escogemos la matriz X= (δij) , donde δij =(1 , si i=p,j=q
0 , en otro caso .
Observaci´on: Xes la matriz con todos sus elementos ceros excepto en el elemento (p, q).
Entonces
AX = (
n
X
k=1
aikδkj )=(aipδpj )
An´alogamente para BX :
BX = (bipδpj )
Finalmente
traza(AX ) =
n
X
i=1
aipδpi =aqp
traza(BX)=bq p
Por hip´otesis, tenemos que aqp =bqp , para cualquier par de enteros pyqentre 1 y n. Concluimos A=B.
2. Sean las matrices A, B yCde orden n.
a) Demuestre que traza(ABC )=traz a(CAB)=traz a(BC A).
b) ¿traza(ABC)=traza(BAC)? Demuestre o d´e un contraejemplo.
3. Sea Auna matriz ortogonal. Demuestre que det(A) = 1 o det(A)=−1.
4. Sean matrices ByP∈Rn×ntales que Pes ortogonal y Bsim´etrica. Demuestre que A=P B P −1es sim´etrica.
HINT: Use la propiedad (ABC)T=CTBTAT.
5. Sean las matrices A, B yP∈Rn×ntales que A=P B P −1. Demuestre que traza(A)=traza(B).
HINT: Use la propiedad traza(AB)=traza(B A).
6. Sean matrices AyB∈Rn×ntales que AB = 0. De una prueba o contraejemplo para cada una de las siguientes
proposiciones:
a) BA = 0
b) A= 0 o B= 0.
c) Si det(A)=−3, entonces B= 0.
d) Si Bes inversible entonces A= 0.
7. Si Aes una matriz sim´etrica de orden n,B= (bij ) y B=A2, entonces bii ≥0, ∀i.
8. Decimos que una matriz Ade orden nes diagonalizable si existe una matriz inversible Py una matriz diagonal D:
A=P DP −1. Pruebe por inducci´on que para toda matriz diagonalizable Ase cumple: An=P DnP−1,∀n∈N.
9. Sea A∈Rn×nuna matriz nilpotente de orden k. De una prueba o contraejemplo para cada una de las siguientes
proposiciones:
