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1. PROGRAMA PARTE L ÁLGEBRA Tema i Matrices 11 Concepto y definición. 1.2 13 1,4 Operaciones con matrices. Matriz traspuesta, adjunta e inversa. Matrices cuadradas especiales: Determinantes Concepto. Propledades. Desarrollo de un determinante de orden n. Determinantes especiales. Sistemas de ecuaciones lineales Definiciones. Teorema de Rouché-Frobenius. Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. Sistemas homogéneos: Diagonalización de matrices Polinomio característico, Autovalores. Autovectotes. Matrices semejantes. -Diagonalización de una matriz cuadrada. Potencia enésima de una matriz diagonalizable. Diagonalización de matrices simétricas. Formas cuadráticas Formas cuadráticas reales. Expresiones matricial y polinómica. Clasificación de las formas cuadráticas. . Congruencia matricial. Expresiones diagonales. Expresión diagonal de la forma cuadrática a través de los autovalores de A. * Estudio del.signo de la forma cuadrática: a través de los menores principales de A. 1. PROGRAMA PARTE L ÁLGEBRA Tema 1 Matrices 11 Concepto y definición, 1.2 Operaciones con matrices. 13 Matriz traspuesta, adjunta e inversa. 1.4 Matrices cuadradas especiales. Tema 2 Determinantes 21 Concepto, 22 Propiedades. . 2,3 Desarrollo de un determinante de orden h. 24 Determinantes especiales. Tema 3 Sistemas de ecuaciones lineales 341 Definiciones. 3.2 Teorema de Rouché-Frobenius. 33 Sistemas de Cramer. Regla de Cramer. 3.4 Sistemas homogéneos, Tema 4 Diagonalización de matrices 3.1 Polinomio característico, Autovalores. Autovectores. 32 Matrices semejantes. 3.3 Diagonalización de una matriz cuadrada. 3.4 Potencia enésima de una matriz diagonalizable. 35 Diagonalización de matrices simétricas. Tema 5 Formas cuadráticas 4.1 Formas cuadráticas reales. Expresiones matricial y polinómica. 42 Clasificación de las formas cuadráticas. Ñ 43 Congruencia matricial. Expresiones diagonales. 44 Expresión diagonal de la forma cuadrática a través de los autovalores de A, 45 Estudio del signo de la forma cuadrática a través de los menores principales de A. El. BIBLIOGRAFÍA FUNDAMENTAL BIBLIOGRAFÍA BÁSICA: - 'GUTIÉRREZ-VALDEÓN, S. Y FRANCO RODRÍGUEZ-LÁZARO, A. (1997): Matemáticas aplicadas a la economía y la empresa, AC, Madrid - VILAR-GIL-GUTIÉRREZ-HERAS (1993): Cálculo diferencial para la Economia. Un enfoque teórico-práctico, AC, Madrid OTRA BIBLIOGRAFÍA RECOMENDADA: - BALBAS, GIL Y GUTIÉRREZ (1991): Análisis matemático para la economía L, AC, Madrid. - BLANCO S,, GARCÍA P. Y DEL POZO E. (2003): Matemáticas empresariales 1'Vol.] Álgebra lineal, AC, Madrid. - BLANCO S,, GARCÍA P. Y DEL POZO E. (2003): Matemáticas empresariales 1 Vol.IT Cálculo alerencial AC, Madrid. - CÁMARA, CARVAJAL, GARRIDO, TOLMOS. (2000): Matemáticas para la Empresa. Ejercicios resueltos, AC, Madrid. - CALVO M.E., ESCRIBANO M.C,, FERNÁNDEZ G., GARCÍA M.C. Y ORDÁS M.P, (2003) Problemas resueltos de Matemáticas “aplicadas a la economia y le empresa, AC, Madrid. . - GUTIÉRREZ, SINESIO. (1991): Álgebra Ineal para la economía, AC, Madrid. FX ELA ASIGNATURA DEPARTAMENTO DE ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD 1 Tema 1. Matrices 1.2 1.-Comprueba que la matriz B «(| : satisface la igualdad B*+x-B+z:170. 0.0 Determina los números x, z. 1 es la matriz identidad, B?=B-B y 0= hi o 2.-Determina A en la expresión: 1 11-12 | o 1 uf PA aa lo Lara 3 310 -1/1023 2 0 1 1-23 3.- Calcula x para que el rango de la matriz A=|-2 1 0 | sea menor que 3. 3-1 x 31-2 11312) . 42 3 1322 4.- Calcula el rango de las matrices 4= y B= 102 2434 2-15 3746 10x 1 5.- Haila x e y para que el rango de la matriz | —1y-1 3 | sea2. 5x-4-3 6.- Averigua para qué valores del parámetro t, la matriz A no tiene inversa. Calcula la matriz inversa de A para t=2 si es posible: 1.0 -1 A=|0 £ 3 4 1 -/ 7.- Hallar todas las matricos A que satisfacen la ecuación lo jelo o a) 31 8.- Dada la matriz. 4= b ,) se pide: a) Hallar la matriz 3-A-AL2-1 2.0 b) Resolver la siguiente ecuación matricial: 4:X -( ] 01 11.03 1 1 2.1.4 9.- Se consideran las matrices A=)2 -—1 2|B=|-2 -3lpA=|3 0 -1 2.2 1 0 4 4 -1 5 Calcular 3A, 3A+2C, AC, CA, AB 1 1 (NN 1 10.- Sean 4= P ¿pa = E Cc ¿) Calcular las siguientes expresiones: pp 1D)1/2:A:AL BAHABC Dia:B" E (e JB 2) ABLAMBHCBLA NBC LAA (CO) Br) 7.- Averiguar utilizando determinantes, si existe algún valor de m para el cual scan linealmente dependientes los vectores (2,1,3,1), (1,0,1,0) y G.m,0,1) 8.- Encontrar el valor de t que haga que los vectores u=(3,8,t), v=(1,2,3) y w=(1,3,-1) sean linealmente dependientes xo y z 9.-Si[3 0 2|=5, caleular sin desarrollar los siguientes determinantes: 1011 2x 2y 22 Xx y z| l--1 »-1 z-] 9B/2 0 11b)Bx+3 3y 32+2y0)| 4 1 3 1 1 1 ¡xl yal z+1 1 1 1 10.- Sin desarrollar los determinantes demostrar la identidad la alle a a Po P=ia bb Moe e olaboc e DEPARTAMENTO DE ECONOMIA FINANCIERA Y CONTABILIDAD 1 Tema 3. Sistemas de ecuaciones lineales 1.- Estudiar la compatibilidad y el número de soluciones del siguiente sistema: x+2y+z=1 2x4 2y427=2 3x+3y +32 =3 2.- Estudiar la compatibilidad del siguiente sistema de ecuaciones lineales dependiente del parámetro a: xay-z=1 2x+y+07=2 x-y-2=a-1 3.- Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores del parámetro a: ax+y+z=a? x-y+z=1 3x—y-z=1 6x-y+2=30 4.- Dado el sistema dependiente del parámetro a, estúdiese la compatibilidad del sistema y en caso afirmativo delermínense sus soluciones: | x+2y+2=3 act+(a+D)y +32 =1 5.- Hallar el valor del parámetro m para que el sistema dado tenga más de una solución: 2x—-my+4z =( x+y+72=0 x-y+122=0 6. Hallar m para que el sistema lineal homogéneo dado tenga soluciones distintas de la trivial. Resuélvase en dicho caso y+22=0 3y+2=0 my+z=0 SECCIÓN DEPARTAMENTAL DE ECONOMÍA FINANCIERA Y CONTABILIDAD 1 EJERCICIOS DE ÁLGEBRA LINEAL TEMA 1. Espacio vectorial 1.- En el espacio vectorial Rí, discútase la dependencia lineal de los siguientes sistemas de vectores: sIPo7[is (982313 |-2)|11 1417 AL -4 113 /[5¡[9 (0)S74/11,/14/2)[4 1113/13//7 0012507 f- (o) S:=)| 0 0% |) — 11 /Lo 2.- Nos dan los siguientes subespacios vectoriales de R*: (a) L,=L((1,1,0,0) (5) L=L(0,0.0,1), (3,2,0,0)) (e) Ls=L(3,2,1,1), (1,0,0,0), (0,0,3,2)) (a) L4=L((2,2,1,3), (1,2,0,0), (0,3,1,1)) Hallense, en todos los casos, las ecuaciones paramétricas y las cartesianas 3.- Se dan los siguientes subespacios vectoriales (mediante sus ecuaciones cartesianas) deR* (a) Ex: 'Ñ 2 =0 %,=0 (b) La: x,=0 X +23x,=0 om Pz (d) La: 2x,+x2+x3=0 (e) La: 2x1+x9-x3+2x4=0 En todos los casos hállese la dimensión y una base del subespacio vectorial 4.- Determínese cuáles de los siguientes subconjuntos de R? son subespacios vectoriales. En caso afirmativo determinese una base de los mismos. (2) A=((x, y, z)/y=0, x, z eR] (0) B=((x, y, / x, y, z ER] (0) C=fbx, y. 2) 20ty iaa (d) D=¿(, y, z)/ 2x+y +20) (0) E=((2x, x, -3xY x eR] (6) F=(Qs, y, 2)/ 3x+4y=0, 2-0] Hoja 1 S.- En el espacio vectorial r se consideran los vectores a 1 0 vi | 6); v9= 0 [o v3=|-3 b 5 2 Calcúlese la relación que debe existir entre a y b para que los tres vectores sean lincalmente independientes. 6.- En el espacio vectorial R”, encuéntrese un vector que forme una base de R? junto a los tres siguientes: 1 2 1 -1|[/-1/ 0 o rro f-2 011 1 7.- Exprésese en forma matricial, clasifiquese y hállese una base del núcleo y de la imagen para cada una de las aplicaciones lineales: (a) £ RE tal que fla, xo, X3)(2x1-X3, Xg-Xa, x1) (b) E RR? tal que fu, x2J)=Gu, x100>, Xx 4x9) (c) E RE tal que fl2)=(x, 2x, -x) (9) £ RÍSR tal que fíx,, X2, X3)=X1-X0+X3 8.-Dados los subespacios vectoriales de R': L =[16R':2x+3x,-x,+2x, =0] L,=f[1ER' 5 =x,=0x, =1,) (a)Determínense los subespacios Lia y Ly Hz (b)Calcúlese una base de dichos subespacios vectoriales 9.- En IR? se dan los vectores -2 -3 v=| 0 |;v= -1 1 -2 Obténgase otro vector de Rí, que junto con los anteriores, forme una base de R?, 1 0 10.- Pruébess que los vectores v,=| 1 |; val 1 | generan el mismo subespacio vectorial 1 0 2 i de E, que los vectores w=| 3 |; w=| 0 |. 2 1 11.- Sea G: RÍ>R', la aplicación definida según Gíx, y, 23(X+29-2, y +2, xty-22). Hallar una base y la dimensión del núcleo y de la imagen de G. Compruébese asimismo que dim(ke(G)+dimIm(G)=3. Hoja 2 Hallar la matriz de cada una de las siguientes aplicaciones lineales: a) 2£,-3£, b) fiof e) of d) £é=fiof, e) Bo(2£-fa) 8.- Para cada wo de los siguientes endomorfismos, averiguar si son inversibles y en caso afirmativo, obtener la matriz del endomorfismo inverso: 1) £(x,, x2, 35 (0, X1, X3) 11) LG, 22, X3)= (utxo, -X1, x2+ 15) 1) 66, 2 (0% ,-2x142x2) Tv) fa(x1, xo, X3)= Gu+ 39,1 PX 1 X3, 2X1 + X2 + X3) v) 300, xoJ=(%,- 21) 9.- Suponiendo que A y B son regulares y que existe conformidad de órdenes, despejar X en cada ecuación: ¡JA-X=B 11)X-A=B ¡iAX-B=A4-B ¡mA -X+B=A vIOCAyi=aiB 100 10.-Halla la matriz X en la siguiente ecuación A-X+B=C, siendo 4=|1 2 0 . 124 100 300 B=l0 1 Olyc=la 5 2l 001 0.1.3 Hoja 4 TEMA 3. Diagonalización de matrices 10.0 l-Sea A=|2 2 0 1-13 a) Probar que es diagonalizable b) Buscar una base de autovectores del endomorfismo representado por A referido a la base canónica c)Comprobar que A=M:A:M” 2.- En cada caso: a) Buscar una base de autovectores del endormorfismo representado por A b) Comprobar que A=M-A:M”, siendo A la matriz diagonal semejante a A -112 -2 1.04 iA=[0 2 0liya=[0 2 0 0. 3-2 2.0 -1 1 0 0 2.03 ii) A=|L -1 0|ima=/0 1 0 1.11 1.0 -2 3.- Sea A la matriz que representa un endomorfismo' de R? respecto a B=1(0,0,0), (0,1,), 1,0,D3 320 A=[2 3.0 -10 1 j) Calcular la matriz diagonal Á semejante a A si existe. ji) Calcular la base de R* respecto a la cual la matriz del endomorfismo es A, iii) Calculas la matriz C del cambio de base iv) Comprobar que Á=C*-A-C 4.- Calcular A” en los casos: 1.00 2-1 3 iya=|0 -1. 0 ima=jo 1 -1 0.0.1 0.0 3 5.-Sea A una matriz cuadrada de orden 2 no nula, tal que A”=0, para algun neN a) Demostrar que todos los autovalores de A son nulos b) Hallar el polinomio característico de A Hoja 5 TEMA 4. Formas cuadráticas 1.- Sea la forma cuadrática real de dos variables; O(í, X= 214 + 2 X1X2 1) Estudiar su signo ii) Encontrar una expresión diagonal de Q(a, xa) iii) Ecuación del cambio de base XCX iv) Comprobar que C”-A'C es diagonal 2.- Estudiar, usando el criterio de los menores principales, el signo de las formas cuadráticas: 1) QGa, xo, x3)9" x6-3 XA 21 xp 2x3 11) Q(a, x= DA 2 111) Q(x, x2, | 2-3 xx xa ZE 03 PAX 3 3.-Para cada una de las matrices simétricas dada, halla una matriz no singular tal que C1-A-C sea diagonal > 1 2.20 9a-| Ja A=12 -1.0 12 0.006 4.-Obtener el cambio de variables que transforma a cada una de las formas cuadráticas dadas en otra de matriz diagonal: 1) Ou, x= 2x1 HS HA x1X0 . 11) Q(a, Xo, 1o)=2x 2h +2 (2 X1'X2 5.- Estudia el signo de cada una de las formas cuadráticas: 1) Obs, xo) 3x7 400 11) QGa, X2, 1) 2x0 +6x1x2 111) Q(, Xa, 3 3x1+5 xo 4x2 72% 23 7P4X10%3 6.-Estudiar el signo de la forma cuadrática X'-A-X, según los valores del parámetro a, siendo A= CES 0 1 1 an 7.- Encuentra una expresión diagonal de la forma cuadrática definida por la expresión Q(%, %o, a) =2x1"%2+2X9:X342X1X3 Y las ecuaciones del cambio de variables necesario 8.- Encontrar el valor de a para que sea semidefinida la forma cuadrática O(x1, xa, X= x12+2 Ko 2x1 x3 ha 0x3 Hoja 7 9.- Sea Q: RÍ>R, una forma cuadrática cuya expresión respecto a la base canónica es QGa, xo, xa) 0 +dx1x. Obténgase la expresión de Q respecto a la base Io B=41|fo¡[0 O9JUJALI 10.- Estúdiese el signo de las siguientes formas cuadráticas: a) O(x1, x0)= -2x pS +Óxy xo b) Q(x, x= A 0) O(x,, Xa, X3) =2X1%29+2x7%342X1X3 d) Ox, xo, 9) +2 2042 /2 x90%3 e) Q(, X2, X3)=X1"+2X1%2 11.- Calcúlese, según los valores de a, el signo de la forma cuadrática Q(%,x,)= (22, 0) 12,- Sean B¡=(u1, 12), B2=(v1, va), dos bases de R2 donde «aro Supongamos que la expresión polinómica de una forma cuadrática Q respecto a la base B, es Q(a, x2, 39) 0 + 4x2, Obténgase la expresión polinómica de Q respecto de la base Ba. 13.- Dada la forma cuadrática Q(u, xz, 10)2x1x0? +2x1X7, encuéntrese la expresión matricial de Q'(x/,, x2, xa”) al hacer el cambio de variables 1 =2x —-£,+x, Ly 21, +% L,=2x +x, 14.- Averíguese el signo de las siguientes formas cuadrática: AN 32 0fx dl 1 a] 1 -4 0 prR]b( *, 1)J2 0 0;x -2 0 -7)Lx 0.01 10.3 Dx 40 1x Dl, e a) 3 -10[x dr. x, 1x0 1 0Hx 2 0 4Jx vo 4)x, e) (6, E) Hoja 8 
