Tema 1:
Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes,
dado 𝑽 espacio vectorial
a) Para 𝑉=ℝ3, 𝑆= 2,−1,4 ; 4,1,8 ;(1,0,3)
b) Para 𝑉=𝑃2 ℝ , 𝑆= 1−2𝑥+3𝑥2; 𝑥+ 1 ;1 + 𝑥2
LI
LD
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Ejercicios de Álgebra Lineal: Independencia Lineal y Subespacios Vectoriales, Apuntes de Álgebra Lineal
Ejercicios para practicar sobre espacios vectoriales, bases, operaciones con espacios vectoriales, etc
Tipo: Apuntes
2019/2020
1 / 8
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¡Descarga Ejercicios de Álgebra Lineal: Independencia Lineal y Subespacios Vectoriales y más Apuntes en PDF de Álgebra Lineal solo en Docsity!
Determinar si los siguientes conjuntos de vectores son linealmente independientes,
dado 𝑽 espacio vectorial
a) Para 𝑉 = ℝ^3 , 𝑆 = 2 , − 1 , 4 ; 4 , 1 , 8 ; ( 1 , 0 , 3 )
b) Para 𝑉 = 𝑃 2 ℝ , 𝑆 = 1 − 2 𝑥 + 3 𝑥^2 ; 𝑥 + 1 ; 1 + 𝑥^2
LI
LD
Sean los sub- espacios vectorial de ℝ^3 : 𝑯 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ; 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝑾 = 𝒈𝒆𝒏 𝟏, 𝟑, 𝟏 ; 𝟏, 𝟒, 𝟑 Determine:
El subespacio generado para 𝑯 ∩ W , con una base y su dimensión.
Determine: a) Una base para 𝐻 ∩ 𝑊 y su dimensión. b) Una base para 𝐻 + 𝑊 y su dimensión.
Sean los sub- espacios vectorial de ℝ^3 : 𝑯 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ; 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝑾 = 𝒈𝒆𝒏 𝟏, 𝟑, 𝟏 ; 𝟏, 𝟒, 𝟑 Determine: El subespacio generado para 𝑯 ∩ W , con una base y su dimensión.
En consecuencia, 𝐻 ∩ 𝑊 sería:
H ∩ W = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 𝑥 + 2 𝑦 − 𝑧 = 0 ∧ 5 𝑥 − 2 𝑦 + 𝑧 = 0 }
Para encontrar una base para 𝐻 ∩ 𝑊, resolvemos el sistema de ecuaciones de las
condiciones del subespacio: 5 𝑥𝑥^ + −^2 2 𝑦𝑦^ − +^ 𝑧 𝑧^ ==^0
(- 5 F 1 + F 2 )~ 1 2 −^1
(F 2 + 6 F 1 )~ 1 0 0
Sean los sub- espacios vectorial de ℝ^3 : 𝑯 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ; 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝑾 = 𝒈𝒆𝒏 𝟏, 𝟑, 𝟏 ; 𝟏, 𝟒, 𝟑 Determine:
Entonces te El subespacio generado para nemos: 𝑯 ∩ W , con una base y su dimensión.
- 12 𝑦 + 6 𝑧 = 0 →^
Por lo tanto, el espacio generado 𝐻 ∩ 𝑊 puede ser expresado como:
H ∩ W = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 𝑥 = 0 ∧ 𝑧 = 2 𝑦}
= {( 0 , 𝑦, 2 𝑦) ∈ ℝ^3 : 𝑦 ∈ ℝ}
Todo vector en 𝐻 ∩ 𝑊 puede ser expresado: H ∩ W = gen({( 0 , 1 , 2 )})
Base 𝐻∩𝑊 = {( 0 , 1 , 2 )}, 𝑑𝑖𝑚( 𝐻 ∩ 𝑊) = 1
Sean los sub- espacios vectorial de ℝ^3 : 𝑯 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ; 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝑾 = 𝒈𝒆𝒏 𝟏, 𝟑, 𝟏 ; 𝟏, 𝟒, 𝟑 Determine: El subespacio generado para 𝑯 ∩ W , con una base y su dimensión.
b) Determine una base para 𝐻 + 𝑊 y su dimensión.
- F 1 + F 3
- 𝑥 + 𝑧
- 2 F 2 + F 3
- 𝑥 − 2 𝑦 + 𝑧
Dado que el sistema tiene infinitas soluciones y no tiene restricciones entonces, los vectores generan a todo el espacio vectorial de ℝ^3. Por lo tanto, el subespacio para 𝐻 + 𝑊 sería:
𝐻 + 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}
Sean los sub- espacios vectorial de ℝ^3 : 𝑯 = 𝒙, 𝒚, 𝒛 ; 𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝒛 = 𝟎 𝑾 = 𝒈𝒆𝒏 𝟏, 𝟑, 𝟏 ; 𝟏, 𝟒, 𝟑 Determine: El subespacio generado para 𝑯 ∩ W , con una base y su dimensión.
b) Determine una base para 𝐻 + 𝑊 y su dimensión.
Dado que el sistema tiene infinitas soluciones y no tiene restricciones entonces, los vectores generan
a todo el espacio vectorial de ℝ^3. Por lo tanto, el subespacio para 𝐻 + 𝑊 sería:
𝐻 + 𝑊 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ^3 : 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ ℝ}
Una base para 𝐻 + 𝑊 puede ser la base canónica de ℝ^3 Base𝐻+𝑊 = {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} 𝑑𝑖𝑚( 𝐻 + 𝑊) = 3