Halle una función vectorial que describa la curva hélice sobre un cono tal que en tres revoluciones suba una altura
de 10 metros y tenga un radio de 3 metros. Luego, bosqueje la gráfica de dicha curva y calcule su longitud.
Solución
Al ser una curva que gira sobre un cono utilizaremos coordenadas polares donde el radio ira variando a medida que
la curva vaya subiendo.
𝑥(𝑡)= 𝑟(𝑡)cos(∅(𝑡)) 𝑦(𝑡)= 𝑟(𝑡)sin(∅(𝑡))
Recordemos que la ecuación del cono esta dado por 𝑧2= 𝑥2+ 𝑦2, por lo tanto
𝑧2=(𝑟(𝑡)cos∅)2+(𝑟(𝑡)sin ∅)2= 𝑟2(𝑡)→ 𝑧 = 𝑟(𝑡)
Para encontrar el radio en función de “t” tomaremos en cuenta las condiciones dadas:
3𝑟𝑒𝑣𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠
𝑟𝑎𝑑𝑖𝑜
𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 →0 ≤ ∅ ≤ 6𝜋
0 ≤ 𝑟 ≤ 3
0 ≤ ℎ ≤ 10
Si elegimos parametrizar a la curva en función del radio, tendremos
𝑟(𝑡)= 𝑡 → 𝑥 = 𝑡 cos𝑎𝑡 𝑦 = 𝑡 sin𝑎𝑡 𝑧 = 𝑐𝑡,𝒂𝒕 = ∅
Observamos que para que el ángulo y la altura cumplan las condiciones debemos multiplicar a ambos por un escalar
𝑆𝑖: 𝑧 = 10 𝑦 𝑡 = 3 → 10 = 𝑐 ∙3 → 𝑐 = 10
3
𝑆𝑖:∅ = 6𝜋 𝑦 𝑡 = 3 →6𝜋 = 𝑎∙ 3→ 𝑎 = 2𝜋
Entonces la curva en su forma vectorial será
𝑅(𝑡)= 𝑡cos 2𝜋𝑡𝑖 + 𝑡 sin 2𝜋𝑡𝑗 + 10
3𝑡𝑘; 0 ≤ 𝑡 ≤ 3
Graficando obtenemos la siguiente figura
Encuentre la ecuación del plano tangente y las ecuaciones paramétricas de la recta normal a la superficie (𝒙𝒛
𝒚𝟐)𝟑=
𝟏𝟕𝟐𝟖 en el punto 𝑷(𝟐,𝟏, 𝟔).
Solución
Despejamos z de la ecuación de la superficie
𝑧 = 12𝑦2
𝑥
Primeramente, calculamos el gradiente
Si: 𝑧(𝑥,𝑦)=12𝑦2
𝑥
