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Problemas Propuestos de Análisis Vectorial
- Hallar el módulo de la resultante del sistema de vectores mostrados. Considere: a =^10 u. SOLUCIÓN De la figura:
b →
- c →
- d → = a → f →
- e → = a → , entonces, R → = a →
- b →
- c →
- d →
- e →
- f → = a →
- a →
- a → , es decir: R =^3 a =^30 u^ Rpta.
- Determine el módulo de la resultante del sistema de vectores en el rectángulo de la figura. SOLUCIÓN De la figura: R → = a →
- b →
- c →
- d →
- e →
- f → , pero d →
- e → = a → y c →
- f → =− a → , entonces R → = a →
- b → , por lo tanto: R =√^4 2
- 3 2 = (^5) Rpta.
- En la figura A =^5 ; B^ y^ C^ son desconocidos y D =^10. Calcule el módulo de la suma de vectores.
SOLUCIÓN De la figura: C → − A → = D → − B → ⇒ C →
- B → = A →
- D → , entonces R → = A →
- B →
- C →
- D → = 2 ( A →
- D → ) (^) , luego reemplazamos en ec.(9): R =^2 √^5 2
- 10 2
- 2 ( 5 )( 10 )cos 60 º = (^10) √ (^7) Rpta.
- Los módulos de dos vectores son 12 y 4 unidades; ¿entre qué valores el módulo de su resultante está comprendido? SOLUCIÓN Como: Rmáx = 12 + 4 = 16 y R min^ =^12 −^4 =^8 , por lo tanto: El módulo de su resultante se encuentra: 8 ≤ R^ ≤^16 Rpta.
- Hallar el valor del ángulo que forman dos vectores de igual magnitud. Su resultante es √^3 veces el módulo de los vectores. SOLUCIÓN Consideremos los vectores: A = a^ y^ B = a^ ⇒^ R =√^3 a^. Reempezando en ec.(9): √^3 a =√ a 2 + a 2 + 2 ( a )( a )cos ϑ De donde obtenemos: ϑ^ =^60 º^. Rpta.
b) Para la dirección del vector A → : tan α = 6 8 ⇒ α = 37 º , es decir: θ = 180 º − 37 º = 143 º (^) Rpta. En general, la dirección se da respecto al eje x positivo.
- La resultante mínima de dos vectores es 6 unidades y cuando forman un ángulo de 60º su resultante es 12 unidades. ¿Cuál será el módulo de la resultante cuando los vectores forman 90º? SOLUCIÓN Resultante mínima: A − B =^6 ⇒^ A 2 + B 2 − 2 AB = (^36). () Al formar un ángulo de 60º : 12 =√^ A 2 + B 2 + 2 AB cos 60 º ⇒ 144 = A 2 + B 2 + AB () De () y (**), obtenemos: A 2 + B 2 = 108 ⇒ para 90 º ⇒ R =√ 108 = (^6) √ (^3) Rpta. PROBLEMAS PROPUESTOS
- En la circunferencia de la figura, de radio 2cm se muestra un sistema de cuatro vectores. Encontrar el módulo de la resultante. Rpta.^2 √^17
- Los módulos de los vectores coplanares A → , B → y C → , en el siguiente sistema son: 1, √^2 y 1, respectivamente. Encuentre el módulo de la resultante. Rpta. √^5.
- Demuestre que el ángulo entre dos vectores, es obtuso, si el módulo del vector diferencia es mayor que el módulo de su resultante.
- Dos vectores de 6 y 10 unidades de módulos, tienen una resultante de módulo de 14 unidades. Calcule cos α^ , siendo α^ el ángulo entre la resultante y el menor vector. Rpta. 11/14.
- El módulo de la resultante de dos vectores es de 4 y el módulo de la diferencia es 3. Halle el módulo de los vectores sabiendo que son iguales. Rpta. 2,5.
- En la figura, la circunferencia de radio R y centro en O contiene tres vectores; encuentre la magnitud de la resultante. Rpta. 4R.
- El ángulo entre los vectores A → y B → es 53º. Halle el ángulo que forma la resultante con el vector A → . Considere: A = 30 y B = 14. Rpta. 16º.
Rpta. 16 √^2 cm^.
PROBLEMAS RESUELTOS
- Halle la resultante, en el siguiente sistema de cuatro vectores. SOLUCIÓN Expresando los vectores en sus componentes rectangulares: A → ¿ − 6 i →
+ 2 √ 3 j
→ C → ¿ 0 i →
− 2 √ 3 j
→ D → ¿ − 4 i →
- 0 j → De donde: R → =− 8 i →
- 8 j → ⇒ R = (^8) √ 2 y tan θ =− 1 ⇒ θ = 135 º (^) Rpta. Note, que según los signos de la resultante, ésta se encuentra en el segundo cuadrante, grafíquela en su cuaderno.
- La figura muestra cuatro vectores en el plano xy, hallar el vector unitario que tenga la misma dirección que la resultante.
SOLUCION Expresando los vectores en sus componentes rectangulares: A → ¿ 8 i →
¿ 2 √ 3 i
→
- 2 j → C → ¿ − 8 i →
- 6 j → D → ¿ i → − 6 j → De donde: R → = (^2) √ 3 i →
- 2 j → , la resultante se encuentra en el primer cuadrante. Para el vector unitario empleamos: u → = R → R
2 √ 3 i →
√^3 2 i →
j → Rpta. Note, que su módulo es la unidad, pero la dirección es la de R →
. Grafique R → y u → en su cuaderno.
- En la figura, halle el ángulo “α” si se conoce que el vector resultante es horizontal. SOLUCIÓN
- Hallar el vector unitario respecto de la resultante del sistema de vectores de la figura. Rpta. u → = 10 i → + 6 j → √^136
- Tres vectores situados en un plano, tienen 6, 5 y 4 unidades de longitud. El primero y el segundo forman un ángulo de 50º, mientras que el segundo y el tercero forman un ángulo de 75º. Calcular la magnitud del vector resultante y su dirección con respecto al vector mayor. Rpta. 9,92u y 45º45’.
- Hallar la magnitud de la resultante del sistema de vectores mostrados en la figura. Rpta. (^20) √ (^17).
- Siendo A → = 3 i → − j → − 4 k → , B → =− 2 i → + 4 j → − 3 k → y C → = i → + 2 j → − k → , hallar: a) 2 A → − B → + 3 C → , b) | A →
- B →
- C → | , c) | 3 A → − 2 B →
- 4 C → | y d) un vector unitario con la dirección y sentido del 3 A → − 2 A →
- 4 C → . Rpta. a) 11 i → − 8 k → , b) 9,64, c) 19,95.
PROBLEMAS RESUELTOS
- Hallar los ángulos que forma el vector A → = 3 i → − 6 j → + 2 k → con los ejes coordenados. SOLUCIÓN Como: u → = A → A = 3 i → − 6 j →
- 2 k → 7 = 3 7 i → − 6 7 j →
2 7 k → , es decir: u → ⋅ i → = 3 7 ; u → ⋅ j → =− 6 7 ; u → ⋅ k → = 2 (^7) , de donde: cos α = 3 7 ⇒ α = 64 , 6 º , ángulo con el eje x. cos β =− 6 7 ⇒ β = 149 º , ángulo con el eje y. cos γ = 2 7 ⇒ γ = 73 , 4 º , eje con el eje z.
- Hallar la proyección del vector A → = i → − 2 j → + k → según la dirección de B → = 4 i → − 4 j → + 7 k → . SOLUCIÓN Del producto escalar de los dos vectores tenemos: A cos θ = A → ⋅ B → B = 4 + 8 + 7 9 = 19 9 Rpta.
- Hallar el vector unitario perpendicular al plano formado por A → = 2 i → − 6 j → − 3 k → y B → = 4 i →
Del triple producto escalar:
A
→
⋅ B
→
x C
→
. El volumen es |−^7 |=^7 u
3 . Rpta. Se debe precisar que si A → ⋅ B → x C → = (^0) , los vectores son coplanares, es decir que son linealmente dependientes.
- Refiérase al problema número 4, pero aplique la propiedad: a) ( A → x B → ) x C → =( A → ⋅ C → ) B → −( B → ⋅ C → ) A → y b) A → x ( B → x C → )=( A → ⋅ C → ) B → −( A → ⋅ B → ) C → . SOLUCIÓN Las respuestas son las mismas de los apartados a) y b) del problema 4.
PROBLEMAS PROPUESTOS
- Sean A → = 2 i → − 3 j → + 6 k → y B → = i → + 8 j → − 4 k → . Hallar: a) A → ⋅ B → , b) cosenos directores de A → , c) ángulo entre A → y B → y d) A → x B → . Rpta. a) -46, b) 2/7, -3/7, 6/7, c) 136º54’ y d) −^36 i →
- Sean i → + 2 j → + k → , B → = 2 i → − k → y C → =− j → + 2 k → . Calcular: a) A → ⋅ B → x C → , b) A → x ( B → x C → ) (^) , c) ( A → x B → ) x C → , d) A → x B → ) x ( B → x C → ) (^) y e) ( B → ⋅ C → )( A → x B → ) (^). Rpta. a) -11, b) j → − 2 k → , c) 2 i →
- 4 j →
- 2 k → , d) −^22 i →
- 11 k → , e) 4 i → − 6 j →
- 8 k → .
- Hallar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos (3,-1,2), (1,-1,-3) y (4,-3,1).
Rpta. 1 2
.
- Hallar la constante a^ de forma que los vectores 2 i → − j → + k → , i → + 2 j → − 3 k → y 3 i → + a j → + 5 k → sean coplanarios. Rpta. -
- Hallar la distancia desde el punto (6,-4,4) a la recta que pasa por (2, 1, 2) y (3,-1, 4). Rpta. 3.
- Hallar el área del paralelogramo cuyas diagonales son A → = 3 i → + j → − 2 k → y B → = i → − 3 j → + 4 k → . Rpta.^5 √^3.
- Los tres vértices de un triángulo son: A(2,1,3), B(2,-1,1) y C(0,-2,1). Calcular: a) El área del triángulo y b) El ángulo correspondiente al vértice A. Rpta. a) 3 u^2 y b) 30°57’49’’
- Calcular el volumen del paralelepípedo de la figura sabiendo que O(1,0,2), A(3,2,4), B(2,6,8) y C(2,-3,1), expresadas en metros. Rpta. 20 m^3.
- Dados los vectores: a → = 2 i → − j → , b → = 3 i → − 2 j → + k → y c → =− 2 j → + k → . Calcular: a) ( a → + b → )⋅ c → , b) ( a → − b → ) x c → , c) (^ a → x b → )⋅ c → , d) ( a → ⋅ b → ) c → y e) ( a → x b → ) x c → . Rpta. a) 7, b) − i → + j → + 2 k → , c) 3, d) −^16 j → + 8 k → y e) −^4 i → + j → + 2 k → .
- Tres vértices de un paralelogramo ABCD tienen por coordenadas: A(2,0,2), B(3,2,0) y D(1,2,- 1). Calcular: a) las coordenadas del vértice C, b) el área del paralelogramo y c) el ángulo en B.
- En el sistema de vectores mostrados. Hallar el vector unitario de dirección igual al de la resultante.
- Dados los vectores. Hallar el módulo de A → = a → + b → + c → + d → + e → + f → , sabiendo que c = 3, d = 5 y a = 5.
- Calcular el valor de la abertura “Φ” para que la suma de vectores mida: √^103.
- Hallar el módulo de la resultante del conjunto de vectores mostrados en la figura.
