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RUTA
24: Un diamante de beisbol es un cuadrado de 90 pies por lado. Vea la FIGURA 4.2.13. Un
jugador golpea la pelota y corre hacia la primera base a razón de 20 pies/s. ¿A qué razón
cambia la distancia del corredor a segunda base en el instante en que el corredor está a 60
pies de home? ¿A qué razón cambia la distancia del corredor a tercera base en ese mismo
instante?
Datos :
dx
dt
pies
s
; h= 60 pies ;
dz
dt
- Planteamos el teorema de Pitágoras con el
triangulo que se forma entre los puntos z
2
x
2
z
2
=x
2
2
Derivamos para hallar
dz
dt
2 z
dz
dt
= 2 x
dx
dt
dx
dt
x
dx
dt
z
Hallamos x:
x= 90 − 60 → x= 30 pies
Reemplazamos en la ecuación de Pitágoras para hallar z:
z
2
2
2
z=
z=
z= 30 √ 10 pies
Reemplazamos en la ecuación de
dz
dt
dx
dt
x
dx
dt
z
dx
dt
dx
dt
pies
seg
R/ La distancia del corredor a segunda base decrece a una razón de
pies
seg
- Se plantea un teorema de Pitágoras al igual que en el punto 1
T
2
=h
2
2
2 T
dT
dt
= 2 h
dh
dt
dT
dt
h
dh
dt
T
Reemplazamos en la ecuación de Pitágoras para
hallar z:
T
2
2
2
T =
T =
T = 30 √ 13 pies
Reemplazamos en la ecuación de
dT
dt
dT
dt
h
dh
dt
T
dT
dt
Datos :
dv
dt
pie
3
min
; d= 6 pies ;h= 9 pies ;r= 3 pies
a)
r
h
→ r=
3 h
→ r=
1 h
v=
π
1 h
2
h
v=
π
h
2
h
v=
π h
3
dv
dt
π 3 h
2 dh
dt
dv
dt
π h
2
dh
dt
dh
dt
dv
dt
π h
2
dh
dt
π ( 6 )
2
4 π
pies
min
b)
r
h
→ h=
9 r
→ h= 3 r
v=
π r
2
( 3 r )
v=
π 3 r
3
v=π r
3
dv
dt
= 3 π r
2
dr
dt
dr
dt
dv
dt
3 π r
2
3 π r
2
h= 3 r → r =
h →r =
dr
dt
3 π ( 2 )
2
dr
dt
12 π
pies
min
c)
V =
π h
3
dv
dt
π 3 h
2
dh
dt
dv
dt
π h
2 dh
dt
dh
dt
dv
dt
π h
2
π ( 9 )
2
9 π
pies
3
min
Calculamos a los 6 min:
9 π
pies
min
∙ 6 min=
3 π
pies
9 pies−
3 π
pies=8.78 pies
dh
dt
π (8.78)
2
pies
min
Hallamos la razón de cambio a los 6 min:
v=π r
3
dv
dt
= 3 π r
2
dr
dt
dr
dt
dv
dt
3 π r
2
3 π ( 3 )
2
pies
min
pies
min
∙ 6 min=0.066 pies
r = 3 pies−0.066 pies=2.93 pies
dr
dt
3 π ( 2.93)
2
pies
min
R/ Todos los valores a pesar de ser
positivos al final serán negativos porque
es una razón de cambio de un
decrecimiento.
- 4,4: En los problemas 1-10, determine si la función dada satisface las hipótesis del
teorema de Rolle sobre el intervalo indicado. En caso afirmativo, encuentre todos los
valores de c que satisfacen la conclusión del teorema.
1. f ( x )=x
2
− 4 ; [−2,2]
f (− 2 )=(− 2 )
2
f
2
f
'
( x)= 2 x= 0 → x= 2
R/ Como se puede observar la función es igual a 0 en los dos
intervalos, es una función constante y el valor de c va a ser 2.
f
x
=x
2
− 6 x + 5 ; [1,5]
f
3
2
f
'
( x)= 3 x
2
x
1
, x
2
R/ Como se puede observar la función es igual a 0 en los dos intervalos, es una función
constante y el valor de c va a ser
y 0.
