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Optica y Electromagnet´ısmo
Ayudant´ıa 3
Profesor: Alejandro Varas
Ayudantes: Eduardo Fl´andez, Christopher Lara, Javier Silva
- Dado el campo el´ectrico
E = E xˆ, encuentre el flujo el´ectrico neto a trav´es de la superficie
cerrada de la figura y a trav´es de cada una de las paredes de esta.
Soluci´on:
El flujo el´ectrico a trav´es de una superficie es
E · d
A , (1)
y la ley de Gauss dice que el flujo electr´onico neto Φ a trav´es de cualquier superficie gaussiana
cerrada es igual a la carga neta qin dentro de la superficie, dividida entre 0 , esto es
q in
0
Al no haber carga encerrada dentro de la superficie gaussiana (la caja), el fluto neto a trav´es
de esta es cero, es decir
neto
Ahora, para la cara en x = a, paralela al plano yz, el campo est´a en sentido apuesto al vector
asociado al elemento de ´area d
A = dA(−ˆx), por lo tanto
E xˆ · dAxˆ = −E
dA = −Eab. (4)
Para la cara en x = a + c, tambi´en paralela al plano yz, el campo est´a en el mismo sentido
que el vector asociado al elemento de ´area d
A = dA xˆ, por lo tanto
E ˆx · dA xˆ = E
dA = Eab. (5)
Para todas las otras caras, el campo es perpendicular al elemento de ´area d
A, por lo tanto el
flujo a trav´es de cada una de ´estas caras es nulo. Vemos que al calcular el flujo neto a trav´es
de la superficie cerrada sumando los flujos a trav´es de cada una de las caras tenemos
neto
6 ∑
i=
i
c) Para el flujo total sobre la caja se debe sumar todos los flujos particulares sobre cada
superficie. Notamos que sobre las caras inferior y laterales el ´angulo entre el campo
el´ectrico y el vector asociado al elemento de superficie es θ = π/2 y cos(π/2) = 0, por
lo que el flujo neto sobre toda la caja es
neto
1
2
= − 2 .34 kNm
2
/C + 2.34 kNm
2
/C = 0. (13)
- Un cilindro muy largo, macizo, y de radio r est´a uniformemente cargado en todo su volumen
con una densidad de carga ρ. Determinar, razonadamente, la expresi´on del campo el´ectrico
dentro y fuera del cilindro.
Soluci´on:
Al ser un cilindro muy largo diremos que es infinito, por lo cual cumple con la simetr´ıa que
nos permite calcular el campo el´ectrico mediante la ley de Gauss, dado que el campo ser´a
perpendicular al manto del cilindro.
Primero calcularemos el campo para un radio a < r. Usamos como superficie gaussiana un
cilindro de radio a y largo h, con su eje sobre el del cilindro macizo cargado, as´ı usando la
ley de Gauss
E · d
A =
Q
int
donde Q int
es la carga encerrada por el cilindro de Gauss. Es claro que la integral sobre las
tapas del cilindro es nula, ya que el campo es perpendicular al vector asociado a los elementos
de ´area de las tapas, reafirmando lo que dijimos anteriormente. Reescribiendo la ecuaci´on
anterior con Q int
= ρπa
2 h, y sabiendo que la magnitud del campo es constante para un radio
a, tenemos
E 2 πah =
ρπa
2
h
0
por lo tanto
E(a) =
ρa
r. ˆ (16)
Ahora calcularemos el campo cuando a > r. Utilizando los argumentos de manera an´aloga
al caso anterior, la expresi´on de la ley de Gauss nos queda
E 2 πah =
ρπr
2 h
0
por lo tanto
E(a) =
ρr
2
2 a 0
r. ˆ (18)
En resumen, se tiene que
E(a) =
ρa
0
ˆr , si a ≤ r ,
ρr
2
2 a 0
ˆr , si a ≥ r.
