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PROBLEMAS AC Rey Juan Carlos
PROBLEMAS AC
Problema 1. En el circuito inferior V 1 es una fuente de voltaje sinusoidal. Hallar la condición que han de cumplir R 1 , R 2 , C 1 , C 2 para que la función de transferencia del circuito no dependa de la frecuencia de trabajo.
En el circuito vemos que R 1 está en paralelo con C 1 y que R 2 está en paralelo con C 2. Recordando que la impedancia del condensador en régimen sinusoidal permanente es 1/jωC es fácil calcular que la impedancia equivalente de un condensador y una resistencia es R/(1+ jωRC). Llamaremos Z 1 a la impedancia equivalente de R 1 con C 1 y Z 2 a la impedancia equivalente de R 2 con C 2 Llamando i a la corriente que circula entre V (^) in y tierra, tenemos que:
Vin = Z 1 i + Z 2 i ⇒ i =
Vin Z 1 + Z 2
Vout = Z 2 i = Z 2
Vin Z 1 + Z 2
= Vin
R 2
(1+ j ω R 2 C 2 )
R 1
(1+ j ω R 1 C 1 )
R 2
(1+ j ω R 2 C 2 )
Vout Vin
R 2
R 2 + R 1
(1+ j ω R 2 C 2 )
(1+ j ω R 1 C 1 )
Si la función de transferencia no depende de la frecuencia es porque el segundo término del denominador es una constante, que llamaremos K (1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2 )
(1 + 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑅𝑅 1 𝐶𝐶 1 )
Esta ecuación en realidad son dos, ya que se trata de una ecuación compleja, una para para la parte real y otra para la parte imaginaria: 𝐾𝐾 = 1 𝑗𝑗𝑗𝑗𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2 = 𝑗𝑗𝑗𝑗𝐾𝐾𝑅𝑅 1 𝐶𝐶 1 ⇒ 𝑅𝑅 1 𝐶𝐶 1 = 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2 Por tanto basta elegir los componentes de forma que se cumpla la ecuación R 1 C 1 =R 2 C 2 para que la función de transferencia del circuito original no dependa de la frecuencia de trabajo.
Problema 2 Hallar la función de transferencia del circuito de la figura, siendo vin una fuente de tensión sinusoidal de frecuencia ω.
v in
v out R
R
C 1n
C 1n
PROBLEMAS AC Rey Juan Carlos
Para hallar la función de transferencia del circuito aplicamos las leyes de Kirchhoff teniendo en cuenta que la impedancia de un condensador es Z=1/jωC Si i es la corriente que circula por R 1 y i’ es la corriente que pasa por R 2 , tenemos que:
Vin = R 1 i + Z 1 ( i − i '^ ) Z 1 ( i − i '^ ) = R 2 i '^ + Z 2 i ' Vout = i '^ Z 2
Resolviendo el sistema llegamos a que 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜 𝑉𝑉𝑖𝑖𝑖𝑖
1 − 𝑗𝑗^2 𝐶𝐶 1 𝐶𝐶 2 𝑅𝑅 1 𝑅𝑅 2 + 𝑗𝑗𝑗𝑗(𝑅𝑅 1 𝐶𝐶 2 + 𝑅𝑅 1 𝐶𝐶 1 + 𝑅𝑅 2 𝐶𝐶 2 )
Problemas de cálculo de factor de Potencia
Problema 3. Hallar el factor de potencia en un circuito RLC en serie. Particularizar para una frecuencia de red de 50 Hz y valores R = 1 kΩ L = 1 mH y C = 1 μF.
La impedancia de una resistencia en serie con una inductancia y en serie con un condensador es la suma de las impedancias:
Z = R + j ω L +
j ω L
= R + j ω L −
ω C
El factor de potencia se define como cosφ, siendo φ la fase de la impedancia del circuito:
cos φ =
R
R^2 +ω L −
ω C
2
Sustituyendo los datos del problema nos queda:
cos φ =
1000 2 + 2 π 50 x 0,001 −
2 π 50 x 10 −^6
2 =^ 0,
Problema 4. Hallar el factor de potencia en un circuito RLC en paralelo para una frecuencia de red de 50 Hz y valores R = 1 kΩ L = 1 mH, C = 1 μF En este caso al estar en paralelo los tres elementos trabajaremos con la admitancia Y=1/Z La admitancia y la impedancia tienen fases iguales pero de signo contrario. Como se cumple que cos φ = cos-φ, tenemos que:
v out
a'
Vin
R
C11n
R
C 1n
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Z = R + j ω L +
j ω C
= 4 + j (8 − 5) = 4 + 3 j = (^5) 36,9º
I =
V
Z
= (^2) −36,9º = 1,6 − j 1,
En forma sinusoidal la corriente se expresa como:
I = 2cos(8 t − 36,9)
Problema 7. Hallad el voltaje que cae en el condensador del ejercicio anterior. El voltaje en el condensador se haya multiplicando la corriente por la impedancia del condensador:
Z (^) c =
j ω C
− j
ω C
= − 5 j = (^5) − 90
V = IZ (^) c = (^2) −36,9 5 − 90 = (^10) −126,9 = − 6 − 8 j
Que en format sinusoidal se escribe como: V = 10cos(8 t −126,9)
Problema 8. Hallad el voltaje que cae en R 2 de la figura inferior si R 1 = 1Ω, R 2 =2 Ω, L= 0,5 H y I 1 =10 cos 8t.
Para hallar el voltaje que cae en R 2 tenemos que calcular la corriente que circula por esa resistencia y después, aplicando la ley de Ohm, calcular el voltaje. Si calculamos la impedancia equivalente (Ze) entre L 1 y R 2 (la suma de las impedancias, por estar los elementos conectados en serie), tenemos un circuito divisor de corriente.
Z e = R 2 + j ω L = 2 + 4 j
I R 2 = I 1
R 1
R 1 + Z (^) e
VR 2 = I (^) R 2 R 2 = I 1
R 1 R 2
R 1 + Z (^) e
3 + 4 j
3 + 4 j
= (^4) −53,1 = 4 cos(8 t − 53,1)
Problema 9. Hallad i(t) (corriente que genera V 1 ) en el circuito inferior, sabiendo que R 1 =0,5 Ω, C 1 =1 F, L =1 H, C 2 =0,5F, R 2 =3Ω, R 3 =2Ω yV=12cos(t+14)
PROBLEMAS AC Rey Juan Carlos
Para hallar la corriente que genera V 1 , podemos ir asociando las impedancias de los elementos, yendo de derecha a izquierda. Llamamos Z 1 a la impedancia equivalente entre R 3 y C 2. Esa impedancia está en paralelo con R 2 , y a ese paralelo llamaremos Z 2. A su vez Z 2 está en serie con L (Z 3 ) y Z 3 está en paralelo con C 1 (Z 4 ).
Z 1 = R 3 +
j ω C 2
j 0,
= 2 − 2 j
Z 2 =
R 2 Z 1
R 2 + Z 1
3(2 − 2 j ) 3 + 2 − 2 j
6 − 6 j 5 − 2 j
6 − 6 j 5 − 2 j
(5 + 2 j ) (5 + 2 j )
= 1,45 − 0,621 j
Z 3 = Z 2 + j ω L = 1,45 − 0,621 j + j = 1,45 + 0,379 j
Z 4 =
j ω C 1
Z 3
j ω C 1
+ Z 3
= 0,583 − 0,75 j
Z (^) total = Z 4 + 0,5 = 1,083 − 0,75 j
I =
1,083 − 0,75 j
= 9,1148,7 = 9,11cos( t + 48,7)
Problema 10. Hallad la función de transferencia de un circuito RC, tomando la salida en bornes del condensador. Decir cuál es el límite de dicha función a frecuencia muy baja y a frecuencia muy alta. Primero calculamos la corriente que circula por el circuito y después calculamos el voltaje en bornes del condensador:
I =
Vin R + Z (^) c
Vout = IZC =
Vin Z (^) c R + Z (^) c
Vout Vin
j ω C
R +
j ω C
1 + j ω RC
Calculamos ahora los límites de esa función a baja y a alta frecuencia:
ω → 0
lim
1 + j ω RC
ω → ∞
lim
1 + j ω RC
− j
ω RC
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La fuente de voltaje es dependiente del voltaje que cae en la resistencia. Llamando i a la corriente que circula por R (de arriba abajo), tenemos que la corriente que circula por C será (I 1 -i). Planteamos la ecuación de Kirchhoff de la malla: V = Ri Ri = ( I 1 − i ) Z (^) c + KV = I 1 Z (^) c − iZ (^) c + KRi
⇒ i =
I 1 Z (^) c R − KR + Z (^) c
Metiendo los datos del problema, nos queda:
⇒ i = (^3 )
− 2 j 4 − 2 − 2 j
− 2 j 2 − 2 j
− j 1 − j
= 2,43cos(4 t − 45)
Problema 15. Hallar la corriente que genera la fuente de tensión en el circuito inferior. R=1 Ω, C= 1F, L=1 H, K=1,5, V in = 4cos3t
Llamando i a la corriente que pasa por R (la que genera la fuente de tensión) tenemos que la corriente que pasa por C y por L será (i-KV)=(i-1,5V). Planteando la ecuación de Kirchhoff para la malla, tenemos que:
V = RI = I Vin − RI − ( I −1,5 V ) Z (^) c − ( I −1,5 V ) Z (^) L = 0 Vin − I − ( I −1,5 I )( Z (^) c + Z (^) L ) = 0
Vin − I + 0,5 I ( j
Vin + I (− 1 +
j ) = 0
⇒ I =
Vin
1 −
j
