PROYECTO ÁLGEBRA LINEAL: AERONÁUTICA
REPORTE TÉCNICO
N° ESPOL-FCNM-AL-2019-IS-XX
DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
Febrero 2020
Tarea 1: Enuncie y demuestre el Teorema de la Aproximación de la Norma.
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Proyecto Álgebra Lineal: Aeronáutica - Teorema de Aproximación, Ejercicios de Álgebra Lineal
Jskshalsbalsjalshsjslshlsjalshssshis
Tipo: Ejercicios
2019/2020
1 / 4
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PROYECTO ÁLGEBRA LINEAL: AERONÁUTICA
REPORTE TÉCNICO
N° ESPOL-FCNM-AL-2019-IS-XX
DE LA FACULTAD DE CIENCIAS NATURALES Y MATEMÁTICAS
Febrero 2020
Tarea 1: Enuncie y demuestre el Teorema de la Aproximación de la Norma.
Teorema de aproximación de la norma
Sea H un subespacio de dimensión finita de un espacio vectorial V con producto interno, y
sea v un vector en V. Entonces,
proy v
H
❑
es la mejor aproximación de v por un elemento en
H en el sentido siguiente: si h es cualquier otro elemento de H, entonces
v− proy v
H
❑
<‖v−h‖
[1]
Demostración:
Del teorema de proyección que enuncia
v=h+ p=proy v + proy v
H
⊥
❑
H
❑
, h ∈ H, p ∈ H
⊥
v− proy v
H
❑
∈ H
⊥
. Se escribe
v−h= (
v −proy v
H
❑
)
(
proy v
H
❑
−h )
El primer término de la derecha está en H
⊥
, mientras que el segundo está en H; así,
(
v− proy v
H
❑
)
(
proy v
H
❑
−h )
Ahora
‖v−h‖
2
=( v−h) ∙(v−h)
[
( v− proy v
H
❑
)+( proy v
H
❑
−h) ]
[
( v− proy v
H
❑
)+( proy v
H
❑
−h) ]
v− proy v
H
❑
2
(
v − proy v
H
❑
)
(
proy v
H
❑
−h )
proy v
H
❑
−h
2
v− proy v
H
❑
2
proy v
H
❑
−h
2
Pero
proy v
H
❑
−h
2
0 porque
h ≠ proy v
H
❑
. Por lo tanto,
‖v−h‖
2
v− proy v
H
❑
2
Es decir,
v− proy v
H
❑
<‖v−h‖
Sea u = u el vector que minimiza‖y −^y‖ , es decir, cuando se cumple que A u Ʇ y− A u,
o:
⟨ A u , y− A u ⟩= 0
⟨ A u , y ⟩ −⟨ A u , A u ⟩= 0
u
T
⟨ A
T
y −A
T
u
⟩ = 0
La forma de A es que presenta n filas y tres columnas, por lo tanto, su orden es n x
3 y la
primera columna está llena de 1 ya que es el valor que multiplica a la constante c y no
posee variable, la segunda columna con las mediciones de x i
que se den en los datos y la
última columna los valores de x i
al cuadrado los cuales son los valores que multiplican a la
constante a.
u ∈ R
3
, esta formado por las constantes que deseamos determinar.
El vector u´ esta dado de la misma forma que la regresión lineal, es decir: u=( A
T
A)
− 1
A
T
y
solo si A
T
y =A
T
A u