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“NO ES LO MISMO APRENDER QUE ENTENDER. TODOS LOS TRIUNFOS NACEN CUANDO NOS ATREVEMOS A EMPEZAR”
Aquí se presentan algunas reglas de integración, las cuales nos ayudaran a resolver los
ejercicios propuestos en Calculo Integral:
∫
𝑘𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 = 𝑘 ∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥
∫
[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] 𝑑𝑥 = ∫
𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ± ∫
𝑔(𝑥) 𝑑𝑥
∫
𝑎 𝑑𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝐶; 𝑎 𝜖 ℝ
- ∫
( 𝑎𝑥 + 𝑏
)
𝑛
𝑑𝑥 =
(𝑎𝑥+𝑏)
𝑛+ 1
𝑎
( 𝑛+ 1
)
- ∫
𝑑𝑥
𝑎𝑥+𝑏
=
1
𝑎
𝑙𝑛
| 𝑎𝑥 + 𝑏
|
∫
𝑒
𝑎𝑥+𝑏
𝑑𝑥 =
𝑒
𝑎𝑥+𝑏
𝑎
∫
𝑎
𝑏𝑥+𝑐
𝑑𝑥 =
𝑎
𝑏𝑥+𝑐
𝑏 𝑙𝑛 𝑎
- ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
- ∫ 𝑐𝑜𝑠
( 𝑎𝑥 + 𝑏
) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
- ∫ 𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
1
𝑎
𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠(𝑎𝑥 + 𝑏)| + 𝐶 ; 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
- ∫ 𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛(𝑎𝑥 + 𝑏)| + 𝐶 ; 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
∫
𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
1
𝑎
𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) + 𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏)| +
𝐶 ; 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
∫
𝑐𝑠𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑐𝑠𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) − 𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏)| +
𝐶 ; 𝑎, 𝑏 𝜖 ℝ
∫
𝑠𝑒𝑐
2
(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
𝑡𝑔
( 𝑎𝑥+𝑏
)
𝑎
∫
𝑐𝑠𝑐
2
(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
- ∫ 𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏)𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 =
𝑠𝑒𝑐(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
∫
𝑐𝑠𝑐(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑐𝑡𝑔(𝑎𝑥 + 𝑏) 𝑑𝑥 = −
𝑐𝑠𝑐(𝑎𝑥+𝑏)
𝑎
∫
𝑑𝑥
√𝑎
2
−(𝑏𝑥+𝑐)
2
=
1
𝑏
[
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑏𝑥+𝑐
𝑎
) ]
- ∫
𝑑𝑥
𝑎
2
+(𝑏𝑥+𝑐)
2
=
1
𝑏
[
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔 (
𝑏𝑥+𝑐
𝑎
)] + 𝐶 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ
- ∫
𝑑𝑥
(𝑏𝑥+𝑐)√(𝑏𝑥+𝑐)
2 −𝑎
2
=
1
𝑏
[
1
𝑎
𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (
|𝑏𝑥+𝑐|
𝑎
)] + 𝐶 ; 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝜖 ℝ
𝑒
𝑥
−𝑒
−𝑥
2
𝑒
𝑥
+𝑒
−𝑥
2
𝑒
𝑥
−𝑒
−𝑥
𝑒
𝑥
+𝑒
−𝑥
𝑒
𝑥
+𝑒
−𝑥
𝑒
𝑥
−𝑒
−𝑥
Sustitución Universal:
- tan (
𝑥
2
) = 𝑡 →
{
𝑠𝑒𝑛
( 𝑥
)
2 𝑡
1 + 𝑡
2
𝑐𝑜𝑠(𝑥) =
1 − 𝑡
2
1 + 𝑡
2
𝑑𝑥 =
2 𝑑𝑡
1 + 𝑡
2 }
- tan
( 𝑥
) = 𝑡 →
{
𝑠𝑒𝑛(𝑥) =
𝑡
√ 1 + 𝑡
2
𝑐𝑜𝑠(𝑥) =
1
√ 1 + 𝑡
2
𝑑𝑥 =
𝑑𝑡
1 + 𝑡
2 }
Integrales por sustitución.
Cuando se presenten funciones con reglas de correspondencia un tanto más complejas, se puede
transformar en integrales inmediatas con un cambio de variable.
“Para cambiar de variable tenemos que tener en cuenta que la derivada de la función
escogida debe estar presente”.
,
𝑢
,
𝑑𝑢
𝑢 = g(𝑥)
du = 𝑔
,
“NO ES LO MISMO APRENDER QUE ENTENDER. TODOS LOS TRIUNFOS NACEN CUANDO NOS ATREVEMOS A EMPEZAR”
Integración por partes.
Sean dos funciones 𝑢(𝑥) 𝑦 𝑣(𝑥) donde "𝑢" 𝑦 "𝑣" estan en funcion de “X”. Y se presenta la
siguiente estructura por la derivada que surge del producto entre las dos funciones:
Integrales de funciones trigonometricas
Para estos casos es indispensable recordar las identidades trigonometricas. Por
ello se lo enunciara las mas importantes
2
2
2
2
2
2
= 2 sen
cos
2
2
2
2
2
1 − cos( 2 𝑥)
2
1 + cos
2 tan(𝑥)
2
sen
= sen
cos
cos
sen(𝑥 − 𝑦) = sen(𝑥) cos(𝑦) − sen(𝑦) cos(𝑥)
cos
= cos
cos
− sen
sen
cos(𝑥 − 𝑦) = cos(𝑥) cos(𝑦) + sen(𝑥) sen(𝑦)
Tips: tomar en cuenta para el cambio de
variable de “u” en este orden descendente:
𝑰: Función trigonométrica inversa
𝑳: Función logarítmica
𝑨: Función algebraica
𝑻: Función trigonométrica
𝑬: Función Exponencial
Tips: tomar en cuenta para el cambio de
variable de “u” en este orden descendente:
“Escoger de variable “u” según su
conveniencia”
“Escoger de variable “u” la función
que no sea una integral inmediata”
“NO ES LO MISMO APRENDER QUE ENTENDER. TODOS LOS TRIUNFOS NACEN CUANDO NOS ATREVEMOS A EMPEZAR”
Si “n” y “m” son pares o Si “n” y “m” son impares
𝑷𝑨𝑹 ⇒ ∫ 𝑠𝑒𝑛
(𝑥)𝑐𝑜𝑠
(𝑥) 𝑑𝑥 = ∫ [𝑠𝑒𝑛
(𝑥)]
[𝑐𝑜𝑠
(𝑥)]
𝑑𝑥
𝑛
𝑚
[
𝑛− 1
)]
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
)[
cos(𝑥)𝑐𝑜𝑠
𝑚− 1
)]
CASO III: Integrales que contienen tangentes y cotangentes.
Tratar de conseguir las estucturas a continuación:
𝑛
2
𝑛− 2
(𝑥) 𝑑𝑥 “o” ∫
𝑛
2
𝑛− 2
De alli utilizar las siguientes identidades:
2
2
2
2
“o”
2
2
2
2
CASO IV: Integrales que contienen tangentes y cotangentes.
Tratar de conseguir las estucturas a continuación:
𝑚
𝑛
(𝑥) 𝑑𝑥“o” ∫
𝑚
𝑛
Si “n” es par y “m” par o impar, llevar a la siguiente estructura
𝑚
𝑛
𝑚
2
𝑛− 2
“o”
𝑚
𝑛
𝑚
2
𝑛− 2
Si “m” es impar y “n” par o impar, llevar a la siguiente estructura
𝑚
𝑛
𝑚− 1
𝑛− 1
𝑚
𝑛
“o”
𝑚
𝑛
𝑚− 1
𝑛− 1
𝑚
𝑛
De alli utilizar las siguientes identidades:
2
2
2
2
“o”
2
2
2
2
“NO ES LO MISMO APRENDER QUE ENTENDER. TODOS LOS TRIUNFOS NACEN CUANDO NOS ATREVEMOS A EMPEZAR”
CASO V: Integrción por sustitución trigonométrica.
2
2
2
2
2
2
2
2
[ 1 − 𝑠𝑒𝑛
2
(𝑡)] = √𝑎
2
[𝑐𝑜𝑠
2
(𝑡)] = 𝑎 𝑐𝑜𝑠(𝑡)
2
2
2
2
2
2
2
2
[ 1 + 𝑡𝑎𝑛
2
(𝑡)] = √𝑎
2
[𝑠𝑒𝑐
2
(𝑡)] = 𝑎 𝑠𝑒𝑐(𝑡)
2
2
2
2
2
2
2
2
[
2
]
2
[
2
)]
CASO VI: Integración de funciones racionales
Procedimiento General:
Por cada factor de la forma (𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑘
, se espera que la descomposición tenga los términos:
… … … …
(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑘
=
𝐴
1
(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝐴
2
(𝑎𝑥 + 𝑏)
2
𝐴
3
(𝑎𝑥 + 𝑏)
3
𝐴
𝑘
(𝑎𝑥 + 𝑏)
𝑘
; 𝐴
1
, 𝐴
2
, 𝐴
3
, … , 𝐴
𝑘
𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
Por cada factor de la forma
2
𝑚
, se espera que la descomposición tenga los
términos. 𝐷𝑢 = 2 𝑎𝑥 + 𝑏, es decir ocupar la derivada de la función u.
… … … … …
( 𝑎𝑥
2
)
𝑘
=
𝐵
1
( 𝑑𝑢
)
1
(𝑎𝑥
2
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑢
)
𝐵
2
( 𝑑𝑢
)
2
(𝑎𝑥
2
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑢
)
2
𝐵
𝑘
( 𝑑𝑢
)
𝑘
(𝑎𝑥
2
⏟ + 𝑏𝑥 + 𝑐
𝑢
)
𝑘
; 𝐵
𝑘
𝐶
𝑘
𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑠𝑒𝑛(𝑡)
⇒ 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 (
𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
)
𝑏𝑑𝑥 = 𝑎 cos
( 𝑡
) 𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑡) =
𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
t
𝑏𝑥 + 𝑐
a
√𝑎
2
− (𝑏𝑥 + 𝑐)
2
𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑡𝑎𝑛
( 𝑡
)
⇒ 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 (
𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
)
𝑏𝑑𝑥 = 𝑎 𝑠𝑒𝑐
2
( 𝑡
) 𝑑𝑡
𝑡𝑎𝑛(𝑡) =
𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
t
𝑏𝑥 + 𝑐
√𝑎
2
2
𝑎
𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑠𝑒𝑐
( 𝑡
)
⇒ 𝑡 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑐 (
𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
)
𝑏𝑑𝑥 = 𝑎 sec
( 𝑡
) tan
( 𝑡
) 𝑑𝑡
𝑠𝑒𝑛(𝑡) =
𝑏𝑥 + 𝑐
𝑎
t
𝑏𝑥 + 𝑐
a
√𝑎
2
− (𝑏𝑥 + 𝑐)
2
