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ESCUELA SUPERIOR POLITÉGNICA DEL LITORAL CÁLCULO INTEGRAL LECCIÓN 4t 1 - ¡FEYáluación 1. Califiquela siguiente proposición como verdadera o falsa justificando su respuesta: +00 "La integral impropia | xe*dx es convergente" ó Para resolver la integral impropia, se analiza la convergencia de un límite +00 b de = ER E il xe *dx oli, | xeT*dx = lim _F(b)—F(0) Hallando la antiderivada: Scanned by CamScanner Juntos () Evalúa los extremos.en forma correcta y Aun calcula el límite indicado mediante la Regla de L'Hópital, obteniendo el valor de la integral impropia, calificando a la L___ proposición como VERDADERA 3 ic o 2. Calcule el área de la región limitada por: Manipulando las ecuaciones, se deben determinar los puntos de intersección entre la curva y rectas dadas: Sean: y == 22]. ly, ==2x), [ya = 2x— 4] Scanned by CamScanner 3 y=x 3. Sea la región: Re y-x En 2y+x= Puntos de intersección: Pp()=x4-x-6=0 Se cumple que p(2)=0 Por tanto x=2 es una raíz, además como p(x) es una función inyectiva, ese punto donde “y” es cero, es único. En nuestro caso, significa que existe un único punto de tersección en los Reales. 23 513) o” Calcule el volumen del sólido que se general al rotar R alrededor de la recta “Y= Reescriblendo las ecuaciones: [y, =x + 6], [ya = 3]. by, =x" (2%? + D))=0 Como 2x?+1 es mayor que cero, entonces x= (0) x=0> y=0 Scanned by CamScanner Obteniendo los diferenciales NA Scanned by CamScanner ESGUELA SUPERIOR: POLI! [GA DEL LITORAL. E ul 1 LECGIÓN+-2 - IMNEValUación ¡esoli 1) Se hace un hoyo de 2/3 pulgadas de radio a través del centro del sólido de forma esférica, cuyo radio mide 4 pulgadas. Calcule el volumen de la porción de sólido que fue cortada (use método de cortezas). Es posible usar un círculo de radio 4 [x? + y? = 16] para generar la esfera, y la recta [x= 243] para el hoyo. lo de cortezas, el diferencial de volumen que Ñ tuye un paralelepípedo (= 23 será Ascencio — JAP spol.edu.en Scanned by CamScanner Al recorrer e *correr se forma la mitad del sólido, para obtenér el tegramos en el intervalo sólido completo, duplicamos el 2y5 : A a ¿ z 2 7 £ MMioa=x1)> y A 2n f yY16 Gara = 20 -7/(16 po) l, d 0 4 V= 3h 2. “[-(vis=12) + (V16=0)"] = 710464] 24 la rotación en el eje “y” de la región acotada ide. De manera más específica, un astroide. Scanned by CamScanner > s 2 12n / (añ — 2039 + 19) dt = 121 3 E V=2n for sata 2) a) v12nf (a ande 4)at de la curva [9y? =x 2(2x+3)] en el segundo cuadrante da 5 77 Scanned by CamScanner E) xq 2x +1 qe EAS +1 +3 a 2E3 dy ne - lia +21 l'+- 2x+3 —V2x+3 Dado x € [-1,0] Gntervalo de integración), se puede decir que % 2 42>0>1 +21 =x+ (2 pas SoBa dx V2x+3 Entonces, se puede proceder a integrar u=vV42x+3 > pe 2x Ascencio — AB spol.edr «e Scanned by CamScanner AA A 1 E Pale cono), Y la Entonces, como ese arco de la cardioide se genera de [9 =0 a 9 = 1] y el arco de círculo se genera de[o=00a0= 2], planteamos como integrales separadas: 1 a dAcer = 3 la(1 + cos(9)))*40 == (1 + cos(0))*d0 il dAcr = 3 [2a cos(9))*d8 Nótese que el área que encierra el arco de éírculo es directamente el área demedia circunferencis Scanned by CamScanner 2) Grafica ambas curvas.en forma correcta b) Plantea la diferen: e área de la región, integrales correspondientes, identificando en correcta los límites, tanto para la cardiode como Par: círculo así como las forma ael área de la región curva r = e%/? paralos valores de 0 entre 0y2T. Scanned by CamScanner 3 +10 A E s a 1 DE DT 5Em+D-2 3n-2 10 expresar la vuelve necesarÍ El término jeral, se asemeja al de una suma telescópica, así que se serte con el límite: ES Mem L¿Gn+DE—=D 1 me bro 3-2 1111311) pisos enLcitl PUNTAJE 1 punto 4 puntos 2.5 puntos Scanned by CamScanner basta tomar un contraejemplo sencillo como la SERIE Y está claro que ésta proposición es falsa, ARMÓNICA: Sin embargo, sabemos que: +9 DA an es divergente 5 “Por tanto se concluye que la proposición dada es FALSA. CRITERIO égica de la fa que ésta es la re espectivo y que por lo tanto se Scanned by CamScanner CRITERIO. a) Utiliza un criterio válido para analizar la convergencia 0 divergencia de la serie b) Concluye en forma correcta que la serie dada es DIVERGENTE | | Z puntos Jando los términos Una buena manera de extrapolar el comportamiento de una serie, es tabulando los térn 1 Podríamos haber pensado inmediatamente en que ésta siempre es un número toda n natural), (— da como resultado -: AAA o. Dado te impa serie es alternante, pero n 4)7143 es -1 elevado a exponen! nos ofrece de respuesta una constante, 25Í PUNTA A 3 puntos 2 puntos ositivos [0 < Un € Ln): e que la proposición Scanned by CamScanner Scanned by CamScanner 
