Límites y continuidad
Calculo diferencial
Tutor
Carlos Mauricio Salas
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería
Bucaramanga, Octubre 2019
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ejercicios de calculo matematica, Ejercicios de Cálculo
solucion de cada uno de los ejercicios segun la guia
Tipo: Ejercicios
2020/2021
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Límites y continuidad
Calculo diferencial
Tutor
Carlos Mauricio Salas
Universidad Nacional Abierta y a Distancia
Escuela de Ciencias Básicas Tecnología e Ingeniería
Bucaramanga, Octubre 2019
Introducción
Dentro de las funciones matemáticas se encuentran los límites, que hacen
referencia que no puede salirse de un rango determinado o área específica. Los
límites pueden determinar el comportamiento de una función y pueden ser muy
útiles en la determinación de áreas, lo cual tiene aplicabilidad en la ingeniería. A
través del presente trabajo se presentaran algunos ejercicios prácticos sobre
límites y la continuidad de las funciones en relación con los límites de la misma.
Estos temas hacen parte del curso de cálculo diferencial y para su desarrollo de
los cálculos, se requiere poner en práctica procedimientos matemáticos, como
factorización, sustitución, método de kramer entre otros que finalmente refuerzan
los conocimientos matemáticos previos de los estudiantes que desarrollan la
actividad.
la función F(x) tiende a - ∞ función F(x) tiende a ∞
Límite por la Izquierda Límite por la derecha Existencia del Límite
lim
x→− 2
−¿
f (x)¿
lim f ( x )=− 9
lim
x→− 2
+¿
f (x)¿
lim f ( x )=− 5
Dado que los resultados
de la evaluación de los
límites laterales Tanto de
izquierda como de
derecha son diferentes se
considera que el límite no
existe. ∄
lim
x→ 3
−¿
f (x)¿
lim f ( x )= 6
lim
x→ 3
+¿
f ( x )¿
lim f ( x )=− 10
Dado que los resultados
analizando la izquierda y
la derecha se considera
que el límite no existe. ∄
- Evaluación de limites
a) Evaluar el siguiente límite
Si lo realizo por sustitución directa a continuación se presenta el resultado
lim
x → 2
−x
2
- 5 x− 2 +
x − 3
3
x
x
lim
x → 2
2
√
3
√
√
3
√
b) Calcular el siguiente límite indeterminado de la forma
lim
x → 9
x
2
x− 3
Verificamos que el límite sea indeterminado
lim
x → 9
2
lim
x → 9
lim
x → 9
Lo resolvemos por factorización
lim
x→ 9 =
x
2
− 9
2
√
x− 3
lim
x→ 9 =
( x+ 9 )(x− 9 )
√ x− 3
lim
x→ 9 =
( x+ 9 ) ( x− 9 ). √
x+ 3
√
x−3. √
x+ 3
lim
x→ 9 =
( x+ 9 ) ( x− 9 ). √x+ 3
¿¿
¿
lim
x→ 9 =
( x+ 9 ) ( x− 9 ). √
x+ 3
¿¿
¿
lim
x→ 9 =
( x+ 9 ) ( x− 9 ). √
x+ 3
x+ 9
lim
x→ 9 =x+ 9.
x+ 3
Sustituyendo
lim
x → 9
¿ x +9.
x+ 3
lim
x → 9
Recordar que cualquier número divido en infinito su resultado será cero (0)
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
lim
x→ ∞
d) Evaluar el siguiente límite trigonométrico
lim
x → 0
x +tan x
sin x
Remplazando en la función
lim
x → 0
0 + tan 0
sin 0
lim
x → 0
lim
x → 0
(Indeterminación)
lim
x → 0
x+ sinx
cosx
Sinx
lim
x → 0
x+ sinx
cosx. sinx
lim
x → 0
x+( x.
sinx
x
cosx .(x.
sinx
x
lim
x → 0
x+( x.
sinx
x
cosx .(x.
sinx
x
(
lim
x → 0
x
)
(
lim
x→ 0
x
)
(
lim
x → 0
sinx
x
)
(
lim
x→ 0
cosx
)
(
lim
x → 0
x
)
(
lim
x→ 0
sinx
x
)
- Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la
función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el
respectivo análisis.
a)
( x )=
{
x
2
− 4 a+ 4 Si x< 2
x
2
- 2 Si x 2
Con base en la gráfica se puede deducir que la función no es continua, dado
que los limites por la izquierda 4 y por la derecha da 6, así mismo no coinciden
con el cálculo del punto a y en este tramo en específico la función está cortada.
lim x → 2 x
2
− 4 a+ 4
lim x → 2 2
2
− 4 a+ 4
4 − 4 a+ 4
4 a= 4 + 4
lim x → 3 3 ( 3 )+a=
lim x → 3 9 +a= 1
lim x → 3 a=− 8
lim x → 3 3 x +a
lim x → 3 3 ( 3 )+a
lim x → 3 9 + a
lim x → 3
x
lim x → 3 =
lim x → 3 = 1
Con base en la gráfica se puede deducir que la función no es continua, dado
que los limites por la izquierda 10 y por la derecha da 1, así mismo no
coinciden con el cálculo del punto a y en este tramo en específico la función
está cortada.
- Problemas Límites y continuidad
- a. Límites.
Se tiene un grupo de bacterias que crece siguiendo la ley
y=
1 +0.25 e
−0.4t
donde el tiempo t 0 se mide en horas y el peso del cultivo en gramos.
a) Determine el peso del cultivo transcurridos 60 minutos. Siendo que una
hora está compuesta por sesenta minutos se tomará como t=
y=
1 +0.25 e
−0.4( 1 )
y=
1 +0.25 e
−0.
y=1,
b) ¿Cuál será el peso del mismo cuando el número de horas crece
indefinidamente?
lim ( t → ∞ )
(
1 +0.25 e
−0.4 t
)
1.25 lim ( t → ∞)
(
1 +0.25 e
−0.4t
)
lim (t → ∞) ( 1 )
lim ( t → ∞) ( 1 +0.25 e
−0.4t
lim (t → ∞) ( 1 )
lim
t → ∞
- lim
t → ∞
0.25 e
−0.4t
(
)
=1.25 g
- b. Continuidad
En la construcción de una hidroeléctrica el agua desde el embalse se lleva
hasta la casa de máquinas a través de túneles y tuberías exteriores, si el
trazado de dos tramos de tuberías y el trazado de un túnel están dados por las
siguientes funciones:
Sustituyendo en la ecuación anterior
− 2 + 2 a=− 6 a+b
− 2 + 2 a=− 6 a+( 2 −a)
2 a+ 6 a+a= 2 + 2
9 a= 4
a=
En la segunda ecuación
)+ 3 b= 6
- 3 b= 6
3 b= 6 −
3 b=
b=
b=
Los puntos a y b que hacen que el trazado sea continuo son a= 4/9 y b=14/
Link video youtube https://www.youtube.com/watch?v=-
6Ej7XhdNds&feature=youtu.be
Estudiante 2 Leidy Quiñones
A continuación, se presentan los ejercicios y graficas asignados para el desarrollo
de Tarea 2, en este grupo de trabajo:
Calcular los siguientes límites.
La siguiente imagen representa la gráfica de la función f ( x), de acuerdo con ella,
identifique los siguientes
Estudiante 2.
a)
lim
x→−∞
f ( x)
b)
lim
x→ ∞
f ( x)
c)
lim
x→− 2
−¿
f (x)¿
d)
lim
x→− 2
+¿
f (x)¿
e)
lim
x→ 1
−¿
f (x)¿
f)
lim
x→ 1
+¿
f (x)¿
a ¿ lim
x→−∞
f ( x )
b ¿ lim
x→ ∞
f ( x ) =∞
c ¿ lim
x →− 2
−¿
f ( x)= 4 ¿
d ¿ lim
x →− 2
- ¿
f ( x)= 16 ¿
¿e ¿ lim
x → 1
−¿
f (x)¿
- Calcular el siguiente límite al infinito
lim
x→ ∞
x
2
+x− 5
2 x + 5
Dividiendo el numerador y el denominador por x
2
x
2
x
2
x
❑
x
2
❑
x
2
2 x
❑
x
2
❑
x
2
- Evaluar el siguiente límite trigonométrico
lim
x→
π
4
sin x−cos x
1 −tan x
sin
π
x−cos
π
1 −tan
π
x=
Factorizando mediante identidades trigonométricas
lim
x→
π
4
sin x−cos x
sin x
cos x
lim
x →
π
4
sin x−cos x
cosx
sin
x
cos x
lim
x→
π
4
cos x ¿ ¿ ¿
lim
x→
π
4
cos
x ¿
cos
π
4
Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua.
(Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis.
studiante 2
a)
f ( x )=
x
2
− 3 a− 5 Si x< 2
x
2
- 5 x Si x 2
b)
f ( x )=
x
3
+a Si x< 2
x
Si x 2
Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la
función sea continua (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el
respectivo análisis.
a)
f ( x )=
x
2
− 3 a− 5 Si x< 2
x
2
- 5 x Si x 2
Evaluando el límite cuando x tiende a 2:
lim
x→ 2
−¿
x
2
− 3 a− 5 =( 2 )
2
− 3 a− 5 =− 1 − 3 a ¿
lim
x→ 2
+¿
x
2
- 5 x=( 2 )
2
- 5 ( 2 )= 14 ¿
Igualando los límites laterales:
− 1 − 3 a= 14
− 1 − 14 = 3 a
− 15 = 3 a
=a
− 5 =a
8 + a= 1
a= 1 − 8
a=− 7
Finalmente la función es:
x
3
= x
3
f ( x )=
x
3
− 7 Si x < 2
x
Si x 2
Graficando la función obtenida en GeoGebra:
Problemas Límites y continuidad.
Estudiante
2.a. Límites.
En sección de digitación, el número medio de palabras N por
minuto escritas luego de t semanas de práctica, está dado por.
N (t )=
1 +5.4 e
−0.12t
a) Calcule el número medio de palabras por minuto que
puede escribir una persona luego de haber practicado
durante 10 semanas.
N ( 10 )=
1 +5.4 e
−0.12 ( 10 )
palabras
min
Respuesta. A las 10 semanas de práctica el número
de palabras por minuto es 60.
b) Determine el número medio de palabras por minuto que
pueden escribirse cuando la cantidad semanas crece
indefinidamente.
lim
x →∞
1 + 5.4 e
−0.12 t
cuando t crece indefinidamente e
−∞
tiende a cero.
lim
x →∞
1 + 5.4 e
−0.12 t
palabras
minutos
Rta: Cuando el tiempo crece indefinidamente el valor final de
palabras por minuto es 157.
2.b. Continuidad
En un circuito eléctrico es necesario garantizar que la corriente
sea continua en todo momento. La corriente del circuito está
dada por la siguiente función:
f ( x )=
{
x
2
+ax + 5 si ≤− 1
3 si− 1 < x ≤ 2
bx si x > 2
Calcule los valores de
a y b que hacen que la corriente sea
continua.
Evaluando el limite cuando x →− 1
x →− 1
−¿ ¿
x
2
- ax+ 5 =( 1 )
2
+a
- 5 =a+b
x →− 1
+¿ 3 = 3 ¿
Igualando los limites laterales
a+6=
a=3-
a=-
evaluando el limite cuando
x → 2
lim
x → 2
lim
x→ 2
+¿
¿
bx = b(2) = 2b
Igualando los limites laterales
3 = 2b
= b