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UNIDAD IV: FUNCIONES REALES DE
VARIAS VARIABLES
HERNÁNDEZ SÁNCHEZ ROBERTO
SÁNCHEZ DÍAZ KATYA LIZETH
PROFESOR: VALERIO RAMÍREZ FABIOLA
ASIGNATURA: CÁLCULO VECTORIAL
HORARIO: 8:00AM-9:00AM
AGOSTO-DICIEMBRE 2020
Resuelva los siguientes ejercicios
Ejercicio 1. Determine ,grafique y describa el dominio de la siguiente función
f (x, y) =
y − x^2 1 − x^2 Solución. Para determinar el dominio debemos de analizar las restricciones tenemos que
y − x^2 ≥ 0
tambien tenemos 1 − x^2 6 = 0 Entonces el dominio es D f =
(x, y) | 1 − x^2 ≥ 0 y 1 − x^2 6 = 0
Analizando esto tenemos que
y ≥ x^2
x = ± 1 Si observamos el dominio esta representado por una parabola con vertice en el origen y dos rectas vericales en 1 y − 1 , el dominio de nuestra función se encuentra dentro de la parabola y las dos lineas, sin tomar en cuenta las lineas, ni tampoco lo que hay fuera de ellas.como observamos en la imagen
Ejercicio 2. Calcule el limite si existe
l´ım ( x,y )→(1 , 0)
xy − y (x − 1)^2 + y^2
l´ım ( x,y )→(0 , 0)
x^2 sin^2 y x^2 + 2y^2
Solución. resolvemos La primera, como se produce una indetermación utiliaremos trayectorias Si x = 1
f (x, y) = xy − y (x − 1)^2 + y^2
→ f (1, y) = y − y (0)^2 + y^2
y^2
f (x, y) → 0 cuando (x, y) → (1, 0) por x = 1
Si y = x − 1
f (x, y) = xy − y (x − 1)^2 + y^2
→ f (x, x − 1) = x (x − 1) − (x − 1) (x − 1)^2 + (x − 1)^2
= (x^ −^ 1) (x^ −^ 1) 2 (x − 1)
=^1
f (x, y) →
cuando (x, y) → (1, 0) por y = x − 1
Ejercicio 3. Determine si la siguiente función es una solución de la ecuación de Laplace
u xx + u yy = 0 u = e− x^ cos y−e− y^ cos x Para solucionar este ejercicio s tenemos que calcular las segundas derivadas parciales de u con respecto a x y luego a y
u = e− x^ cos y−e− y^ cos x
u x = −e− x^ cos y+e− y^ sin x
u xx = e− x^ cos y+e− y^ cos x
u y = −e− x^ sin y+e− y^ cos x
u yy = −e− x^ cos y-e− y^ cos x Ahora sustituimos
u xx + u yy = 0
(e− x^ cos y+e− y^ cos x) + (−e− x^ cos y-e− y^ cos x) = 0
((((e− x^ cos^ y(+(((( e− y^ cos( x ((((−e− x^ cos(^ y((((
Con esto comprobamos que la función si es solución de la ecuación de la Laplace.
Ejercicio 4. Determine las segundas derivadas parciales (f x , f y , f xx , f yy , f xy , f yx )
w =
u^2 + v^2
Solución. Derivamos
f u = u
u^2 + v^2
(^2) f v = v
u^2 + v^2
f uu = u
∂u
(u^2 + v^2 )−^
(^) + (u^2 + v^2 )−^
∂u u
f uu = −u^2
u^2 + v^2
u^2 + v^2
f uu =
(u^2 + v^2 )
u^2
(u^2 + v^2 )
f uu =
u^2 + v^2
(^2) − u^2
u^2 + v^2
(u^2 + v^2 )^2
u^2 + v^2
u^2 + v^2 − u^2
(u^2 + v^2 )^2
f uu = u
2
(u^2 + v^2 )
f vv = v
∂v
(u^2 + v^2 )−^
(^) + (u^2 + v^2 )−^
∂v v
f vv = −v^2
u^2 + v^2
u^2 + v^2
f vv =
(u^2 + v^2 )
v^2
(u^2 + v^2 )
f vv =
u^2 + v^2
− v^2
u^2 + v^2
(u^2 + v^2 )^2
u^2 + v^2
u^2 + v^2 − v^2
(u^2 + v^2 )^2
f vv = v^2
(u^2 + v^2 )
f uv = u
u^2 + v^2
2 2v
f uv = − uv
(u^2 + v^2 )
f vu = v
u^2 + v^2
2 2u
Tenemos f (1. 02 , 0 .97) = 1 − (1.02) (0.97) cos 0. 97 π
f (1. 02 , 0 .97) = 1. 985
Vemos que efectivamente se aproximan. Podemos graficar nuestra función y tambien su plano tangente .
Ejercicio 6. Determine una ecuacion del plano tangente a la superficie dada por el punto especifico
z = 3 (x − 1)^2 + 2 (y + 3)^2 + 7, (2, − 2 , 12)
Solución. resolvemos utilizando la formula del plano tangente
z − z 0 = f x (x 0 , y 0 ) (x − x 0 ) + f y (x 0 , y 0 ) (y − y 0 )
primero calculamos las derivadas parciales necesarias
f x = 6x − 6
f x (2, −2) = 6 f y = 4y + 12 f y (2, −2) = 4
y sustituimos en la formula
z − 12 = 6 (x − 2) + 4 (y + 2)
z − 12 = 6x − 12 + 4y + 8 z = 6x − 12 + 4y + 8 + 12
z = 6x + 4y + 8
Ejercicio 7. Mediante la regla de la cadena encuentre δzδs y δzδt
z = x^2 y^3 , x = s cos t, y = s sin t Usando la regla de la cadena tenemos δz δs =^
δz δx
δx δs +^
δz δy
δy δs δz δs
2 xy^3
(cos t) +
3 x^2 y^2
(sin t)
δz δs = 2xy^3 cos t + 3x^2 y^2 sin t
Para δzδt tenemos δz δt = δz δx
δx δt
δy δt δz δt =^
2 xy^3
(−s sin t) +
3 x^2 y^2
(s cos t)
δz δt = − 2 sxy^3 sin t + 3sx^2 y^2 cost
Ejercicio 8. Dada la funcion f (x, y, z) = y^2 e xyz^ , P (0, 1 , −1) , u =
13 ,^
13 ,^
Solución. a) Determine el gradiante de f.
utilizamos la formula ∇f (x, y, z) = 〈f x , f y , f z 〉
calculamos las derivadas parciales
f x = y^3 ze xyz
Igualamos a 0
3 x^2 − 12 y = 0
− 12 y + 24y^2 = 0
Ahora despejamos a y de la 1ra ecuación
3 x^2 − 12 y = 0
− 12 y = − 3 x^2
y =
x^2
Ahora sustituimos en la 2da ecuación
= − 12 x + 24(
x^2 )^2
x^4
dividimos entre 3 y despues multiplicamos por 2
= − 4 x +^1 2 x^4
= − 8 x + x^4
Factorizamos
= x(x^3 − 8)
Analizando encontramos
2 y 0
Si x = 0 entonces y = 0 Si x = 2 entonces y = 1 Nuestros puntos criticos serian
(2, 1)
Ahora busquemos si hay puntos sillas,minimos y maximo
D = D(a, b) = f xx (a, b) f yy (a, b) − [f xy (a, b)]^2
Determinemos lo que nececitamos
f xx = 6x
f yy = 48y
f xy = − 12
Sustituimos
D = D(x, y) = 288xy − 144
Este sera nuestro determinante Sustituimos para en (0, 0)
D = D(x, y) = 288 (0) (0) − 144
D = − 144
D < 0
Hay un punto silla en (0, 0) Ahora sustituimos para (2, 1)
D = D(x, y) = 288 (2) (1) − 144
D = 432
D > 0
Evaluamos en f xx
f xx = 6x
f xx = 6(2) = 12
f xx > 0
En (2, 1) optenemos el valor para f (x, y)
f (x, y) = x^3 − 12 xy + 8y^3
f (2, 1) = (2)^3 − 12 (2) (1) + 8 (1)^3 f (2, 1) = − 8
analizamos la frontera de la funcion
como ya analizamos toda lo frontera vemos cuales entre todos los valores son el
- f (1, 1) = - f (− 1 , −1) =
- Recta L - f (x, 0) = x^4 + 2 0 ≤ x ≤ - f (0, 0) = - f (3, 0) =
- Para recta L - f (3, y) = 81 + y^4 − 12 y + 2 0 ≤ y ≤ - = y^4 − 12 y + - f (3, 1 .435) = 70. - f (3, 2) =
- Para L tiene valor constante - f (x, 2) = x^4 − 8 x + 18, 0 ≤ x ≤ - f (1. 26 , 2) = 10. - f (3, 2) =
- Para L - f (0, y) = y^4 + 2 0 ≤ y ≤ - f (0, 0 .02) = - f (0, 2) =
- M inimo absoluto : f (1, 1) = f (− 1 , −1) = minimo y el maximo - M aximo absoluto : f (3, 0) =
