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UNIDAD V: INTEGRACIÓN MULTIPLE
ELABORADO POR:
SANCHEZ DIAZ KATYA LIZETH
HERNANDEZ SANCHEZ ROBERTO
PROFESOR: FABIOLA VALERIO RAMÍREZ
ASIGNATURA: CALCULO VECTORIAL
HORARIO: 08:00 A.M.-09:00 A.M.
AGOSTO-DICIEMBRE 2020
Ejercicio 1. Calcule la integral iterada
(^4)
1
0
6 x 2 y − 2 x
dydx, Sol. : 222
Solución. Procedemos a integrar de dentro hacia afuera
(^4)
1
0
6 x
2 y − 2 x
dydx =
1
[
3 x
2 y
2 − 2 xy
]y=
y= dx
1
[
3 x
2 (2)
2 − 2 x (2) −
3 x
2 (0)
2 − 2 x (0)
)]
dx
1
12 x 2 − 4 x
dx
[
4 x 3 − 2 x 2
] 4
1
3 − 2 (4)
2 −
3 − 2 (1)
2
1
0
6 x 2 y − 2 x
dydx = 222
Ejercicio 2. Evalue la integral invirtiendo el orden de la integración
0
π 2
arcsin y
cos x
1 + cos^2 xdxdy
Solución. Ayudandonos de geogebra, podemos cambiar nuestros limites de in-
tegración de la siguiente manera
Figura 1: Representacion gra ca
Tenemos
0 ≤ x ≤ sin x 0 ≤ y ≤
π
2
π 2
0
(^) sin(x)
0
cos x
1 + cos^2 x
dydx
Procedemos a resolver la integral respecto de y
π 2
0
cos x
1 + cos^2 xy|
sin(x) 0 dx
Evaluamos
π 2
0
[
cos x
1 + cos^2 x (sin(x)) − cos x
1 + cos^2 x (sin(0))
]
dx
π 2
0
cos x
1 + cos^2 x (sin(x)) dx
Pasamos a integrar respecto de x
u = 1 + cos
2 x du = cos(x) sin(x)
Para poder resolver acompletamos con un − 2
π 2
0
−2 (u)
1 (^2) du
manera
(^2)
1
(^) − 3 y+
y− 1
y 2 dxdy =
1
[
y 2 x
]x=− 3 y+ x=y− 1 dy
1
y 2 (− 3 y + 7) −
y 2 (y − 1)
dy
1
− 3 y 3
y 3 − y 2
dy
1
− 3 y 3
dy
1
− 4 y 3
dy
[
−y 4
8 y^3
3
] 2
1
4
3
4
3
1
(^) − 3 y+
y− 1
y
2 dxdy=
Ejercicio 4. Evalue la integral
R arctan
y x
dA usando coordenadas polares
donde
R =
(x, y) | 1 ≤ x 2
Solución. Primero pasamos nuestras cordenadas rectangulares a polares y de-
terminamos nuestros límites con ayuda de geogebra
Figura 3: Representacion gra ca
Usando la converción tenemos
y = r sin θ x = r cos θ
arctan
r sin θ
r cos θ
rdrdθ
arctan (tan θ) rdrdθ
Acotamos
π 4
0
1
(θ) rdrdθ
Procedemos a integrar
π 4
0
(θ) dθ
1
rdr
[
θ^2
2
] π 4
0
[
r^2
2
] 2
1
Evaluamos los limites
[ (
π 4
2
] [
2
2
]
[
π^2
32
] [
]
[
π^2
32
] [
]
3 π^2
64
y sustituimos en la integral
E
r^2 dV =
E
rdV
(^2) π
0
0
− 5
r · rdzdrdθ
(^2) π
0
0
− 5
r 2 dzdrdθ
(^2) π
0
0
[
r 2 z
]z= z=− 5 drdθ
(^2) π
0
0
r 2 (4) −
r 2 (−5)
drdθ
(^2) π
0
0
4 r 2 −
− 5 r 2
drdθ
(^2) π
0
0
4 r 2
drdθ
(^2) π
0
0
9 r 2
drdθ
(^2) π
0
0
r 2
drdθ
(^2) π
0
[
r^3
3
]r=
r=
dθ
(^2) π
0
3
3
dθ
(^2) π
0
dθ
(^2) π
0
dθ
= 192 [θ]
2 π 0 = 192 [2π − 0]
= 192 [2π]
E
r^2 dV = 384π
Para el inciso b) nos apoyaremos de la siguiente gura
Figura 5: Representacion grá ca.
acotamos a z, r y θ
0 ≤ z ≤ 4 − x 2 − y 2
0 ≤ r ≤ 2
0 ≤ θ ≤
π
2
y convertimos la funcion a integrar recordando lo siguiente x = r cos θ, y =
r sin θ, z = z
x + y + z = r cos θ + r sin θ + z
y tambien transformamos a
4 − x 2 − y 2 = 4 −
r 2 cos 2 θ + r 2 sin 2 θ
r 2
cos 2 θ + sin 2 θ
r 2 (1)
4 − x 2 − y 2 = 4 − r 2
Ejercicio 6. Use cordenadas esfericas para resolver los siguientes ejercicios.
a) Evalue
E
x^2 + y^2 + z^2
dV , donde B es la bola con centro en el
origen y radio 5.
Solución. Ayudandonos de geogebra encontramos los límites de nuestra inte-
gral.
Figura 6: Representacion gra ca
Acotamos
(^) π
0
(^2) π
0
0
ρ 2
ρ 2 sin φdρdθdφ =
(^) π
0
(^2) π
0
0
ρ 6 sin φdρdθdφ
(^) π
0
(^2) π
0
[
ρ 7
sin φ
] 5
0
dθdφ
(^) π
0
(^2) π
0
[
ρ 7 sin φ
] 5
0 dθdφ
(^) π
0
(^2) π
0
[
7 sin φ
7 sin φ
]
dθdφ
(^) π
0
(^2) π
0
78125 sin φdθdφ =
(^) π
0
(^2) π
0
sin φdθdφ
(^) π
0
[sin φθ]
2 π 0 dφ
(^) π
0
[
sin φ (2π)
− sin φ (0)
]
dφ
(^) π
0
sin φ (2π) dφ =
78125 (2π)
7
(^) π
0
sin φdφ
156259 π
7
[− cos φ]
π 0
156259 π
7
[− cos (π) − (− cos (0))]
156259 π
7
[1 + 1] =
156259 π
7
[2]
312500 π
7
b) Utilizando coordenadas esféricas, encuentre la distancia promedio de un
punto de una esfera de radio 4 a su centro
Apoyandonos del problema anterior tenemos que la función de la esfera es
F (x, y, z) = x 2
- y 2
- z 2 y sus limites de integración son los siguientes:
f ormula :
V ol(D)
D
ρdV
V ol(D)
(^) π
0
(^2) π
0
0
ρ 2
ρ sin φdρdθdφ
4 πr^3 3
[ (^) π
0
(^2) π
0
0
ρ 3 sin φdρdθdφ
]
4 πr^3 3
[
(^) π
0
(^2) π
0
[
ρ 4
] 4
0 sin φdθdφ
]
4 πr^3 3
[
(^) π
0
(^2) π
0
[(
4
] 4
0 sin φdθdφ
]
4 πr^3 3
[
(^) π
0
(^2) π
0
256 sin φdθdφ
]
4 πr^3 3
[
(^) π
0
(^2) π
0
sin φdθdφ
]
4 πr^3 3
[
(^) π
0
[sin φθ]
2 π 0 dφ
]
4 πr^3 3
[
(^) π
0
[
sin φ (2π)
− sin φ (0)
]
d
]
φ
4 πr^3 3
[
128 π
(^) π
0
[sin φ] dφ
]
4 πr^3 3
[128π [− cos φ]
π 0 ]
4 πr^3 3
[128π [− cos (π) − (− cos (0))]
π 0 ]
C 2
xydx + x 2 y 3 dy =
0
16 t 3 dt
[
4 t 4
] 1
0 = 4
C 2
xydx + x
2 y
3 dy = 4
Parametrizamos al tercer segmento de recta de la siguiente manera
r (t) = (1 − t) r 0 + tr 1 , 0 ≤ t ≤ 1
= (1 − t) (0, 0) + t (1, 2)
= (0, 0) + (t, 2 t)
= (t, 2 t)
C 3
xydx + x 2 y 3 dy =
0
2 t 2
dt
[
t 3
t 6
] 1
0
3
5
C 3
xydx + x 2 y 3 dy =
Ahora calculamos la suma total
C 1
xydx + x 2 y 3 dy = 4 −
C 1
xydx + x 2 y 3 dy=
Ahora usamos el teorema de Green
C
xydx + x 2 y 3 dy =
D
2 xy 3 − xdA
0
(^2) x
0
2 xy 3 − x
dydx
0
[
xy^4
2
− xy
]y=2x
y=
dx
0
8 x 5 − 2 x 2
dx
[
8 x 5 − 2 x 2
] 1
0
[
4 x 6
2 x 3
] 1
0
C
xydx + x 2 y 3 dy=
Ejercicio 8. Utilice el teorema de Green para evaluar la integral de línea a lo
largo de la curva dada con orientación positiva.
C
y + e
√ x
dx +
2 x + cos y 2
dy, donde C es la frontera de la región en-
cerrada por las parábolas y = x 2 x = y 2
Solución. Primero escribimos nuestra diferencial de modo que podamos usar
el teorema
C
y + e
√ x
dx +
2 x + cos y 2
dy
D
2 − 1 dA
Apoyandonos de geogebra tenemos que los limites son
Solución. Procedemos a plantear, como esta en sentido contrario de las mane-
cillas del reloj el proceseo sera negativo por lo tanto
Figura 9: Representacion gra ca
C
F · dr
Usando la forma del teorema de Green
C
P dx + Qdy =
D
(^
∂Q
∂x
∂P
∂y
dA
colocamos los valores que corresponden al P y Q
C
(y − cos y) dx + (x sin x) dy = −
D
(^
∂x
x sin y −
∂y
− cos y
dA
D
(sin y − 1 + sin y) dA
D
dA
acotamos de la siguiente manera
0 ≤ θ ≤ 2 π
0 ≤ r ≤ 2
y seguimos
(^2) π
0
0
rdrdθ
(^2) π
0
dθ
0
rdr
= (2π) (2)
C
F · dr= 4π
Ejercicio 10. Determine a) el rotacional y b) la divergencia del campo vectorial.
F (x, y, z) = (x + yz) i + (y + xz) j + (z + xy) k
Solución. Primero determinaremos el rotacional
rotF = ∇XF
∇ × F =
i j k ∂ ∂x
∂ ∂y
∂ ∂z x + yz y + xz z + xy
= i (x − (x)) − j (y − (y)) + k (z − (z)))
= 0i − 0 j + 0k
Como el rotacional es cero entonces decimos que el campo vectorial es con-
servativo
(b) la divergencia
F (x, y, z) = (x + yz) i, (y + xz) j, (z + xy) k
divF = ∇ · F
∇ · F =
∂ (x + yz)
∂x
∂ (y + xz)
∂y
∂ (z + xy)
∂z
= i + j + k
