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CINEMATICA
Para observar y estudiar un objeto ya sea en el plano o en el espacio, se necesita un marco de
referencia, el cual debe tener un origen desde el cual se harán las medidas. Ya sean estas de
posición, velocidad o aceleración.
Vector posición.
Si tenemos un punto en el plano P(x,y) o en el espacio P(x,y,z) donde se encuentra un objeto, su
ubicación quedara determinada por el vector posición r⃗(t) medido en un sistema de
referencia, r⃗(t) se puede expresar en dos o tres componentes según sea el caso. Si es tres
componentes será.
r⃗ ( t )=x ( t )
^
i+ y ( t )
^
j+ z( t)
Trayectoria.
Es el lugar geométrico de las sucesivas posiciones que va ocupando el móvil en su recorrido.
Distancia
Es la medida del camino recorrido a lo largo de una trayectoria, es un escalar, siempre es positiva y
no coincide necesariamente con el desplazamiento que si es un vector.
Vector desplazamiento
Se determina por medio de la variación de la posición de un objeto. El vector desplazamiento es
un vector definido como el cambio de posición de la partícula. Δ( r⃗^ ¿¿^ ⃗r^
f
, en otras palabras el
vector posición se obtiene restando al vector posición final el vector posición inicial, por ejemplo
suponga que una persona estaba a 20 metros a la derecha de un poste ( el poste es el sistema de
referencia) por lo tanto su posición inicial es r⃗ o
^
im y luego camina hacia la derecha
quedando en la posición ⃗r f
^
i m respecto al poste, su vector desplazamiento será. Δ( r⃗^ ¿¿^ ⃗r^
f
r⃗ o
^
i− 20
^
i= 30
^
i m
Rapidez media
Esta viene dada por el cociente entre la distancia recorrida y el tiempo empleado en recorrerla.
rapidez media=
distancia
tiempo
d
t
Velocidad media
Esta se define como la razón del desplazamiento y el intervalo de tiempo transcurrido de ese
desplazamiento.
v=
Δ ⃗r
Δt
r f
− ⃗r o
t f
−t o
Velocidad instantánea
Esta se define como la velocidad en un instante de tiempo.
⃗^ v=lim
Δt−o
Δ r⃗
Δt
d ⃗r
dt
Si tenemos una posición que este expresada como una función que dependa del tiempo
r⃗ (t ) , debemos derivarla para obtener su velocidad ⃗v (t).
Aceleración media
a=
Δ ⃗v
Δt
v f
−⃗ v o
t f
−t o
Aceleración instantánea
b) Para buscar esta velocidad, que es la instantánea hay que derivar la posición (recordemos que
la velocidad es la derivada de la posición con respecto al tiempo) (^) r⃗ ( (^) t )= 4 t
2 ^ i− 3 t
^
j
⃗^ v=^
d r⃗
dt
= (^8) t
^
i− 3
^
jm/ s
v ( 2 )=8.
^
i− 3
^
j= 16 i− 3 j m/s
v ( 5 ) =8.
^
i− 3
^
j= 40 i− 3 j m/ s
c) La aceleración media entre los tiempos de 2s y 5s.
a=
Δ ⃗v
Δ t⃗
v ( 5 )−v ( 2 )
t f
−t o
24 i− 0 j
24 i− 0 j
= 8 i− 0 j m/s
d) La aceleración instantánea para t = 7 s. Para ello derivamos la velocidad ya que
a⃗ =
d ⃗v
dt
Como ⃗v=¿ (^8) t
^
i− 3
^
j ⃗a=^
d ⃗v
dt
= 8 i− 0 j= 8 i esta es la aceleración instantánea para 7 seg,
como se aprecia ya esta aceleración no depende de t.
Deducción de la velocidad en función del tiempo
a⃗ =
d ⃗v
dt
d ⃗v =⃗ a dt ∫
vo
v
d ⃗v= ∫
¿
t
⃗ a dt
⃗ v=⃗ a t+ ⃗v o
Deducción de la posición en función del tiempo
⃗^ v=^
d ⃗x
dt
de aquid (^) ⃗x= (^) ⃗v dt (^) luego ∫
xo
x
d ⃗x=∫
vo
v
⃗ v dt
Si sustituimos la ecuación ( 1) en la integral de la derecha e integramos al final llegaremos a
⃗^ x=^ ⃗x o
t +
a t
2
( 2 )
Si trabajamos las ecuaciones (1) y (2) llegaremos a la siguiente ecuación
⃗ v
2
=v o
2
+ 2 ⃗a ( ⃗x− ⃗x
o )
Cuando la aceleración es constante se emplean las tres ecuaciones anteriores (1), (2), (3).
Para relacionar la posición , la velocidad, la aceleración y el tiempo.
⃗ v=⃗ a t+ ⃗v o
⃗^ x=^ ⃗x o
t +
a t
2
( 2 )
⃗ v
2
=v o
2
+ 2 ⃗a ( ⃗x− ⃗x
o
Cuando se esté más adelante en caída libre en una dimensión en las ecuaciones anteriores se
sustituirán a⃗ =− ⃗g , ⃗x por ⃗y quedando (4),(5),(6) y las velocidades serán en el eje Y.
vf y
=− ⃗g t+ ⃗v o y
⃗^ y=^ y o
t−
g t
2
( 5 )
v ( t )=∫
t o
t
a ( t ) dt +v o
Si tengo velocidad (^) v (t) en función del tiempo y quiero posición (^) x (t ) debo integrar la
velocidad con respecto al tiempo ya que x (t )= ∫
v (t ) dt.
Recordar que en este caso cuando se integra hay que buscar la constante de integración x o
Esta constante dependerá de las condiciones iniciales que el problema debe dar.
x (t )=∫
to
t
v (t ) dt + x o
Resumen
a ( t ) v ( t )= ∫
a ( t ) dt x (t )= ∫
v (t ) dt
Cuando la aceleración es constante en línea recta en el
eje X las ecuaciones son
⃗ v=⃗ a t+ ⃗v o
⃗ x= ⃗x o
t +
a t
2
( 2 )
⃗ v
2
=v o
2
+ 2 ⃗a ( ⃗x− ⃗x
o
Ejercicio 2
Dos autos a y b se mueven con aceleración constante en la misma dirección y sentido. Para t=o
sus velocidades son V oa
= 1 m/s y V ob
= 3 m/ s y sus aceleraciones son a a
m
s
2
y
a b
m
s
2
. Si inicialmente a se encuentra 1.5 m delante de b , hallar : a) El tiempo para el cual
se encuentran b) La distancia en donde se encuentran c) La velocidad que tiene cada auto
cuando se encuentran.
Origen X = 0
b ------ 1,5 m -------- a
El origen se coloca en b y la ecuación que da la posición para cada móvil desde el origen es
móvil a X^ a
= X^
oa
+ V^
oa
t +
a a
t
2
, X^
oa
= 1,5 m V^ o a
= 1 m/ s a a
m
s
2
móvil b X^ b
= X^
ob
+ V^
ob
t +
a b
t
2
, X^
ob
= 0 m V^ ob
= 3 m/ s a b
m
s
2
Si se encuentran tendrán igual posición en ese momento, X^ a
= X^
b
, igualando las ecuaciones
X
b
= 0 + 3 t + ½ 1 (^) t
2
= 3 t+^
- t
2
con Xa=1,5+^1 t^ +^
2 t
2
se obtiene
Ejercicio 3
Una partícula se mueve a lo largo del eje X con velocidad v^ (^ t^ )=(^3 t
2
− 6 t )
m
s
. En el instante
en que se anula su aceleración, la partícula está en x = 2 m. a) Hallar la posición y la
aceleración en función del tiempo b) Determina la posición y la velocidad de la partícula
para t = 3,0 s.
Como me dan la velocidad en función del tiempo v ( t ) , si derivo la velocidad obtengo la
aceleración y si integro la velocidad obtengo la posición.
a=
dv
dt
=( 6 t− 6 )
m
s
2
busco el tiempo para el cual se anula la aceleración 6t – 6 = 0 , este será
t = 1 s y me dicen que para este tiempo la posición es x = 2 m. Ahora buscare la expresión para
la posición integrando la velocidad.
X ( t )= ∫
v ( t ) dt + x o
∫
( 3 t
2
− 6 t ) dt+ x
o
∫
3 t
2
dt+ ∫
− 6 t dt + x o
X ( t)= 3
t
3
t
2
3 − 3 t
2
Ahora debo hallar la constante x o
para obtener la
expresión definitiva X (t) , para ello debo interpretar la información de que para t= 1 s la
posición es x = 2 m.
X (^1 )= 1
3
−3. 1
2
= 2 de esta igualdad despejo x o
, x o
= (^4) luego la expresión
definitiva para X (t) quedara (^) X (t)=t
3
− 3 t
2
Ahora ya tenemos las tres expresiones.
X ( t )=(t¿¿ 3 − 3 t
2
+ 4 ) m¿ ,^ v ( t )=( 3 t
2
− 6 t )^ m/s
, a=(^6 t−^6 )^
m
s
2
Ahora podemos hallar la posición y la velocidad de la partícula para t = 3 s.
X (^3 )^ =( 3
2
v (^3 )^ =(^3.
2
−6.3)^ = 27 − 18 = 9 m/ s
Resumiendo si tenemos un problema con aceleración constante en línea recta en el eje X las
ecuaciones son
vf x
= ⃗v o x
⃗^ x=x o
+⃗ v ox
t+
a t
2
vf x
2
= ⃗v o x
2
x− ⃗x o
Si el movimiento es en el eje Y , caída libre las ecuaciones son
vf y
=⃗ v o y
− ⃗g t
⃗^ y=^ y o
t−
g t
2
vf y
2
= ⃗v o y
2
− 2 ⃗g
y− ⃗y
o )
Si el movimiento NO es a aceleración constante en el
eje X donde se den
x (t ) , v ( t) , a(t ) habrá que derivar o integrar
según sea al caso.
O A = 20 m/s B= - 50 m/s
Vba = Vbo - Vao = -50 -20 = - 70 m/s
Vba se interpreta como la velocidad del móvil b medido desde el móvil a
Vab = Vao - Vbo = 20 – (-50) = 20 + 50 = 70
Vab se interpreta como la velocidad del móvil a medido desde el móvil b
Movimiento acelerado y desacelerado
Si en un móvil el signo de su aceleración es igual al signo de su velocidad el movimiento es
acelerado.
Si en un móvil el signo de su aceleración no es igual al signo de su velocidad el movimiento
es desacelerado.
Es decir
Signo
a = signo
v se tiene un Mov acelerado
Signo
a No es = signo
v se tiene Mov desacelerado
