¡Descarga Ejercicios de Derivadas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!
Comencem
ï A partir díuna taula de valors, representa gr‡-
ficament la funciÛ. DÛna tota la
informaciÛ possible de la funciÛ.
D (^) f = R ñ { 2 }, R (^) f = R ñ { 0 }
Talla líeix díordenades en el punt (0, ñ1). No Ès simËtrica ni respecte de líeix díordenades ni res- pecte de líorigen. …s decreixent en tot el seu domini. Per valors de x < 2 la funciÛ Ès convexa, i per valors de x > 2 Ès cÚncava.
Exercicis
1. Estudia les simetries i indica els punts de
tall amb els eixos de la funciÛ:.
Com que f (ñx) =
= ñf (x), la funciÛ Ès imparella, per tant Ès simË- trica respecte de líorigen de coordenades.
f (x) = 0 Æ = 0 Æ x^3 = 0 Æ x = 0,
talla els eixos en líorigen.
2. Donada la funciÛ dedueix-ne:
a) El domini i els tipus de discontinuÔtats.
D (^) f = R ñ {ñ1}, , presenta una
discontinuÔtat asimptÚtica en x = ñ1.
b) Les simetries.
En ser f(ñx) = ñ , vol dir que f(ñx) π f(x)
i f(ñx) π ñf(x), per tant la funciÛ no Ès pare- lla ni imparella, la gr‡fica no Ès simËtrica ni respecte de líeix díordenades ni respecte de líorigen.
c) Els punts de tall amb els eixos de coor-
denades. f(x) = 0 Æ x ñ 1 = 0 Æ x = 1, talla líeix díabs- cisses en el punt (1, 0). f(0) = ñ1, talla líeix díordenades en el punt (0, ñ1).
3. Troba el recorregut de la funciÛ de líexerci-
ci anterior a partir del domini de la funciÛ inversa.
f ñ1^ (x) = Æ Rf = Dfñ1^ = R ñ { 1 }.
4. a) Per quË una funciÛ no pot ser simËtrica
respecte de líeix díabscisses? Hi hauria valors de x que tindrien dues imat- ges.
b) Per quË la gr‡fica díuna funciÛ pot tallar
com a m‡xim per un punt líeix OY? Si tallÈs en mÈs díun punt líeix OY, el valor x = 0 tindria mÈs díuna imatge.
5. Justifica de manera raonada per quË la gr‡-
fica díuna funciÛ no talla en cap punt una asÌmptota vertical. Si la gr‡fica tallÈs una asÌmptota vertical, hi hauria valors de x que tindrien mÈs díuna imat- ge, i per tant no seria una funciÛ.
6. Demostra que les funcions polinÚmiques no
tenen asÌmptotes de cap tipus.
En ser p(x) = • , fa que no tingui asÌmpto- tes verticals ni horitzontals, i com que
m = = • , tampoc en tÈ díobliq¸es.
lim x
p x Æ• x
lim x Æ•
x x
x x
1
lim x 1
x Æ- x
x f x x
3 (^2 )
x x +
3 3 3 2 2 2
x x x x x x
3 ( ) (^22)
x f x x ++
x ñ2 0 4 6 f (x) = 2/(x ñ 2) ñ1/2 ñ1 1 1/
f x x - -
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
SOLUCIONARI Unitat 4
7. Troba, si níhi ha, els punts de tall de lía-
sÌmptota obliqua i la gr‡fica de la funciÛ de líexemple 1 apartat b. No es tallen en cap punt, ja que líequaciÛ
= x ñ 1, no tÈ soluciÛ.
8. Troba les asÌmptotes de les funcions
seg¸ents:
a)
D (^) f = R ñ {ñ2, 2}
verticals: x = ñ2 i x = 2, horitzontal: y = 0, no en tÈ díobliq¸es.
b)
D (^) f = R, no tÈ asÌmptotes verticals
, tampoc no en tÈ díhorit-
zontals.
asÌmptota obliqua: y = 2x
c)
D (^) f = R, no tÈ asÌmptotes verticals.
Æ asÌmptota horitzontal:
y = 0 per a x Æ + •
Æ no tÈ asÌmptota horit-
zontal per a x Æ ñ •
Æ no tÈ asÌmptotes obli-
q¸es.
d)
Df = R ñ {ñ3}; Æ la recta x =
= ñ3 Ès una asÌmptota vertical.
Æ la recta y = ñ2 Ès una
asÌmptota horitzontal.
e)
D (^) f = R ñ { 5 }; Æ la recta x = 5
Ès una asÌmptota vertical.
no tÈ cap asÌmptota horit-
zontal.
no tÈ cap asÌmptota obliqua.
f)
D (^) f = R ñ {ñ1}; Æ la recta
x = ñ1 Ès una asÌmptota vertical.
Æ la recta y = 0 Ès una
asÌmptota horitzontal.
9. Justifica la validesa o falsedat de les afirma-
cions seg¸ents:
a) Si f(x) Ès creixent en el punt x = x 0 , ales-
hores fí(x 0 ) > 0. Fals. Per exemple la funciÛ f(x) = x^3 Ès crei- xent en tots els reals i en canvi f '(0) = 0
b) Si f(x) Ès decreixent en el punt x = x 0 ,
aleshores fí(x 0 ) £ 0. Veritat, ja que si la funciÛ Ès decreixent la funciÛ derivada no Ès positiva.
c) Si f(x) Ès creixent a líesquerra del punt
x = a i decreixent a la dreta del mateix punt, aleshores x = a Ès un m‡xim. Fals. En el punt x = a, pot haver-hi una dis- continuÔtat asimptÚtica.
10. Estudia els intervals de creixement i decrei-
xement de les funcions seg¸ents:
a)
f '(x) = < 0 "xŒD (^) f = R ñ { 1 }, la fun-
ciÛ Ès decreixent en tot el seu domini.
2
( x 1)
x f x x
2
lim 0 x Ʊ• (^) ( x 1)
1 2
lim x Æ- (^) ( x 1)
2
f x x
3 2 lim lim x (^) ( 5) x 5
x x m Ʊ• (^) x x Ʊ•x
3 lim x 5
x Ʊ• (^) x
3 5 lim x 5
x Æ (^) x
3 ( ) 5
x f x x
lim 2 x 2 6
x Ʊ• x
3
lim x 2 6
x Æ- x
x f x x
lim x ex
x m Æ-• x
lim x ex
x m Æ-• x
lim 0 x ex
x Æ+•
( ) (^) x x f x e
3 2 2 1
lim 2 lim 0 x 1 x
x x n x Ʊ• (^) x Ʊ•x +
Ê ˆ -
= Á - ˜= =
Ë + ¯
3 2 2 2
lim lim 2 x (^) ( 1) x 1
x x m Ʊ• (^) x x Ʊ•x
3 2
lim x 1
x Ʊ•x
3 2
x f x x
2
lim 0 x 4
x Æ•x
2 2
lim x 4
x Æ x
lim x 4
x Æ- x
2
x f x x
2
4 2
x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
b) f(x) = x^3 (x ñ 4)
En (ñ•, 0) i (2, + •) la funciÛ Ès cÚncava, en (0, 2) Ès convexa, en x = 0 i x = 2 hi ha punts díinflexiÛ.
c)
En els intervals (ñ•, ñ2 ) i (0, 2 ) la fun- ciÛ Ès convexa, en (ñ2 , 0) i (2 , + •) Ès cÚncava, x = ñ2 , x = 0 i x = (^2) sÛn punts díinflexiÛ.
d)
En (ñ•, ñ2) i (ñ2, 0) Ès convexa, en (0, 2) i (2, + •) Ès cÚncava, tÈ un punt díinflexiÛ en x = 0.
15. Troba líequaciÛ de la recta tangent al gr‡fic
de les funcions seg¸ents en cada un dels seus punts díinflexiÛ:
a) f(x) = x^3 ñ 3x^2 + 2x
f '(x) = 3x^2 ñ 6x + 2 Æ f ''(x) = 6x ñ 6 f ''(x) = 0 Æ 6 x ñ 6 = 0 Æ x = 1 m = f '(1) = 3 ñ 6 + 2 = ñ y 0 = f(1) = 1 ñ 3 + 2 = 0 Æ P(1,0) y = ñ(x ñ1) Æ y = ñx + 1
b) f(x) = x(x ñ 1) 3
f '(x) = 4x^3 ñ 9x^2 + 6x ñ 1 Æ f ''(x) = 12x^2 ñ 18x + 6 f ''(x) = 0 Æ 12 x^2 ñ 18x + 6 = 0 Æ
x 1 = 1, x 2 =
m 1 = f '(1) = 0 y 1 = f(1) = 0 Æ P 1 (1,0)
y = 0
Æ y = x ñ
c) f(x) =
Æ
Æ
f ''(x) = 0 Æ 3ex(3 ñ ex) = 0 Æ 3 ñ ex^ = 0 Æ ex^ = 3 Æ ln
y ñ = (x ñ ln3) Æ y = x +
d) f(x) = eñx
f(x) = e ñx^ = Æ f '(x) = ñ Æ f ''(x) = f(x) =
f ''(x) π 0 "xŒD (^) f Æ no presenta cap punt díinflexiÛ
16. Determina els intervals de concavitat i con-
vexitat de cadascuna de les funcions de líe- xercici anterior.
a) punt díinflexiÛ: x = 1; D f = R
(ñ•,1) Æ f ''(0) = ñ6 < 0 Æ f(x) Ès inversa (1,+•) Æ f ''(2) = 6 > 0 Æ f(x) Ès cÚncava
b) punts díinflexiÛ: x 1 = 1, x 2 = ; D f = R
(ñ•, ) Æ f ''(0) = 6 > 0 Æ f(x) Ès cÚncava
( ,1) Æ f ''(0,6) < 0 Æ f(x) Ès convexa
(1,+•) Æ f ''(2) = 18 > 0 Æ f(x) Ès cÚncava
c) punt díinflexiÛ: x = ln3; D f = R
(ñ•,ln3) Æ f ''(0) > 0 Æ f(x) Ès cÚncava (ln3,+•) Æ f ''(2) < 0 Æ f(x) Ès convexa
d) no hi ha punts díinflexiÛ, D f = R
(ñ•,+•) Æ f ''(0) = 1 > 0 Æ f(x) Ès cÚncava
17. Dibuixa el gr‡fic díuna funciÛ que tingui un
punt díinflexiÛ de tangent horitzontal en el punt x = 1, de manera que en aquest punt la funciÛ passi de cÚncava a convexa. Justifi- ca el creixement o decreixement de la fun- ciÛ en el punt x = 1. Resposta oberta. Per exemple:
ex
ex
ex
2 ln 4
0
'(ln3) 4 1 1 (ln3) ln3, 2 2
m f
y f P
= = Ô
Ô
Ê ˆ˝
= = Æ Á ˜Ô
Ë ¯˛Ô
3
3e (3 e ) ''( ) (3 e )
x x f x (^) x
3e '( ) (3 e )
x f x = (^) + x
1 1 e ( ) 1 3e 3 3 e 1 e
x x x x
f x = (^) - = =
1 ++3e - -x
x
Ê ˆ
Á - ˜
Ë ¯
y
2
2 2
m f
y f P
Ê ˆ^ ¸
= Á ˜ = Ô
Ë ¯ Ô
Ê ˆ Ê ˆÔ
= Á ˜ = - Æ Á - ˜
Ë ¯ Ë ¯˛Ô
x f x x
2
x f x x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
En el punt díabscissa x = 1 la funciÛ Ès decrei- xent.
18. Dibuixa les gr‡fiques de fí(x) i de fíí(x) a par-
tir de la gr‡fica de f(x) (fig. 4.18).
19. Si fíí(x 0 ) > 0, aleshores f(x) Ès cÚncava en
x = x 0 , perÚ no recÌprocament. Justifica-ho. Si f(x) Ès cÚncava en x = x 0 Æ f '(x) Ès creixent en x = x 0 Æ f ''(x 0 ) > 0.
20. Donada la funciÛ f(x) = x^3 , dibuixa, mitjan-
Áant una taula de valors, les gr‡fiques de f(x), fí(x) i fíí(x). Explica de manera raonada quË passa en el punt x = 0.
En el punt x = 0 hi ha un punt díinflexiÛ de tan- gent horitzontal, on la funciÛ Ès creixent, i passa de convexa a cÚncava.
21. Considera les funcions dels apartats a) i b)
de líexercici 12: de cadascuna díaquestes, dedueix-ne els m‡xims i els mÌnims aplicant el test de la segona derivada. Comparaín els resultats.
a) f '(x) = 12x^3 ñ 12x Æ f ''(x) = 36x^2 ñ 12
f '(x) = 0 Æ 12 x^3 ñ 12x = 0 Æ x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = ñ f ''(0) = ñ12 < 0 Æ en x = 0 hi ha un m‡xim f ''(1) = 24 > 0 Æ en x = 1 hi ha un mÌnim f ''(ñ1) = 24 > 0 Æ en x = ñ1 hi ha un mÌnim
b) f '(x) = 4x^3 + 6x^2 Æ f ''(x) = 12x^2 + 12x
f '(x) = 0 Æ 4 x^3 + 6x^2 = 0 Æ x 1 = 0, x 2 = ñ
f ''(0) = 0 Æ en x = 0 hi ha un punt díinflexiÛ de tangent horitzontal
f '' = 9 > 0 Æ en x = ñ hi ha un mÌnim
22. Dibuixa la gr‡fica díuna funciÛ tal que:
a) Tingui un m‡xim i un mÌnim relatius, i no
tingui cap punt díinflexiÛ.
b) Tingui un punt díinflexiÛ i no tingui cap
m‡xim ni cap mÌnim relatius.
23. a) A partir de les gr‡fiques dels exemples 4
i 5, justifica les simetries, el recorregut i
Ê ˆ
Á - ˜
Ë ¯
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
hi ha simetries. R (^) f = (ñ•, ), el punt (2, )
Ès un m‡xim absolut, no tÈ mÌnim absolut.
c)
D (^) f = R Æ no tÈ asÌmptotes verticals
Æ la recta y = 1/8 Ès una
asÌmptota horitzontal. No tÈ asÌmptotes obliq¸es. f(x) = 0 Æ x^2 ñ x = 0 Æ x(x ñ 1) = 0 Æ x = 0, x = 1; passa pels punts (0,0), (1,0)
f '(x) = , f '(x) = 0 Æ 8 x^2 + 2x ñ 1 =
= 0 Æ x = ñ1/2, x = 1/4.
En (ñ1/2,1/4) hi ha un m‡xim, en (1/4, ñ1/8) hi ha un mÌnim.
La gr‡fica no Ès simËtrica ni respecte de líeix díordenades, ni respecte de líorigen. R (^) f = [ñ1/8,1/4], el m‡xim i el mÌnim relatius sÛn tambÈ absoluts. Considerem els punts díabcissa a, b i c tals
que: a < ñ , ñ < b < 0 i c > 1, on la funciÛ
canvia la concavitat, Ès cÚncava en (ñ•, a) i (b, c) i Ès convexa en (a, b) i (c, + •), els punts a, b i c sÛn punts díinflexiÛ. La gr‡fica no Ès simËtrica ni respecte de líeix díorde-
nades ni respecte de líorigen. R (^) f = (ñ , ),
el punt (ñ , ) Ès un m‡xim absolut i el
punt ( , ñ ) Ès un mÌnim absolut.
d)
D (^) f = R ñ { 1 }
= • Æ la recta x = 1 Ès una
asÌmptota vertical.
= • Æ no hi ha asÌmptotes horit-
zontals.
la recta y = x + 4 Ès una asÌmptota obliqua. f(x) = 0 Æ x^2 + 3x = 0 Æ x = ñ3, x = 0; talla els eixos en els punts (ñ3,0) i (0,0)
f '(x) = , f '(x) = 0 Æ x^2 ñ 2x ñ 3 =
= 0 Æ x = ñ1, x = 3
Hi ha un m‡xim en (ñ1,1) i un mÌnim en (3,9).
No Ès simËtrica ni respecte de líeix díorde- nades, ni respecte de líorigen.
Rf = R ñ (1,9), no tÈ ni m‡xims ni mÌnims absoluts.
2 2
x x x
lim lim 4 x 1 x 1
x x x n x Æ• (^) x Æ•x
Ê + ˆ
= Á - ˜= =
Ë -^ ¯ -
( )
lim lim 1 x 1 x 1
x x x m Æ• (^) x x Æ•x
lim x 1
x x Æ• x
2 1
lim x 1
x x Æ x
x x f x x
2 2 2
x x x
2 2
lim x 8 1 8
x x Æ• x
2 ( ) (^8 ) x x f x x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
En líinterval (ñ•, 1) Ès convexa i Ès cÚn-
cava en (1, + •), no tÈ cap punt díinflexiÛ.
El recorregut Ès R f = R ñ (1, 9), no Ès
simËtrica ni respecte de líeix díordenades
ni respecte de líorigen. No hi ha ni m‡xim
ni mÌnim absoluts.
A partir de les gr‡fiques dibuixades, infor- ma sobre la concavitat, els punts díinflexiÛ, les simetries, el recorregut i els m‡xims i mÌnims absoluts de cada funciÛ.
25. Dibuixa la gr‡fica de les funcions seg¸ents:
a) f(x) = x^4 ñ 4x
Df = R. …s una funciÛ polinÚmica, per tant no tÈ cap tipus díasÌmptota. x^4 ñ 4x = 0 Æ x = 0, x = ; talla els eixos en líorigen i en el punt ( ,0) f '(x) = 4x^3 ñ 4, f '(x) = 0 Æ 4 x^3 ñ 4 = 0 Æ Æ x = 1 f "(x) = 12x^2 , f "(1) = 12 > 0 Æ en el punt (1, ñ3) hi ha un mÌnim.
b) f(x) =
Df = R ñ {0}
líeix díordenades Ès una
asÌmptota vertical.
la recta y = 1 Ès una asÌmp-
tota horitzontal. No en tÈ díoblÌq¸es. f(x) = 0 Æ x = 1, talla líeix díabscisses en el punt (1,0) x = 0œDf Æ no talla líeix díordenades fí(x) = 1/x^2 , no tÈ cap punt estacionari. Com que f(x) > 0, "xŒDf; la funciÛ Ès creixent en tot el seu domini.
26. Observa la gr‡fica de la funciÛ (fig. 4.28) i
dÛna tota la informaciÛ possible de la fun- ciÛ.
La recta y = x Ès una asÌmptota obliqua, les rectes x = ña i x = a sÛn asÌmptotes verticals. En el punt x = ñb hi ha un m‡xim relatiu, en x = 0 hi ha un punt díinflexiÛ de tangent horitzon- tal i en x = b hi ha un mÌnim relatiu. Talla els eixos de coordenades en líorigen, el domini i el recorre- gut sÛn Df = R ñ {ña, a} i Rf = R respectivament. …s una funciÛ imparella, ja que la gr‡fica Ès si- mËtrica respecte de líorigen, no tÈ ni m‡xim ni mÌnim absoluts. …s creixent en (ñ•, ñb), (ña, a) i (b, + • ), i Ès decreixent en (ñb, ña) i (a, b), Ès convexa en (ñ•, ña) i (ña, 0) i Ès cÚn- cava en (0, a) i (a, + • ).
27. En líexemple 6, troba el m‡xim a partir de la
variable y. x = 30 ñ (3/2)y = f(y) = (ñ3/2)y^2 ñ 20 y +
- 17 000 Æ f '(y) = ñ3y ñ 20 f '(y) = 0 Æ y = ñ20/3œ[0,20) Per a y = 0 Æ f(0) = 17 000 cm^2. Per a y = 20 Æ Æ f(20) = 16 000 cm 2. La soluciÛ Ès y = 0 Æ x = 30 cm.
28. Resol líexemple 7 a partir de la variable r.
A = pr^2 + c^2
2 pr + 4c = 1 Æ c =
f(r) = r^2 ñ pr + Æ polinÚmica de 2n
grau on a > 0, per tant tindr‡ un mÌnim.
f '(r) = r ñ p
f '(r) = 0 Æ r ñ p = 0 Æ p = m
Per construir la circumferËncia es necessita:
8 + 2 p
p + p
p + p
p + p
p + p r - pr +
(^2 2 ) 2 1 2 2 1 4 4 4 16
r r r A r r Ê -^ p^ ˆ -^ p^ +^ p = p + (^) Á ˜ = p + = Ë ¯
lim 1 x
x Æ• x
= Æ
0
lim x
x Æ x
= • Æ
x 1 x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
b) En canviÔ la concavitat, perÚ no el creixe-
ment.
Respostes obertes, per exemple:
3. Dibuixa la gr‡fica díuna funciÛ que sigui
contÌnua en tots els reals i que tingui un punt x = x 0 on canviÔ el creixement i la con- cavitat de la funciÛ. En aquest punt Ès deri- vable la funciÛ? Raona la resposta.
Resposta oberta, per exemple:
En el punt x = x 0 la funciÛ no Ès derivable, ja que en aquest punt no existeix una ˙nica recta tangent a la gr‡fica.
4. Tenim una funciÛ f(x) de la qual sabem que
la seva derivada Ès positiva en tot x π 2 i síanul∑la en x = 2, tal com indica la figura (fig. 4.32). QuË pots dir de la funciÛ f(x) en el punt x = 2? Tindr‡ en aquest punt un m‡xim, un mÌnim, un punt díinflexiÛ? Raona detalladament la resposta.
En el punt x = 2 hi ha un punt díinflexiÛ de tan- gent horitzontal; ja que f '(x) > 0 "xŒD (^) f i x π 2, per tant no canvia el naixement en el punt x = = 2, tot i que f '(2) = 0.
5. Sabem que la gr‡fica de la derivada fí(x)
díuna funciÛ f(x) Ès el que mostra el dibuix (fig. 4.33), síanul∑la en x = 1, x = 2 i x = 3. Digues quins valors de x corresponen a mÌnims relatius de f(x). Explica el perquË de la teva resposta.
En el punt x = 1 la funciÛ f '(x) síanul∑la i passa de positiva a negativa, per tant la funciÛ f(x) passa de creixent a decreixent, aleshores en x = 1 hi ha un m‡xim.
En el punt x = 0 tambÈ síanul∑la f '(x), perÚ no canvia de signe, continua sent negativa, per tant la funciÛ f(x) Ès decreixent en aquest punt, aleshores en x = 0 hi ha un punt díinflexiÛ de tangent horitzontal.
En el punt x = 3 tenim que f '(3) = 0, i la deriva- da passa de negativa a positiva, la funciÛ f(x) passa de decreixent a creixent, aleshores en x = 3 hi ha un mÌnim.
6. Tenim una funciÛ derivable f(x) definida per
a x > 0, de la qual sabem que la seva gr‡fica Ès el que síindica (fig. 4.34), líeix díordena- des Ès asÌmptota vertical, la recta y = x Ès asÌmptota obliqua i tÈ un mÌnim en el punt x = 1. Fes un esquema senzill de la gr‡fica de la funciÛ fí(x) tot explicant raonadament la resposta.
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
7. Sigui f(x) una funciÛ derivable en tots els
reals.
a) Si sabem que fí(a) = 0, pots afirmar que
f(x) tÈ necess‡riament un m‡xim o un mÌnim relatiu en el punt x = a? No, ja que tambÈ podria ser un punt díinfle- xiÛ de tangent horitzontal.
b) Si sabem que la derivada de f(x) Ès nega-
tiva en tots els punts x < a i positiva en tots els punts x > a, pots afirmar que f(x) tÈ necess‡riament un mÌnim relatiu en el punt x = a? SÌ, ja que en ser derivable tambÈ Ès contÌ- nua, i aixÚ fa que necess‡riament en x = a hi hagi un mÌnim relatiu.
8. Calcula el valor de k per tal que:
a) La funciÛ f(x) = x e ñkx^ tingui un m‡xim o
un mÌnim relatiu en el punt x = 1. f '(x) = eñkx(1 ñ kx) f '(1) = 0 Æ eñk(1 ñ k) = 0 Æ 1 ñ k = 0 Æ k = 1
b) La funciÛ tingui lÌmit 2
quan x Æ +•.
= 2 Æ k^2 = 1 Æ
k = ± 1
c) La funciÛ f(x) = ln (kx 2 + 1) sigui creixent
en x = 1.
f '(x) = ; f '(1) > 0 Æ > 0 Æ
k < ñ1 o k > 0
9. Raona la certesa o la falsedat de les afirma-
cions seg¸ents:
a) Dues funcions amb idËntica funciÛ deri-
vada sÛn necess‡riament idËntiques.
Fals, per exemple f(x) = x^2 i g(x) = x^2 + 2 tenen la mateixa funciÛ derivada i en canvi sÛn diferents.
b) La funciÛ f(x) = 2x + cos x Ès sempre crei-
xent. Veritat, ja que f '(x) = 2 ñ sin x Ès sempre positiva; perquË sin x £ 1 < 2 Æ 2 ñ sin x > 0
c) La funciÛ f(x) = 4x ñ sin x no tÈ cap punt
estacionari.
Veritat, ja que f '(x) = 4 ñ cos x no síanul∑la per cap valor de x, perquË cos x π 4 "xŒR
10. Determina els coeficients a i b de la funciÛ
seg¸ent f(x) = x^3 + ax 2 + bx, sabent que can- via de cÚncava a convexa en el punt x = 1 i que la recta tangent al gr‡fic de la funciÛ en aquest mateix punt Ès horitzontal.
f '(x) = 3x^2 + 2ax + b Æ f ''(x) = 6x + 2a f ''(1) = 0 Æ 6 + 2a = 0 Æ a = ñ f '(1) = 0 Æ 3 + 2a + b = 0 Æ 3 ñ 6 + b = 0 Æ b = 3 f(x) = x^3 ñ 3x 2 + 3x
11. Determina els coeficients a i b de la funciÛ
seg¸ent f(x) = ax 2 + bx + 2, sabent que la recta tangent al gr‡fic en el punt x = 1 Ès la recta y = ñ2x.
f '(1) = ñ2 Æ 2 a + b = ñ f(1) = ñ2 Æ a + b + 2 = ñ2 Æ a + b = ñ 4 a = 2, b = ñ6 Æ f(x) = 2x^2 ñ 6x + 2
12. Determina quins sÛn els coeficients a, b i c
de la funciÛ f(x) = ax 3 + bx 2 + cx per tal que aquesta funciÛ tingui un m‡xim relatiu en x = 0, un mÌnim relatiu en x = 1 i compleixi la
condiciÛ f(1) = ñ.
f '(0) = 0 Æ c = 0 f '(1) = 0 Æ 3 a + 2b + c = 0 Æ 3 a + 2b = 0 f(1) = ñ1/2 Æ a + b + c = ñ1/2 Æ a + b = ñ1/ Díon síobtÈ que a = 1, b = ñ3/2 Æ f(x) = x^3 ñ (3/2)x^2
k (^2) k +
kx kx +
2 2 2 2
lim x ( 1)
x Æ+•kx k k
= Æ
2 2
x f x kx
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
e) f(x) =
D (^) f = R ñ { 2 }, la recta x = 2 Ès una asÌmpto- ta vertical, no en tÈ díhoritzontals i la recta y = x + 4 Ès una asÌmptota obliqua. Passa pels punts (ñ2,0) i (0,0), els valors x = 2 ± ± 2 anul∑len la primera derivada, Ès crei- xent en (ñ•, 2 ñ 2 ) i (2 + 2 , + • ), i decreixent en els intervals (2 ñ 2 ,2) i (2,2 + 2 ), per tant en el punt x = 2 ñ 2 la funciÛ presenta un m‡xim i en x = 2 +
f) f(x) =
El domini Ès Df = R ñ {ñ2, 2}, les rectes x = ñ2 i x = 2 sÛn asÌmptotes verticals, la recta y = 0 Ès una asÌmptota horitzontal. TÈ un m‡xim relatiu en el punt (0, ñ2) i no tÈ cap mÌnim relatiu, ja que Ès creixent en els inter- vals (ñ•, ñ2) i (ñ2, 0), i Ès decreixent en (0, 2) i (2, + • ).
g) f(x) = x^2 +
D (^) f = R ñ { 0 }, líeix díordenades Ès una asÌmptota vertical, no en tÈ díhoritzontals ni díobliq¸es. Talla líeix díabscisses en el punt (ñ , 0), en x = 1 hi ha un punt estaciona- ri, que resulta ser un mÌnim ja que Ès decrei- xent en (ñ•, 0) i (0, 1) i creixent en (1, + • ).
h) f(x) =
D (^) f = R ñ {ñ1,1}, les rectes x = ñ1 i x = 1 sÛn asÌmptotes verticals, la recta y = x Ès una asÌmptota obliqua. TÈ un m‡xim i un mÌnim relatius en x = ñ i en x = respectiva- ment, el punt (0, 0) Ès un punt díinflexiÛ de tangent horitzontal, ja que Ès creixent en (ñ•, ñ ) i ( , + • ) i decreixent en (ñ , ñ1), (ñ1, 1) i (1, ).
i) f(x) =
D (^) f = R ñ {ñ 4}, la recta x = ñ 4 Ès una asÌmptota vertical, no en tÈ díhoritzontals ni díobliq¸es. Talla els eixos en líorigen, tÈ un punt estacionari en x = ñ2, com que Ès crei- xent en tot el seu domini, fa que en el punt
e 4
x^ x x ++
3 (^2 )
x x - -
x
2
x - - 4
x x x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
(ñ2, ñe ñ2^ ) hi hagi un punt díinflexiÛ de tan- gent horitzontal.
j) f(x) =
D (^) f = R ñ { 0 }, líeix OY Ès una asÌmptota ver- tical, no níhi ha de cap mÈs tipus. No talla els eixos en cap punt, f '(x) síanul∑la en x = ±1, en el punt (ñ1, ñ4) hi ha un m‡xim i en (1, 4) un mÌnim, ja que Ès creixent en (ñ•, ñ1) i (1, + • ), i decreixent en (ñ1, 0) i (0, 1).
16. A partir de la gr‡fica, dÛna tota la informa-
ciÛ possible de les funcions dels apartats a, d, f i h de líexercici anterior.
a) D f = R ñ {2}, les rectes x = 2 i y = 0 sÛn una
asÌmptota vertical i una asÌmptota horitzon- tal respectivament. Talla els eixos en els punts (3, 0) i (0, ñ3), tÈ un m‡xim absolut en el punt (4, 1) i presenta un punt díinflexiÛ en x = 5. …s decreixent en (ñ•, 2) i (4, + • ), creixent en (2, 4), Ès convexa en (ñ•, 2) i (2, 5) i cÚncava en (5, + • ). No Ès simËtrica ni respecte de líeix díordenades ni respecte de líorigen, el recorregut Ès R (^) f = (ñ•, 1).
d) D f = R, talla líeix díabscisses en (ñ , 0),
(0, 0) i ( , 0), tÈ un m‡xim relatiu en (ñ1, ñ2) i un mÌnim relatiu en el punt (ñ2, 1), el punt (0, 0) Ès un punt díinflexiÛ. …s simË- trica respecte de líorigen, Ès creixent en (ñ•, ñ1) i (1, + •), decreixent en (ñ1, 1), Ès convexa en (ñ•, 0) i cÚncava en (0, + •). R (^) f = R no hi ha ni m‡xim ni mÌnim absoluts.
f ) El domini Ès D (^) f = R ñ {ñ2, 2}, les rectes x = ñ2 i x = 2 sÛn asÌmptotes verticals, la recta y = 0 Ès una asÌmptota horitzontal. TÈ un m‡xim relatiu en el punt (0, ñ2), no tÈ cap mÌnim relatiu ni cap punt díinflexiÛ. …s crei- xent en els intervals (ñ•, ñ2) i (ñ2, 0), i Ès decreixent en (0, 2) i (2, + •), Ès cÚncava en (ñ•, ñ2) i (2, + •) i convexa en líinterval (ñ2, 2). …s simËtrica respecte de líeix díorde- nades, el recorregut Ès R (^) f = R, no hi ha cap m‡xim ni cap mÌnim absoluts. h) Df = R ñ {ñ1, 1}, les rectes x = ñ1 i x = 1 sÛn asÌmptotes verticals, la recta y = x Ès una asÌmptota obliqua. TÈ un m‡xim i un mÌnim relatius en x = ñ i en x = respectiva- ment, el punt (0, 0) Ès un punt díinflexiÛ de tan- gent horitzontal, Ès creixent en (ñ•, ñ ) i ( , + •) i decreixent en (ñ , ñ1), (ñ1, 1) i (1, ), Ès convexa en (ñ•, ñ1) i (0, 1) i cÚn- cava en (ñ1, 0) i (1, + •). …s simËtrica respec- te de líorigen, el recorregut Ès Rf = R, no tÈ cap m‡xim ni cap mÌnim absoluts.
17. Calcula els intervals de creixement i de de-
creixement, els m‡xims i els mÌnims de la funciÛ seg¸ent:
DesprÈs fes un esquema senzill del gr‡fic. …s creixent en els intervals (ñ•, ñ2 000) i (0, + •), i decreixent en líinterval (ñ2 000, 0). Els punts x = ñ2 000 i x = 0 sÛn respectivament un m‡xim i un mÌnim.
18. Considera la funciÛ seg¸ent:
per a x > 0. Troba els valors de x tals que
ln ( ) x f x x
( ) 2 e^1000
x f x == x ◊◊
x^4 x
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
Emprant les variables x, y del dibuix, tenim
base: b = 2x =10 dm
alÁada: h = 10 + y = 10 + = = 10 + = 10 + = 15 dm
S = bh = 10 ∑ 15 = 75 dm^2 Ès lí‡rea
m‡xima
25. Una persona transporta un vidre molt prim
per un carrer en forma de L, de manera que una de les parts del carrer tÈ 4 m díamplada i líaltra, 3 m. Quina ser‡ la longitud m‡xima que podr‡ tenir el vidre per poder passar- hi?
Emprant les variable x, a del dibuix, tenim
l = l 1 + l 2 Ès la longitud del carrer
= 4cos 3 a
a = 47,74∫ Ès un mÌnim per líamplada del carrer, per tant ser‡ un m‡xim per la longitud del mirall.
= 4,46 + 5,40 = 9,86 m = 986 cm Ès la longitud m‡xima que pot tenir el mirall
26. Considera una pir‡mide recta que tÈ per ba-
se un hex‡gon regular dí1 cm de costat. Líal- tura díaquesta pir‡mide mesura tambÈ 1 cm. Digues a quina dist‡ncia de la base síha de situar un punt P sobre líaltura per tal que la suma de les dist‡ncies de P als vËrtexs de la pir‡mide sigui mÌnima.
Ès un mÌnim.
El punt P síha de situar a cm del centre
de la base.
27. Un triangle isÚsceles de perÌmetre 27 cm gira
al voltant de la seva altura, i engendra un con. Calcula la base del triangle perquË el con generat tingui volum m‡xim, i determinaíl.
'(0,1) 0 ( ) decreix per x < 35 1 (^1 ) '(0,2) 0 ( ) creix per x > 35
f f x x f f x
< Æ Ô
Ô
> Æ Ô
Ô˛
36 2 2 1 35 2 1 1 cm 35
x = x + Æ x = Æ x=
2 2
x f x x x x
= Æ - = Æ = +
2 2
x x f x x x
f x( ) = 6 x 2 + 1 + 1 - x
cos 47,74∫ sin 47,74∫ 0,6724 0,
l = + = + =
'(45∫ ) 2 0 ( ) decreix per 47,74∫ 8 '(60∫ ) 6 3 0 ( ) neix per 47,74∫ 3
f f
f f
= - < Æ a a < ¸ Ô ˝ = - > Æ a a < (^) Ô ˛
3 (^3 ) 3
sin 4 4 4 tg tg 47,74∫ cos 3 3 3
a = Æ a = Æ a = Æ a = a
3 2 2
3 sin 4cos '( ) 0 0 3 sin cos sin
f x
a a = Æ - = Æ a = a a
2 2
3 4 3 sin 4cos ( ) '( ) cos sin cos sin
f x f x
a a = + Æ = - a a a a
1 2
cos sin
l = l + l = + a a
2 2
sin sin
l l
a = Æ = a
1 1
3 tg 3 sin sin sin cos
x x l l
a a = Æ = = = a a a
tg 3 tg 3
x a = Æ x= a
100 - x^2
Ès creixent en 5 3 5 3 Ès un m‡xim 62 '(9) 10 0 ( ) 19 Ès creixent en 5 3
f f x
x x f f x
x
= + > Æ Ô
Ô
< ÔÔ
= - < Æ Ô
Ô
Ô
> Ô˛
2 2
'( ) 0 10 0 5 3 dm 100
x f x x x
= Æ + = Æ =
3 2 2 4 2 2 2
x x x x f x x x x x x x
f x( ) = 10 x + 100 x 2 - x^4
2
2 2 4
x y S x y x x
x x x x x x
x^2 + y 2 = 10 2 Æ y = 100 - x^2
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
b = 2y = 2 ∑ 5,4 = 10,8 cm Ès la base del cilin- dre
= 198,36 cm^3 Ès el volum m‡xim.
28. Hem de construir un parterre en forma de
sector circular amb perÌmetre de 20 m. Calcula el radi del sector per tal díobtenir-lo dí‡rea m‡xima.
2 r + x = 20 m Æ x = 20 ñ 2r
f(r) = 10r ñ r^2 Æ tindr‡ un m‡xim f '(r) = 10 ñ 2r; f '(r) = 0 Æ 10 ñ 2r = 0 Æ r = 5 cm
29. Quin perÌmetre mÌnim pot tenir un sector
circular de 25 m^2 dí‡rea?
Ès el perimetre mÌnin
30. Troba els punts de la gr‡fica de la funciÛ
y^2 = 4x, tals que la dist‡ncia al punt (4, 0) sigui mÌnima. Calcula aquesta dist‡ncia.
y^2 = 4x Æ y = = 2 Æ P(x, 2 ), Q(4, 0)
d(P, Q) = |QP
Æ
f(x) = Æ f '(x) = ;
f '(x) = 0 Æ x = 2 Æ y = ± 2 En x = 2, f '(x) passa de negativa a positiva, per tant la funciÛ f(x) passa de decreixent a crei- xent, en el punt x = 2 la funciÛ presenta un mÌnim.
Els punts soluciÛ del problema sÛn P 1 (2, ñ2 ) i P 2 (2, 2 ).
31. Considera un dipÚsit constituÔt per una se-
miesfera de radi r a la qual síha afegit un ci- lindre circular del mateix radi r i díaltura h, tal com síindica en la figura 4.35. Calcula r i h de manera que lí‡rea total de les parets i de la tapa sigui de 5 m^2 i tingui volum m‡xim.
2 prh + pr^2 + 2pr^2 = 5 Æ 2 prh + 3pr^2 = 5 Æ
2 2 3 2 3
3 3 3
r V r h r r r r
r r r r r
= - p + p = - p
r h r
2
x x x
x 2 - 4 x+ 16
x 2 - 8 x + 16 + 4 x x 2 - 4 x+ 16
( x - 4)^2 +(2 x)^2
4 x x x
(5) 2 5 20 m 5
P = f = ◊ + =
3
''( ) , ''(5) 0 Ès un mÌnim 5
f r f r
= = > Æ
2 2
f '( )r 0 2 0 r 25 r 5 m r
= Æ - = Æ = Æ =
2
f r( ) 2 r f '( )r 2 r r
= + Æ = -
P 2 r x 2 r r
25 m^2 2
xr x r
= Æ =
xr r r S r r r r
(5,4) 729 5,4 4 108 5,4^5
V f
p = = ◊ - ◊ =
creix en < 5, 5,4 Ès un m‡xim '(6) 0 ( ) decreix en > 5,
f f y y y f f y y
> Æ ¸
Ô
Ô
< Æ Ô
Ô˛
'( ) 0 5,4 cm 90
f y = Æ y= =
4 5
2
f y y y
y y f y y
p = - Æ
p - Æ =
2 2 2 2
2 2 2
2 4 5
V y h y x y
y y y
y y y y
= p = p - =
Ê - ˆ
= p (^) Á ˜ - = Ë ¯
= p - = p -
2 2 27 cm 2
y x y x
+ = Æ =
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
Ès lí‡rea m‡xima
37. La resistËncia de flexiÛ díuna biga de secciÛ
rectangular Ès directament proporcional a la base i directament proporcional, tambÈ, al quadrat de líaltura díaquesta secciÛ. Calcula les dimensions que ha de tenir la secciÛ rectangular díuna biga fabricada a partir del tronc cilÌndric díun arbre que fa un metre de di‡metre per tal que tingui una resistËncia de flexiÛ m‡xima.
x: base, y: altura x^2 + y^2 = 1 m^2 Æ y^2 = 1 ñ x^2 R = kxy^2 = kx(1 ñ x^2 ) = kx ñ kx^3 f(x) = kx ñ kx^3 Æ f '(x) = k ñ 3kx^2
Ès un m‡xim
38. La trajectÚria díun projectil disparat per un
canÛ díartilleria situat a líorigen de coorde- nades Ès la par‡bola f(x) = ñk(1 + tg^2 a)x^2 +
- (tg a)x, on k Ès una constant positiva que depËn de les caracterÌstiques del canÛ, i a Ès líangle que formen líeix de les x positives i el canÛ. Líangle a se suposa comprËs entre 0 i 90 graus, tal com indica el dibuix (fig. 4.37). Calcula líangle a per al qual la par‡bola anterior talla líeix de les x positi- ves al mÈs lluny possible de líorigen.
f(x) = 0 Æ ñk(1 + tg 2 a)x 2 + x ∑ tg a = 0 Æ x[ñk(1 + tg 2 a)x + tg a] = 0 x = 0 Æ O(0,0), líaltre punt, el que interessa Ès:
ñk(1 + tg 2 a)x + tg a = 0 Æ x = Ès el
que cal optimitzar
g'(a) = 0 Æ 1 ñ tg^2 a =0 Æ tg a = 1 Æ a =45∫
39. Per tal díil∑luminar una taula circular díun
metre de radi, volem penjar del sostre de líhabitaciÛ un llum situat en la vertical del centre de la taula i que enfoqui cap avall. Digues a quina alÁada hem de situar aquest llum respecte a la taula per tal que els punts de la seva vora tinguin una il∑luminaciÛ m‡xima. Si designem com a L el llum, que se suposa puntual, i com a P un punt qual- sevol de la taula, tal com indica el dibuix (fig. 4.38), la il∑luminaciÛ I del punt P Ès donada per
I = K
on K Ès una constant que depËn de les caracterÌstiques del llum, d Ès la dist‡ncia entre P i L, i a Ès líangle entre PL i la verti- cal.
Fig. 4. 2 2 2 3 3
cos h d/ h d 1 I k k k d d d d
a - = = = =
2
cos d
a
'(30∫ ) 0 ( ) creix en 45∫ 45∫ Ès un '(60∫ ) 0 ( ) decreix (^) m‡xim de ( ) en 45∫
g g
g g (^) g
> Æ a ¸ a < Ôa = < Æ a ˝ Ô a a > (^) ˛
2 2 2
tg (1 tg ) ( ) '( ) (1 tg ) 1 tg
k g g k
a - a a = Æ a =
2
tg k(1 tg )
a
base: m, alÁada: m 3 3
x = y=
1 2 1 1 2 m 3 3
y = - x = - =
k f x kx f
Ê ˆ
= - Á ˜= - < Æ
Ë ¯
f x = Æ k - kx = Æ x=
S = xy= ◊ ◊ =
y = - x = - ◊ =
creix en 2 2 1 Ès un m‡xim '(0,4) 0 ( ) (^2 ) 1 decreix en 2 2
f f x
x x f f x
x
> Æ ¸
Ô
< Ô
Ô
< Æ Ô
Ô
> Ô
f x = Æ - x = Æ x= ± = ±
2 2 4 2
x f x x x f x x
= - Æ =
S = 2 x ◊ 2 y = 4 xy = 4 x 1 - 4 x 2 = 4 x 2 - 4 x^4
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
(^2 1 3 1 1 1) m (^2 2 )
h = d - = - = =
( ) creix en 2 3 Ès un m‡xim '(1,3) (^0 ) 3 ( ) decreix en 2
f
f d d d f
f d d
> Æ ¸
Ô
< Ô
Ô
< Æ Ô
Ô
> Ô
'( ) 0 3 2 2 0 2 3 3 m 2 2
f d = Æ - d = Æ d = Æ d=
2 2 (^3 4 )
d d f d k f d k d (^) d d
= Æ =
McGraw-Hill/Interamericana de EspaÒa, S.A.U. Matem‡tiques 2. Batxillerat
