Cálculo Multivariado: Ejercicios de Integrales Dobles y Triples, Ejercicios de Cálculo

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Cálculo Multivariado

Contenido

• 1. Problemas
  • 1.1. Integrales dobles
  • 1.2. Integrales en coordenadas porlares
  • 1.3. Aplicaciones de la integral
  • 1.4. Integral Triples
  • 1.5. Aplicaciones de la triple integral
  • 1.6. Coordenadas Cilindricas
  • 1.7. Coordenadas Esféricas
  • 1.8. Cambio de Variable

1.1. INTEGRALES DOBLES 3

∫^1

0

∫^ x

x^2

(1 + 2y) dy dx

∫^1

0

∫^ s^2

0

cos(s

3 ) dt ds

∫^1

0

∫^2

2 x

(x − y) dy dx

∫^2

0

∫^2 y

y

xy dx dy

∫^1

0

∫^ ev

0

1 + ev^ dw dv

D

(x + 3y 3 ) dA, D : 0 ≤ x 2

• y 2 ≤ 1

D

xy dA, D : 0 ≤ y ≤ 1 y 2 ≤ x ≤ y

D

ye x dA, D : 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ y 2

D

(4 − y

2 ) dA, D es la región acotada por y 2 = 2x y y 2 = 8 − 2 x

D

(x 4

• y 2 ) dA, D es la región acotada por y = x 3 y y = x 2

D

(3xy

3 − y) dA, D es la región acotada por y = |x| y y = −|x|, x ∈ [− 1 , 1]

D

e −y^2 / 2 dA, D es el triángulo acotado por eje y, 2 y = x, y = 1

D

e

x^2 dA, D es el triángulo acotado por eje x, 2 y = x, x = 2

D

y 2 dA, D = {(x, y)| − 1 ≤ y ≤ 1 , −y − 2 ≤ x ≤ y}

D

y x^5 + 1

dA, D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x 2 }

D

x dA, D = {(x, y)| 0 ≤ x ≤ π, 0 ≤ y ≤ sin x}

D

x

3 dA, D = {(x, y)| 1 ≤ x ≤ e, 0 ≤ y ≤ ln x}

D

x cos y dA, D está acotada por y = 0, y = x 2 , x = 1

D

y x^2 + y^2

dA, D está acotada por y = x, y = 2x, x = 1, x = 2

1.1. INTEGRALES DOBLES 4

D

xe y dA, D está acotada por y = 4 − x, y = 0, x = 0

D

− 2 y dA, D está acotada por y = 4 − x 2 , y = 4 − x

D

y 1 + x^2

dA, D está acotada por y = 0, y =

x, x = 4

D

(x

2

• y

2 ) dA, D está acotada por el semicírculo y =

4 − x^2 , y = 0

D

(x 2

• 2y) dA, D está acotada por x = y, y = x 3 , x ≥ 0

D

y

2 dA, D es el triángulo formado por los vértices (0, 1), (1, 2), (4, 1)

D

xy 2 dA, D está acotada por x = 0 y x =

1 − y^2

D

(2x − y) dA, D está acotada por el círculo con centro en el origen y radio 2.

36. Evaluar la integral, cambiando el orden de integración:

a )

∫^1

0

(^4) ∫− 2 x

2

dy dx

b )

∫^2

0

∫^0

y− 2

dx dy

c )

∫^1

0

√y ∫

y

dx dy

d )

∫^1

0

(^1) ∫−x^2

1 −x

dy dx

e )

∫^1

0

∫^ ex

1

dy dx

f )

∫^ ln 2

0

∫^2

ex

dy dx

g )

∫^3 /^2

0

9 − ∫ 4 x^2

0

16 xdy dx

h )

∫^2

0

(^4) ∫−y^2

0

ydx dy

i )

∫^1

0

∫^1 −y^2

−

1 −y^2

3 ydx dy

1.1. INTEGRALES DOBLES 6

g )

∫^1

0

∫^2

2 x

4 e y^2 dy dx

h )

∫^1

0

∫^1

y

sin x 2 dx dy

i )

∫^4

0

∫^2

√ x

2 + y^3

dy dx

j )

∫^2

0

∫^4

y^2

x sin xdx dy

k )

√ ∫π

0

√ ∫π

y

cos(x 2 )dx dy

l )

∫^4

0

∫^2

√ x

y^3 + 1

dy dx

m )

∫^1

0

∫^1

x

e x/y dy dx

n )

∫^1

0

π/∫ 2

arcsin y

cos x

1 + cos^2 xdx dy

ñ )

∫^8

0

∫^2

3 √y

e x^4 dx dy

39. Bosquejear la región de integración y cambiar el orden de integración.

a )

∫^1

0

∫^ x^2

x^4

f (x, y)dy dx

b )

∫^1

0

∫^ y^2

0

f (x, y)dx dy

c )

∫^1

0

∫^ y

−y

f (x, y)dx dy

d )

∫^1

1 / 2

∫^ x

x^3

f (x, y)dy dx

e )

∫^4

1

∫^2 x

x

f (x, y)dy dx

f )

∫^3

1

∫^ x^2

−x

f (x, y)dy dx

g )

∫^1

0

∫^ y

0

f (x, y)dx dy

1.1. INTEGRALES DOBLES 7

h )

∫^4

0

∫^2

√y

f (x, y)dx dy

i )

∫^2

− 2

∫^4 −x^2

0

f (x, y)dx dy

j )

∫^2

0

(^4) ∫−x^2

0

f (x, y)dx dy

k )

∫^2

− 1

e ∫−x

0

f (x, y)dx dy

l )

∫^ π/^2

−π/ 2

cos∫ x

0

f (x, y)dx dy

m )

∫^2

0

∫^4

x^2

f (x, y)dy dx

n )

∫^ π/^2

0

cos∫ x

0

f (x, y)dy dx

ñ )

∫^2

− 2

∫^4 −y^2

0

f (x, y)dx dy

o )

∫^2

0

ln∫ x

0

f (x, y)dy dx

p )

∫^1

0

π/∫ 4

arctan x

f (x, y)dy dx

40. Bosquejear el solido cuyo volumen esta dado por las siguientes integrales:

a )

∫^1

0

∫^1

0

(4 − x − 2 y) dx dy

b )

∫^1

0

∫^1

0

(2 − x 2 − y 2 ) dy dx

41. Encontrar el volumen del sólido que está bajo el plano 4 x + 6y − 2 z + 15 = 0, y aariba del rectángulo R = {(x, y)| − 1 ≤ x ≤ 2 , − 1 ≤ y ≤ 1 }.
42. Encontrar el volumen del sólido que está bajo el paraboloide hiperbolico z = 3y 2 − x 2 + 2 y arriba del rectángulo R = [− 1 , 1] × [1, 2].
43. Encontrar el volumen del sólido que está bajo el paraboloide elíptico x 2 /4 + y 2 /9 + z = 1 y arriba del rectángulo R = [− 1 , 1] × [− 2 , 2].
44. Encontrar el volumen del sólido limitado por:

a ) z = xy, z = 0, y = x, x = 1, primer octante

b ) y = 0, z = 0, y = x, z = x, x = 0, x = 5

c ) z = 0, z = x 2 , x = 0, x = 2, y = 0, y = 4

1.2. INTEGRALES EN COORDENADAS PORLARES 9

1.2. Integrales en coordenadas porlares

61. Evaluar las siguientes integrales y dibujar la región R

a )

∫^ π

0

cos∫ θ

0

r dr dθ

b )

∫^2 π

0

∫^6

0

3 r 2 sin θ dr dθ

c )

∫^ π

0

sin∫ θ

0

r 2 dr dθ

d )

∫^ π/^4

0

∫^4

0

r

2 sin θ cos θ dr dθ

e )

∫^ π/^2

0

∫^3

2

9 − r^2 r dr dθ

f )

∫^ π/^2

0

1+sin∫ θ

0

θr dr dθ

g )

∫^ π/^2

0

∫^3

0

re

−r^2 dr dθ

h )

∫^ π

0

1 −∫cos θ

0

(sin θ)r dr dθ

62. Calcular las siguientes integrales usando coordenadas polares.

a )

∫^ a

0

a ∫^2 −y^2

0

y dx dy

b )

∫^ a

0

a ∫^2 −y^2

0

x dy dx

c )

∫^2

0

(^2) ∫x−x^2

0

xy dy dx

d )

∫^1

1 / 2

∫^1 −x^2

0

dy dx

e )

∫^1 /^2

0

∫^1 −x^2

0

xy

x^2 + y^2 dy dx

f )

∫^1

− 1

∫^1 −y^2

0

x^2 + y^2 dx dy

1.2. INTEGRALES EN COORDENADAS PORLARES 10

g )

∫^2

0

∫^4 −x^2

0

x^2 + y^2 dy dx

h )

∫^1

− 1

∫^1 −x^2

0

cos(x 2

• y 2 ) dy dx

i )

∫^1

0

∫^1 −y^2

0

sin

x^2 + y^2

dy dx

j )

∫^1

− 1

∫^1 −y^2

−

1 −y^2

e

x^2 +y^2 dx dy

k )

∫^1

0

∫x−x^2

−

x−x^2

(x 2

• y 2 ) dy dx

63. Sea R la región anular comprendida entre los dos círculos x 2
    • y 2 = 1, x 2 + y 2 ∫ ∫ = 5, evaluar la integral

R

(x

2

• y) dA

64. Evaluar la integral haciendo el cambio a coordenadas polares.

a )

D

x 2 ydA donde D es la mitad superior del disco con centro en el origen y radio 5.

b )

R

x

2 ydA donde R es la región en el primer cuadrante encerrado por los círculos x 2

• y 2 = 4, y la línea

x = 0, y y = x.

c )

R

sin(x 2

• y 2 )dA donde R es la región en el primer cuadrante entre los círculos con centro en el origen

y radios 1 y 3.

d )

R

y 2

x^2 + y^2

dA donde R es la región que está entre los círculos x 2

• y 2 = a 2 y x 2
• y 2 = b 2 con

0 < a < b

e )

D

e −x^2 −y^2 dA donde D es la región acotada por el semicírculo x =

4 − y^2 y el eje y.

65. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por la gráfica de r = 3 cos 3θ
    • 1 1 2 3
      • 2
      • 1

1

2

66. Uitlizar una integral doble para encontrar el área encerrada por la gráfica de r = 3 sin 3θ

1.3. APLICACIONES DE LA INTEGRAL 12

72. Usando coordenadas polares para encontrar el volumen limitado por:

a ) z = xy, x 2

• y 2 = 1 y el primer octante.

b ) z = x 2

• y 2
• 3 , z = 0, x 2
• y 2 = 1

c ) z = ln(x 2

• y 2 ) z = 0, x 2
• y 2 ≥ 1 , x 2
• y 2 ≤ 4.

d ) El interior del hemisferio z =

16 − x^2 − y^2 y el interior al cilindro x 2

• y 2 − 4 x = 0.

e ) El interior del hemisferio z =

16 − x^2 − y^2 y el exterior al cilindro x 2

• y 2 = 1.

73. Hallar a tal que el volumen en el interior del hemisferio z =

16 − x^2 − y^2 y el exterior del cilindro x 2

• y 2 = a 2 sea la mitad del volumen del hemisferio.

74. Utilizar una integral doble en coordenadas polares para hallar el volumen de una esfera de radio a.

1.3. Aplicaciones de la integral

75. Centro de masa:

a ) Una lámina esta determinada por los semicírculos y =

1 − x^2 y y =

4 − x^2 junto con la porción del eje x para unirlos. Encontrar el centro de masa de la lámina si la densidad de cualquier punto es proporcional a la distancia del punto al origen.

b ) Encontrar la densidad de la lámina del ejercicio anterior si la densidad de cualquier punto es inversamente proporcional a de un punto al origen.

c ) Una lámina ocupa la región dentro del círculo x 2

• y 2 = 2y pero fuera del círculo x 2
• y 2 = 1. Encontrar el centro de masa si la densidad de cualquier punto es inversamente proporcioanl a su distancia al origen.

76. Encontrar el área de superficie:

a ) La parte del plano 2 x + 5y + z = 10, acotada por el cilindro x 2

• y 2 = 9

b ) La parte del plano 3 x + 2y + z = 6, dentro del primer octante.

c ) La parte de la superficie z = 1 + 3x + 2y 2 dentro del triángulo con vértices (0, 0), (0, 1), (2, 1)

d ) La parte del cilindro y 2

• z 2 = 9 dentro del rectángulo con vértices (0, 0), (4, 0), (0, 2), (4, 2)

e ) La parte del paraboloide z = 4 − x^2 − y^2 que esta arriba del plano x − y

f ) La parte del paraboloide hiperbólico z = y^2 − x^2 delimitada por los cilindros x^2 + y^2 = 1 y x^2 + y^2 = 4

g ) La parte de la superficie z = xy delimitada por el cilindro x^2 + y^2 = 1

h ) La parte de la esfera x 2

• y 2
• z 2 = 4 arriba del plano z = 1

i ) La parte de la esfera x 2

• y 2
• z 2 = a 2 delimitada por el cilindro x 2
• y 2 = ax y arriba del plano xy

j ) La parte de la esfera x 2

• y 2
• z 2 = 4z delimitada por el paraboloide z = x 2
• y 2

k ) El valor de la integral I =

∫^ ∞

−∞

e

−x^2 / 2 dx se requiere en el derarrollo de la función de densidad de probabili-

dad normal. Utilizar coordenadas polares para calcular I, observe que : I 2 =

∫^ ∞

−∞

e −x^2 / 2 dx

∫^ ∞

−∞

e −y^2 / 2 dy

∫^ ∞

−∞

−∞

e −(x^2 +y^2 )/ 2 dA

1.4. Integral Triples

∫^2

0

∫^ z^2

0

y∫−z

0

(2x − y)dx dy dz

1.4. INTEGRAL TRIPLES 13

∫^2

1

∫^2 z

0

∫ln^ x

0

xe −y dy dx dz

∫^ π/^2

0

∫^ y

0

∫^ x

0

cos(x + y + z)dz dx dy

√ ∫π

0

∫^ x

0

∫^ xz

0

x 2 sin ydy dz dx

E

ydv, donde E = {(x, y, z)| 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ x, x − y ≤ z ≤ x + y}

E

e

z/y dv, donde E = {(x, y, z)| 0 ≤ y ≤ 1 , y ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ z ≤ xy}

E

sin ydv, donde E es la región acotada por abajo por el plano z = x, y arriba por la región triángular con

vértices (0, 0 , 0), (π, 0 , 0), (0, π, 0)

E

6 xydv, donde E está acotada abajo por el plano z = 1 + x + y, y arriba por la región en el plano x − y

acotada por las curvas y =

x, y = 0, y x = 1

E

xydv, donde E está acotado por los cilíndros parabólicos y = x 2 , x = y 2 , y los planos z = 0, z = x + y

T

x

2 dv, donde T es el tetaedro sólido con vértices (0, 0 , 0), (1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)

T

xyzdv, donde T es el tetaedro sólido con vértices (0, 0 , 0), (1, 0 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)

E

xdv donde E está acotado por el paraboloide x = 4y 2

• 4z 2 y el plano x = 4

E

zdv donde E está acotado por el cilindro y 2

• z 2 = 9 y los planos x = 0, y = 3x, z = 0 en el primer

octante

90. Usar una triple integral para encontrar el volumen de los siguientes sólidos:

a ) el tetraedro acotado por los planos coordenados y el plano 2 x + y + z = 4

b ) El sólid encerrado por los paraboloides y = x 2

• z 2 y y = 8 − x 2 − y 2

c ) El sólido encerrado por el cilindro y = x 2 y los planos z = 0 y + z = 1

d ) El sólido encerrado por el cilindro x 2

• z 2 = 4 y los planos y = − 1 , y + z = 4

91. Bosquejear el sólido cuyo volumen esta dado por la siguiente integral:

a )

∫^1

0

(^1) ∫−x

0

(^2) ∫− 2 z

0

dy dz dx

b )

∫^2

0

(^2) ∫−y

0

(^4) ∫−y^2

0

dx dz dy

92. Expresar de 6 maneras diferentes la integral

E f^ (x, y, z)dv^ donde^ E^ es el sólido acotado por las superficies dadas.

a ) y = 4 − x 2 − 4 z 2 y = 0

1.4. INTEGRAL TRIPLES 15

g) h)

i) j)

k) l)

1.5. APLICACIONES DE LA TRIPLE INTEGRAL 16

m)

1.5. Aplicaciones de la triple integral

94. Determine el centro de masa del sólido acotado por las gráficas de x 2
    • z 2 = 4, y = 0, y = 3 si la densidad ρ en un punto P es directamente proporcional a la distancia desde el plano xy.
95. Encuentre el centro de masa del sólido acotado por las gráficas de y = x 2 , y = x, z = y + 2, z = 0, si la densidad ρ en el punto P es directamente proporcional a la distancia desde el plano xy.
96. Calcule el momento de inercia alrededor del eje z del sólido en el primer octante que está acotado por los planos de coordenadas y la gráfica x + y + z = 1 si la densidad ρ es constante.
97. Determine el momento de inercia alrededor del eje y del sólido acotado por las gráficas z = y, z = 4 − y, z = 1 z = 0, x = 2 y x = 0 si la densidad ρ en un punto P es directamente proporcional a la distancia desde el plano yz.
98. Si un sólido tiene densidad constante k, encontrar:

a ) El momento de inercia para un cubo con longitud de sus lados L si un vértice están en el origen y tres de sus aristas en los ejes coordenados.

b ) El momento de inercia para un ladrillo de forma un rectángulo de lados a, b, c y masa M si centro del ladrillo está situado en el origen y sus orillas paralelos a los ejes coordenados.

c ) El momento de inercia sobre el eje z de un sólido cilíndrico x 2

• y 2 ≤ a 2 , 0 ≤ z ≤ h.

99. El valor promedio de una función f (x, y, z) sobre un sólido E esta definido por fpromedio =

V (E)

E

f (x, y, z)dV

donde V (E) es el volumen de E, por ejemplo, si ρ es una función de densidad, entonces ρpromedio se llama den- sidad promedio de E. Encontrar el volumen promedio de la función f (x, y, z) = xyz sobre el cubo de lados con longitud L que descanza en el primer octante con uno de sus vértices en el origen y sus aristas paralelas a los ejes coordenados.

100. Encontrar el valor promedio de la función f (x, y, z) = x 2 z + y 2 z sobre la región encerrada por el paraboloide z = 1 − x 2 − y 2 y el plano z = 0.

1.6. Coordenadas Cilindricas

101. Describir las superficies cuyas ecuaciones están dadas por:

a ) θ = π/ 4

b ) r = 5

102. Describir los sólidos cuyas ecuaciones están dadas por:

a ) 0 ≤ r ≤ 2 , −π/ 2 ≤ θ ≤ π/ 2 , 0 ≤ z ≤ 1

b ) 0 ≤ θ ≤ π/ 2 , r ≤ z ≤ 2

1.8. CAMBIO DE VARIABLE 18

118. Evaluar

B

(9 − x 2 − y 2 )dV donde B es el sólido dado por x 2

• y 2
• z 2 ≤ 9 y z ≥ 0

119. Evaluar

B

(x

2

• y

2 )dV donde B esta entre las esferas de radio 3 y radio 2

120. Evaluar

B

(y 2 )dV donde B es el hemisferio sólido x 2

• y 2
• z 2 ≤ 9 y y ≥ 0

121. Evaluar

B

xe

x^2 +y^2 +z^2 dV donde B es la porción del balón unidad x 2

• y 2
• z 2 ≤ 1 que está en el primer

octante

122. Evaluar

B

xyzdV donde E esta dentro de las esferas ρ = 2 y ρ = 4 y arriba del cono φ = π/ 3

123. Encontrar el volumen de la parte del balón ρ ≤ a y que está entre los conos φ = π/ 6 y φ = π/ 3
124. Encotrar el volumen del sólido que está dentro la esfera x 2
     • y 2 + z 2 = 4, arriba del plano xy y abajo del cono z =

x^2 + y^2

125. Demostrar que

∫^ ∞

−∞

−∞

−∞

x^2 + y^2 + z^2 e −(x^2 +y^2 +z^2 ) dx dy dz = 2π

126. Mostrar que la ecuación de Laplace ∂ 2 u ∂x^2

2 u ∂y^2

2 u ∂z^2

en coordenadas cilíndricas se convierte a

2 u ∂r^2

r

∂u ∂r

r^2

2 u ∂θ^2

2 u ∂z^2

y en coordenadas cilíndricas es

2 u ∂ρ^2

ρ

∂u ∂ρ

cot φ ρ^2

∂u ∂φ

ρ^2

2 u ∂φ^2

ρ^2 sin^2 φ

2 u ∂θ^2

1.8. Cambio de Variable

127. Calcular el Jacobiano de las siguientes transformaciones

a ) x = uv, y =

u v

b ) x = v + w 2 , y = w + u 2 , z = u + v 2

128. Verificar el jacobiano en el caso del cambio a coordenadas polares, cilíndricas y esféricas.
129. Encontrar la imagen del conjunto S bajo la transformación dada:

a ) S = {(u, v)| 0 ≤ u ≤ 3 , 0 ≤ v ≤ 2 }, x = 2u + 3v, y = u − v

b ) S es el cuadrado acotado por las líneas u = 0, u = 1, v = 0, v = 1, x = v, y = u(1 + v 2 )

c ) S es el triángulo dado por los vértices (0, 0), (1, 1), (0, 1) x = u 2 y = v

d ) S es el disco dado por u 2

• v 2 ≤ 1 x = au y = bv

130. Use la transformación dada para evaluar la integral.

a )

R

(x − 3 y)dA donde R es el triángulo con vértices (0, 0), (2, 1), (1, 2); x = 2u + v, y = u + 2v

b )

R

(4x+8y)dA donde R es el paralelogramo con vértices (− 1 , 3), (1, −3), (3, −1), (1, 5); x =

(u+v),

y =

(v − 3 u)

1.8. CAMBIO DE VARIABLE 19

c )

R

(x 2 )dA donde R es es la región acotada por la elípse 9 x 2

• 4y 2 = 36; x = 2u, y = 3v

d )

R

(x

2 − xy + y

2 )dA donde R es es la región acotada por la elípse x 2 − xy + y 2 = 2; x =

2 u −

2 / 3 v,

y =

2 u +

2 / 3 v

e )

R

xydA donde R es es la región del primer cuadrante acotada por las líneas y = x y y = 3x y las

hiperbolas xy = 1, xy = 3; x =

u v

, y = v

131. Considere la región del plano acotada por la elípse

x 2

a^2

y 2

b^2

= 1, y las transformaciones x = au, y = bv, dibujar

la regíon imagen y usar este hecho para calcular el área de la elípse.

132. Emplear las sustituciones u =

x a

, v =

y b

, w =

z c

, para mostrar que el volumen del elipsoide

x 2

a^2

y 2

b^2

z 2

c^2

es V =

πabc