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En este documento se presentan las soluciones a diferentes integrales indefinidas, incluyendo integrales racionales, integrales trigonométricas y integrales exponenciales. Además, se incluyen aplicaciones de las integrales para calcular áreas, volúmenes y longitudes.
Tipo: Apuntes
1 / 11
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Pregunta (a)
x(x − 2 )
2
dx
Solución.
Sea:
I = ∫ (x
5
2 − 4 x
3
2
1
2 ) dx
x
7 / 2
x
5
2
x
3
2
Pregunta (b)
dx
x(ln x + 3 )
4
Solución.
Sea:
ln x + 3 = u →
x
dx = du
Entonces
du
u
4
u
3
ln x + 3
3
Pregunta (c)
dx
2 x
2
− 5x + 7
Solución.
Sea:
2 x
2
− 5x + 7 = 2 [(x −
2
Luego
dx
(x −
2
2
arctan
x −
Pregunta (d)
I = ∫ sin
2
x cos
2
x dx
Solución.
Sea:
sin
2
x cos
2
x =
sin
2
2x =
1 − cos 4x
( 1 − cos 4x)
Luego
1 − cos 4x
dx
[x −
sin 4x] + C
Pregunta (e)
4x − x
3
x
2
− 6x + 3
dx
Solución.
Sea:
4x − x
3
x
2
− 6x + 3
= −x − 6 −
29x − 11
x
2
− 6x + 3
Luego
I = ∫ (−x − 6 −
29x − 11
x
2
− 6x + 3
) dx
x
2
− 6x −
( 87 + 38 √ 6 ) ln|−x + √ 6 + 3 | − ( 87 − 38 √ 6 ) ln|x + √ 6 − 3 |
Pregunta (e)
x)
3
x
dx
Solución.
Sea:
x)
3
x
3
2
x + 3 · 3 · ( 2 √
x)
2
x)
3
x
( 4 − 2 √x)
3
x
3
x
−
1
2 − 32 + 13 x
1
2 −
x
3
2
Luego
3
x
−
1
2 − 32 + 13 x
1
2 −
x
3
2 ) dx
3
· 2 x
1
2
− 32x + 13 ·
x
3
2
−
x
5
2
Luego
A = 2 [∫ (x
4 − x
2
) dx
0
4 − x
2
x
2
) dx
88
77
Pregunta ( 4 )
Solución.
Graficando
Luego
V = π [∫ (
x − 7
2
9 − x
)dx
8
5
9 − x
dx
9
8
Pregunta ( 5 )
Solución.
Sea:
x =
ln
1 + t
2
→ x
′
2t
1 + t
2
t
1 + t
2
y = arctan t → y
′
1 + t
2
Luego
t
1 + t
2
2
1 + t
2
2
dt
1
0
1 + t
2
( 1 + t
2
2
dt
1
0
√ 1 + t
2
dt
1
0
= arcsinh 1 = 0. 88
Pregunta ( 6 )
Solución.
Sea:
x
′
= −a sin φ ; y
′
= a cos φ
Luego
L = ∫ √(−a sin φ)
2
2
dφ
2π
0
= ∫ √a
2
(sin
2
φ + cos
2
φ)dφ
2π
0
L = a ∫ dφ
2π
0
= 2πa
Pregunta ( 3 )
2
4
Solución.
Graficando
No existe área ni volumen
Pregunta ( 4 )
y = 6x − x
2
; y = x
2
− 2x
Solución.
Graficando
Área
A = ∫ [(6x − x
2
) − (x
2
− 2x)]dx
4
0
Volumen
V = π ∫ [(6x − x
2
2
− (x
2
− 2x)
2
]dx
4
0
Pregunta ( 5 )
y
2
= 4x ; y = 2x − 4
Solución.
Graficando
Área
x) − (2x − 4 )]dx
4
1
Volumen
V = π ∫ [4x − (2x − 4 )
2
]dx
4
1
Pregunta ( 5 )
Solución.
Graficando
Área
3
2
1
0
Pregunta ( 3 )
Solución.
Graficando
Volumen
V = π ∫
1 + x
2
dx
2
0
Pregunta ( 4 )
Solución.
Graficando
Longitud
Pregunta ( 5 )
Solución.
Graficando
Pregunta ( 6 )
Solución.
Graficando
