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Ejercicios Bloque II: TEORÍA DE LA INTEGRAL
1 Calcular las siguientes primitivas:
a)
∫ + x dx
x 4
3
1
b)
dx x
x
c)
dx
∫ xl ( x )
d)
dx x
e)
dx a x
x
f)
x^ dx
x
5
5
g)
∫ ( x^2 +^5 ) e − xdx
h)
∫ e x +^1 dx
i) ∫ x arctg x dx
j) (^4 )
dx
∫ x − x +
k)
∫^5 x^ senxdx
l)
x^3 + 5 x^2 + 8 x + 4
dx
m)
x ( x^2 + 1 )
dx
n)
dx x x
x ( 1 ) ( 2 )
3
2
o)
∫ senx + x
dx cos
p)
∫ − x
dx 5 3 cos
q)
dx x x
x x
2
3
r)
sen x
dx 2
s)
x dx
x x
4 22
t)
dx x x
x
3 2
u) ∫^
e arcsenxdx
v)
dx x
e x
w)
dx x x
x 3 2
x) ∫ln (x)^2 dx
y)
∫ + sen xdx
x 3 4
cos 4
z)
dx x
x
4
aa)
∫ x^2 L ( x^3 −^1 ) dx
bb) (^4) 1
dx
∫ x −
cc)
∫ x^ ln( x ) dx
2
dd) ∫
dx 1 cos
ee) 3
3 1 4
x dx x x
ff) (^2)
3 4 13
dx
∫ x − x +
- Calcular las siguientes primitivas e integrales:
( cos ln^ (^ )^ ln(^ )) cos 2
x x sen x ln x dx C
∫ =^ +
- 1 1 2 2 2
x x x x
e e dx e C e
- (^) ( 2 ) 2 1 4 4
e x^ dx = e x + C ∫
- (^) ∫arcsen x dx = xarcsenx + 1 − x^2 + C
5) 5 2 ( 5 ) 3 2 4 ( 5 )^52
3 15 ∫^ x^ x^ +^ dx^ =^ x x^ +^ −^ x^ +^ + C
- (^) ( )^2 2
arctg 1 1 2
xdx arctgx C x
= +
∫
- (^1 ) 5 3cos 2 2
dx x arctg tg C x
= + ∫ −
- (^) ∫ xe x^ dx = xe x^ − e x + C
9) ∫ 15 x 8 + x dx = 10 x ( 8 + x ) 3 2 − 4 8( + x )^52 + C
- (^) ( )
(^2 3) 1 2 3
(^2 ) x 1 3
x dx (^) = x + + C
∫
2
1 2 2 2
dx x arctg C x
= +
∫
12) (^ )^ ( )
3 (^14) 4
lnx dx lnx C x ∫ =^ +
2
6 6 2 3 6 2
dx (^) arctg C x
= + ∫ +
3 3
(^1 1 4) ln 5 ln 1 3 ln 1 4 4 16 32 32
x (^) dx x x x x C x x
− (^) = + − − − + + − ∫
( )
2 3 2 ln 1 4 x 5 8 4 2
x dx (^) x C x x x
= + + +
( 2 ) 2
ln 1 ln 1 1 ln 1 1 2 2
ln^1
dx (^) x x x C x x x (^) C x
= − + − + + + −
= − +
17) 6 4 ( 7 )^384
7
x (^) dx x x C x
= + − + +
- (^) ( 2 ) 4
1 1 x 2
x dx = arctg x + C ∫ +
- (^) ∫( cot ge x^ ) e x^ dx = ln senex + C
3 3 2
x (^1) d x x 2 ln x 1 ln x (^1) C x x x
2 3 2
(^2 6) ln 2 2 ln 1 1 1 1 2 27 9 3 1 2 1
x (^) dx x x C x x x x
- (^) = − − + − + + ∫ + − + +
3 (^4 )
(^1 1 3 ) sen 8 3 2 3 2 2
tg^ x dx (^) tg x C x (^) tg x^ tgx
= − − + + +
2
1 3 16 9 3 4
dx (^) arcsen x C x
= ^ + ∫ −
(^1 2 1) ( (^1 2) )^3 3 ∫ −^^ xdx^ = −^ −^ x^ + C
(^) ∫^4 5 x + 2 dx = (^4 4) ( 5 x + (^2) )^5 + C
(^) ∫cot gx dx = ln senx + C
(^) ( ) 3 2 2 3 2
3 2 7 2 7 8
x dx x C x
− = − + +
∫
- (^ )
2 2
arcsen arcsen 1 2
x^ x dx C x
= +
4 1 2
dx (^) x C x
= + + ∫ +
(^4) ( ) 3
dx 1 1 (3x 1) (^9 3 ) C x
= − ⋅ +
- 1 cos^2 1 cos 2
x (^) dx tg x x C x
− (^) = − + ∫ + ^
- (^2) 2 ln 2 ( 2) dx x C x = − + ∫ −
33) cos(3 2) 1 ( 3 2 )
3 ∫^ x^ −^ d^ =^ xsen^ x^ −^ + C
3 4 cos sen 4
sen x ∫ x^ x dx^ =^ + C
35)^ dx^ 2 a^ arctg x C a x a (^) a
= (^) + ∫ + (^)
2
dx x arcsen C a x a
= (^) + ∫ −
(^) ( ) 2 4 1 2 3 2 2 1 2 6 ∫^ x^ −^ x dx^ = −^ −^ x^ + C
2
1 3 5 9 3 5
dx arcsen x C x
= (^) + ∫ −
8.- Contestar breve y razonadamente a las siguientes cuestiones:
a) Toda función integrable es continua. b) Toda función integrable tiene primitiva. c) Toda función continua es integrable y tiene primitiva. d) Si una función es integrable entonces tiene función integral y esta es derivable.
9.- Sabiendo que: 3 3 2 3 1 1 3 1 ∫ f^ ( ) x dx^^ =^ 7 ;^ ∫ g x dx ( )^^ =^ 3;^ ∫ f^ ( ) x dx^^ = −5;^ ∫ h x dx ( )^ = −^3
Calcular, si es posible, el valor de las siguientes integrales indicando las propiedades utilizadas:
a) [ ]
3 1 ∫ 2 f^ ( ) x^^ −^ g x ( )^^ +3 ( ) h x^ dx b)^
3 ∫ 1 f^ ( ) x g x dx^ ( )
c)
2 ∫ 1 f^ ( ) x dx d)^ [^ ]
3 1 ∫ h x ( )^^ − g x ( )^ dx
10.- El beneficio total de producción B de un determinado producto depende de la cantidad producida, es decir B = B q ( ). Si el beneficio marginal es
B^ ´^ ( ) q = 18 q − qe −0,1 q euros/unidad. Determinar el beneficio si se producen 10
unidades, sabiendo que cuando no se produce nada hay unas pérdidas de 100 u.m.
11.- Por un accidente, una empresa vierte residuos a un río a una tasa de
Q t ´( ) = 7 ⋅ ⋅ t e −^ 0,1^ ⋅ t l/hora, donde t es el número de horas transcurridas desde el
instante en que comienza a verter.
a) Calcular el total de litros que vertería al cabo de T horas. b) Calcular el tiempo que transcurrirá hasta que la tasa de vertido empiece a disminuir (es decir, alcance su máximo), y el total vertido hasta ese instante.
12.- Las funciones de demanda y oferta de un bien en un mercado son
11 2 P = − qd y
P = qs + (^). Hallar los excedentes del consumidor y productor.
13.- Estudiar la convergencia e impropiedad de las siguientes integrales:
a) 3 0
∞ (^) e − xdx ∫ b)^
2 2
dx ∫− (^) x c)
1 0 2
dx ∫ x −
14.- Calcular:
a) (^) ( 1) (^) { ( , ) 2 / 0, 5, 1, (^2) } ∫∫ R xy^ +^ dxdy^ siendo^ R^ =^ x y^ ∈^ R^ x^ ≥^ x^ ≤^ y^ ≥^ y ≤ b) (^) { ( , ) 2 / 1, 1, 0, (^2) } ∫∫ R dxdy^ siendo^ R^ =^ x y^ ∈^ R^ x^ ≥ −^ x^ ≤^ y^ ≥^ y ≤
