matematicas apuntes, Apuntes de Administración de Empresas

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MATEMÁTICAS

Departamento de Economía

Cuantitativa

Universidad de Oviedo

Vicerrectorado de Profesorado y

Ordenación Académica

2. Papel de la asignatura en el Grado y requisitos previos

La asignatura “Matemáticas” supone la primera toma de contacto que el alumno tiene con las

matemáticas en el grado en Administración y Dirección de Empresas. Dicha asignatura pertenece

al módulo de Métodos Cuantitativos, materia Matemáticas y se imparte durante el primer semestre

del primer curso. Son muchas las disciplinas que utilizan modelos matemáticos en sus desarrollos

y para la obtención de sus resultados, entre las que destacan la Teoría Económica, la Economía

de la Empresa y la Estadística. Con esta asignatura intentamos que los estudiantes comprendan y

manejen las técnicas básicas del álgebra lineal y del análisis matemático, que constituyen las

principales herramientas para poder plantear y analizar de forma rigurosa problemas económico-

empresariales. Se recomienda que el estudiante domine el lenguaje matemático elemental,

conozca los conjuntos numéricos y las matrices y que comprenda y trabaje intuitiva, geométrica y

formalmente con funciones de una variable (funciones elementales).

3. Competencias y resultados de aprendizaje.

Las competencias que se trabajan con esta asignatura son:

Genéricas

 Capacidad de análisis y síntesis.

 Capacidad de aprendizaje.

 Capacidad de utilización de herramientas informáticas y tecnologías de la comunicación.

 Capacidad para trabajar de forma autónoma.

 Capacidad para trabajar en equipo.

 Capacidad crítica y autocrítica.

 Capacidad para la toma de decisiones.

 Capacidad de aplicar los conocimientos en la práctica.

 Capacidad creativa para encontrar nuevas ideas y soluciones.

 Capacidad de adaptación a nuevas situaciones.

 Preocupación por la calidad y el trabajo bien hecho.

Específicas

 Identificar y aplicar las herramientas cuantitativas adecuadas para el análisis de la información

económica.

 Plantear, analizar y resolver modelos matemáticos en el ámbito económico-empresarial.

 Transmitir información, ideas, problemas y soluciones del ámbito de la gestión empresarial a

un público tanto especializado como no especializado.

Los resultados de aprendizaje que se pretende que alcancen los estudiantes a través de su

trabajo en el desarrollo de esta asignatura son:

 Entender y trabajar con los modelos lineales: espacio real n-dimensional y matrices.

 Comprender los conceptos fundamentales utilizados en el cálculo de funciones de varias

variables: continuidad, derivación, diferenciación y optimización.

Vicerrectorado de Profesorado y

Ordenación Académica

 CABALLERO, R. y otros (2000): Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 434

ejercicios resueltos y comentados. Ed. Pirámide. Madrid.

 CALDERÓN MONTERO, S.; REY BORREGO, M.L. (2012): Matemáticas para la Economía

y la Empresa. Ed. Pirámide.

 CALVO, C.; IVORRA, C. (2012): Las matemáticas en la economía a través de ejemplos en

contextos económicos. Ed. Tirant Lo Blanch, Valencia.

 CANÓS, M. J., IVORRA, C., LIERN, V. (2002): Matemáticas para la Economía y la

Empresa, Ed. Tirant lo Blanch, Valencia.

 GUERRERO CASAS, F.; VAZQUEZ CUETO, M.J. (1998): Manual de Álgebra Lineal para

la Economía y la Empresa. Ed. Pirámide. Madrid.

 GUTIERREZ VALDEON, S. (2002): Álgebra lineal para la Economía. Ed Ac. Madrid.

 SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARBAJAL, A. (2011): Matemáticas para el Análisis

Económico. Prentice Hall.

BLOQUE II. Cálculo Diferencial de funciones de varias variables.

Tema 4. Funciones de varias variables.

4.1. Funciones de varias variables como instrumentos de modelización económica.

4.2. Dominio y curvas de nivel.

4.3. Continuidad de funciones de varias variables.

Tema 5. Derivabilidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables.

5.1. Derivadas parciales. Vector gradiente.

5.2. Derivadas de orden superior. Matriz Hessiana.

5.3. Diferenciabilidad y diferencial de una función.

5.4. Polinomio de Taylor.

5.5. Funciones compuestas.

5.6. Funciones implícitas.

Tema 6. Funciones homogéneas.

6.1. Concepto de función homogénea.

6.2. Propiedades de las funciones homogéneas.

6.3. Aplicaciones económicas.

Tema 7. Optimización de funciones de varias variables.

7.1. Conjuntos y funciones convexas.

7.2. Óptimos locales y globales. Teorema Local-Global.

7.3. Optimización sin restricciones.

7.4. Optimización con restricciones de igualdad. Método de los multiplicadores de Lagrange.

Al finalizar este bloque dedicado al Cálculo Diferencial el estudiante tendrá que ser capaz de:

 Utilizar las funciones matemáticas en la modelización económica.

 Identificar y utilizar las funciones continuas.

 Conocer el concepto de derivada de funciones de varias variables e interpretarlas

económicamente, resaltando la importancia de las derivadas parciales como base del análisis

marginalista.

 Conocer y aplicar el concepto de diferencial.

 Describir fenómenos a distintos niveles explicativos mediante las funciones compuestas.

 Conocer la importancia de las funciones implícitas en la modelización económica.

 Identificar las funciones homogéneas y sus aplicaciones económicas.

 Identificar los elementos de un programa matemático.

Vicerrectorado de Profesorado y

Ordenación Académica

 Distinguir los óptimos locales de los globales y clasificar los puntos críticos de programas

libres y restringidos.

Manuales de consulta recomendados:

 CABALLERO R. y otros (1992): Métodos Matemáticos para la Economía. McGraw-Hill.

Madrid.

 CABALLERO, R. y otros (2000): Matemáticas aplicadas a la Economía y a la Empresa. 434

ejercicios resueltos y comentados. Ed. Pirámide. Madrid.

 CALDERÓN MONTERO, S.; REY BORREGO, M.L. (2012): Matemáticas para la Economía

y la Empresa. Ed. Pirámide.

 CALVO, C.; IVORRA, C. (2012): Las matemáticas en la economía a través de ejemplos en

contextos económicos. Ed. Tirant Lo Blanch, Valencia.

 CANÓS, M. J., IVORRA, C., LIERN, V. (2002): Matemáticas para la Economía y la

Empresa, Ed. Tirant lo Blanch, Valencia.

 GUERRERO CASAS, F.; VAZQUEZ CUETO, M.J. (1998): Manual de Cálculo Diferencial e

Integral para la Economía y la Empresa. Ed. Pirámide. Madrid.

 SYDSAETER, K.; HAMMOND, P.; CARBAJAL, A. (2011): Matemáticas para el Análisis

Económico. Prentice Hall.

5. Metodología y plan de trabajo

Actividades presenciales:

La asignatura se impartirá mediante:

 Clases expositivas en las cuales se presentan los conceptos y resultados más

importantes que se acompañarán de numerosos ejemplos. Estas clases son impartidas al

grupo completo, no necesariamente como lección magistral, sino procurando una

participación activa del alumnado en la dinámica de las mismas. El desarrollo de estas

clases se apoya principalmente en presentaciones, referencias bibliográficas y/o apuntes

que, con antelación, (en el caso de las presentaciones y de los apuntes) estarán disponibles

para los estudiantes a través de la web de Campus Virtual de la asignatura. En el caso de

las referencias bibliográficas para el estudio de la materia, se indicarán con antelación en

la web del Campus Virtual.

 Prácticas de aula: clases de resolución de supuestos prácticos, con el objetivo de aplicar

los conceptos y herramientas introducidos en las clases teóricas a la resolución de

problemas y también consolidar la adquisición de conocimientos y destrezas por parte del

estudiante. En el desarrollo de estas clases se combinará la resolución guiada por parte del

profesor de algunos supuestos con la resolución individual o en grupo y una discusión

posterior de resultados.

Actividades no presenciales:

 Trabajo autónomo del estudiante: el estudiante dispondrá de diferentes materiales en la

biblioteca y en la web de la asignatura con el fin de orientar y facilitar el estudio de los

contenidos del temario.

 Trabajo en equipo: se promoverá la formación de grupos de trabajo para el estudio, el

debate y la aplicación práctica de las distintas partes del programa.

 Tutorías telemáticas: es interesante fomentar esta vía de comunicación, no sólo por su

flexibilidad temporal sino también porque puede contribuir a desarrollar la capacidad de

comunicación escrita en el estudiante.

 Actividades en el aula virtual: en la web de la asignatura en el Campus Virtual se pueden

desarrollar diversos tipos de actividad que fomentan la participación activa del estudiante

Vicerrectorado de Profesorado y

Ordenación Académica

Cronograma:

Semana Trabajo presencial Trabajo no presencial

(^1) Espacio Vectorial real.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

2

Espacio Vectorial real. Diagonalización

de matrices.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

3 Diagonalización de matrices.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

4

Formas cuadráticas.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

(^5) Funciones de varias variables.

Estudio y preparación de pruebas de seguimiento.

Asimilación de conceptos. Resolución de problemas

y/o ejecución de trabajos asignados.

6

Derivabilidad y diferenciabilidad de

funciones de varias variables.

Estudio y preparación de pruebas de seguimiento.

Asimilación de conceptos. Resolución de problemas

y/o ejecución de trabajos asignados.

7

Derivabilidad y diferenciabilidad de

funciones de varias variables.

Estudio y preparación de pruebas de seguimiento.

Asimilación de conceptos. Resolución de problemas

y/o ejecución de trabajos asignados.

8

Derivabilidad y diferenciabilidad de

funciones de varias variables.

Asimilación de conceptos. Resolución de problemas

y/o ejecución de trabajos asignados.

(^9) Funciones homogéneas.

Asimilación de conceptos. Resolución de problemas

y/o ejecución de trabajos asignados.

10

Optimización de funciones de varias

variables.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

11

Optimización de funciones de varias

variables.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

12

Optimización de funciones de varias

variables.

Asimilación de conceptos. Lecturas y resolución de

problemas y/o ejecución de trabajos asignados.

13

Optimización de funciones de varias

variables.

Estudio y preparación de pruebas de seguimiento.

Asimilación de conceptos. Resolución de problemas

y/o ejecución de trabajos asignados.

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Ordenación Académica

6. Evaluación del aprendizaje de los estudiantes

La evaluación que se establecerá para valorar los resultados del aprendizaje anteriormente

señalados tiene dos elementos:

1. Evaluación continua que se realizará a través de diversos procedimientos que permitan el

seguimiento del aprendizaje del alumno y valorar el esfuerzo y el trabajo desarrollado, como:

 Participación activa en actividades presenciales.

 Resolución de supuestos prácticos, realización de trabajos individuales o en equipo.

 Realización de pruebas escritas con cuestiones teóricas y/o ejercicios prácticos.

 Participación en actividades no presenciales propuestas en el Campus Virtual.

La evaluación continua es un proceso acumulativo y es necesario ir demostrando a lo largo del

semestre que se van alcanzando los objetivos de aprendizaje. Las pruebas escritas y/o orales en

el aula con cuestiones teóricas y/o ejercicios prácticos (peso sobre la evaluación final del 30%)

serán susceptibles de ser recuperadas en las convocatorias extraordinarias, previo aviso por parte

del alumno al profesor y renuncia de la correspondiente nota en la evaluación continua obtenida

durante el curso. La recuperación consistirá en una prueba escrita a realizar el mismo día del

examen de la convocatoria extraordinaria. Ese día se firmará la correspondiente renuncia.

2. Examen final. Consistirá en una prueba de conjunto por medio de la cual se valorarán los

conocimientos teóricos y prácticos adquiridos.

Sistema de calificaciones:

La calificación final, en todas las convocatorias, será una media ponderada de las calificaciones

obtenidas en la evaluación continua y el examen final, con una ponderación de la evaluación

continua del 40 %. En el examen final se exige un mínimo de 2 puntos sobre 6 para poder aprobar

la asignatura.

Tabla resumen 1

Convocatoria Sistema de evaluación Peso en la calificación final (%)

Ordinaria Evaluación continua + Examen final 100%

Extraordinaria Evaluación continua + Examen final 100%

Tabla resumen 2

Evaluación Actividades y pruebas

Peso en la

calificación final

(%)

Evaluación

Continua

Realización de pruebas escritas y/o orales en el aula con

cuestiones teóricas y/o ejercicios prácticos (30%)

Otras actividades de evaluación dentro o fuera del aula (10%)

40%

Examen

final

Prueba escrita con cuestiones teóricas y ejercicios

prácticos.

60%

Si la prueba a realizar es de tipo test se penalizarán las respuestas mal contestadas.

1

Tema 1. Espacio Vectorial Real

1.1 El espacio vectorial real IR

n .

1.2 Combinación lineal de vectores.

1.3 Dependencia e independencia lineal de vectores.

1.4 Base de un espacio vectorial.

DEFINICIÓN DEL ESPACIO VECTORIAL IR

n

Consideremos el conjunto

en este conjunto vamos a definir dos operaciones:

 Una operación interna: SUMA de los elementos de IR

n

 Una operación externa: PRODUCTO POR ESCALARES

 

:

,

n n n IR IR IR

u v u v

  

 

2

ESPACIO VECTORIAL IR

n

  1 ,^2 ,^ ,^  ,^ 1, 2,..., 

n

n i

IR  x x x x  IR i  n

 

:

,

n n IR IR IR

 u u

  



Con respecto a la primera operación se cumplen las

siguientes propiedades:

• Prop. conmutativa
• Prop. asociativa

u  v  v u

 u^ ^ v^  ^ w^ ^ u^ ^  v^ w

• Prop. elemento neutro
• Prop. elemento opuesto (^) , ( ) 0

n n

 u  IR   u  IR u  u 

Con respecto a la segunda operación se cumple:

1º )   u  v    u  v

2º ) (^)     (^)  u    u  u

3º ) (^)     (^)   u    (^)  u

4º ) 1  u u

   , IR

3

0 0 0

n   IR u    u u

n

 u v w IR

n

 u v IR

ESPACIO VECTORIAL IR

n

Los elementos de IR

n

los llamaremos vectores:

Los elementos de IR los llamaremos escalares:

u v w , , , 

   , , ,

Otros ejemplos de espacios vectoriales reales son: el

conjunto de todas las matrices de orden m x n y el conjunto

de polinomios de grado n.

4

 ,^ ,

n

IR  

El conjunto IR

n

con las dos operaciones definidas

anteriormente recibe el nombre de Espacio Vectorial Real

y lo denotamos

ESPACIO VECTORIAL IR

n

  1 2

, , , r

v v v

7

Los vectores son linealmente independientes

si el rango de la matriz que forman coincide con el número de

vectores, es decir:

  1 2

, , , r

v v  v

11 12 1

21 22 2

1 2

1 2

r

r

n n nr

r

v v v

v v v

rg A rg r

v v v

v v v

ESPACIO VECTORIAL IR

n

Para estudiar la dependencia lineal de los vectores

utilizaremos el concepto de rango de matrices:

SISTEMA GENERADOR:

Se define sistema generador del espacio vectorial IR

n

a

todo conjunto de vectores tal que

cualquier vector es combinación lineal de ellos:

 v v 1 ,^2 ,^ ,^ vp

n

v IR

1 2 1 1 2 2

n

p p p

v  IR       IR v    v    v    v

Al conjunto de vectores v 1 ,^ v 2 ,^ ,^ vp

sistema generador de IR

n

se le llama

8

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Sea un conjunto de vectores de IR

n

diremos que forman una base de IR

n

si

 Son linealmente independientes

 Son un sistema generador de IR

n

B  (^)  u 1 , u 2 , , un

Los coeficientes son únicos y reciben el nombre de

COORDENADAS del vector (^) v en la base B.

i



9

BASE DE UN ESPACIO VECTORIAL

Si es una base de IR

n B  (^)  u 1 , u 2 , , un entonces:

Todas las bases de un espacio vectorial tienen el mismo

número de vectores y a este número se le denomina

DIMENSION del espacio vectorial.

1 2 1 1 2 2

n

n n n

v  IR       IR v    u    u    u

dim IR

n

= nº de vectores de una base cualquiera de IR

n

= n

Todo conjunto de n vectores linealmente independientes de IR

n

forman una base de IR

n

Ax  x 0

OBTENCIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS

El vector no nulo es un vector propio de la matriz

A si cumple

Pasamos todo al primer miembro

Sistema de ecuaciones homogéneo que siempre tiene solución. Como

buscamos vectores no nulos queremos que el sistema tenga infinitas

soluciones (sistema compatible e indeterminado).

Sacamos factor común a por la dcha (^) ( A   I x)  0

11 12 1 1

21 22 2 2

1 2

n

n

n n nn n

a a a x

a a a x

a a a x

n

x IR

3

A x  x

x

r g ( A  I )  n  A  I  0

Por tanto, tenemos una condición necesaria y suficiente para

que  sea un valor propio de la matriz A:

 valor propio de A  A   I  0

Para que un sistema homogéneo sea compatible e

indeterminado debe verificar que el rango de la matriz del

sistema sea menor que el número de incógnitas:

11 12 1

21 22 2

1 2

0

n

n

n n nn

a a a

a a a

a a a









 









OBTENCIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS

4

A   I  0 ecuación característica^ de la matriz^ A

p ( ) A  I

polinomio característico, polinomio de

grado n cuyas raíces son los valores

propios de A.

Por tanto una matriz cuadrada de orden n tiene n valores

propios reales o complejos.

Una vez obtenidos los valores propios, para cada uno de ellos

calcularemos los vectores propios resolviendo el sistema de

ecuaciones homogéneo:

( A  I x)  0

OBTENCIÓN DE VALORES Y VECTORES PROPIOS

1 0 Obtener los valores y vectores propios de la matriz.

2 1

A

       

5

DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

Si una matriz es diagonal, es sencillo trabajar con ellas:

1

2 1 2 3

3

1

2

3

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

m

m m

m

d

D d D d d d

d

d

D d m IN

d

 

      

 

 

 

 

    

 

 

6

9

Ejemplos:

Estudiar si las siguientes matrices son diagonalizables.

1 2

3 4

1 0 0 1 1 0

1 2 0 1 2 1

2 1 5 0 1 5

0 1 0 11 4 8

0 0 1 0 1 0

1 3 3 12 4 9

A A

A A

   

     

   

   

   

   ^  

     

   

          

DIAGONALIZACIÓN DE MATRICES

1

Tema 3. Formas cuadráticas.

3.1. Definición de forma cuadrática.

3.2. Clasificación de una forma cuadrática.

3.3. Formas cuadráticas restringidas.

Ejemplos:

2 2

1 2 1 2 1 2

q x( , x )  3 x  5 x  2 x x

Es una forma cuadrática en IR

2

2 2

1 2 3 1 2 1 2 3

q x( , x , x )  2 x  x  x x  3 x NO es forma cuadrática en^ IR

3

Una forma cuadrática en es una aplicación

definida de la siguiente forma:

n IR

ij ij ji

c  IR c  c i j

 1 ,^2 ,^.^ 

n

n

x  x x x IR

n

q IR IR

Es decir, es un polinomio en en el que cada uno de los sumandos

es de grado dos.

DEFINICIÓN DE FORMA CUADRÁTICA

n IR

2

11 1 12 1 2 1 1

(^1 1 2 )

21 2 1 22 2

( ) ... ...

...

n n

ij i j n n

i j

nn n

q x c x x c x c x x c x x

c x x c x c x

 

      

   



donde c

ij

se denominan coeficientes

de la forma cuadrática