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MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
PROBLEMAS DE PROGRAMACION LINEAL Y LINDO:
3. Problema de producción.
Wood Walker es propietario de un pequeño taller de fabricación de muebles. En ese taller
fabrica tres tipos diferentes de meses: A, B y C. Con cada mesa, se requiere determinado
tiempo para cortar las partes que la constituyen, ensamblarlas y pintar la pieza terminada.
Wood podrá vender todas las mesas que consiga fabricar. Además el modelo C puede
venderse sin pintar. Wood emplea varias personas, las cuales trabajan en turnos parciales,
por lo cual el tiempo disponible para realizar cada una de estas actividades es variable de
uno a otro mes. A partir de los datos siguientes, formule usted un modelo de
programación lineal que ayude a Wood a determinar la mezcla de productos que le
permita maximizar sus ganancias en el próximo mes.
MODELO CORTE (hrs) MONTAJE (hrs) PINTURA (hrs)
GANANCIAS POR
CADA MES ($)
A 3 4 5 25
B 1 2 5 20
C 4 5 4 30
C sin pintar 4 5 0 30 Capacidad 150 200 300
X1: # de mesas tipo A
X2: # de mesas tipo B
X3: # de mesas tipo C
X4: # de mesas tipo C sin pintar
MAX 25X1+20X2+30X3 + 30X
Restricciones:
Corte) 3X1 + X2 + 4X3 + 4X4 <= 150
Montaje) 4X1 + 2X2 + 5X3 + 5X4 <= 200
Pintura) 5X1 + 5X2 + 4X3 <= 300
Pregunta:
Determinar la mezcla de productos que permitirá Maximizar sus ganancias en el próximo
mes.
Respuesta:
Tenemos que fabricar:
60 mesas tipo B
16 mesas tipo C sin pintar.
Para alcanzar la máxima ganancia de $ 1,680.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
RESULTADO INTERPRETACION
Global optimal solution found. Objective value: 1680. Infeasibilities: 0. Total solver iterations: 3
VALOR OPTIMO
MAXIMA UTILIDAD $ 1,680.
Variable Value Reduced Cost X1 0.000000 7. X2 60.00000 0. X3 0.000000 6. X4 16.00000 0. SOLUCION OPTIMA (Value) Tenemos que fabricar: 60 mesas tipo B 16 mesas tipo C sin pintar. REDUCED COST (Costo reducido u oportunidad) El costo de oportunidad por producir es: Por cada mesa tipo A su costo de oportunidad es $ 7. Como las mesas tipo B se están produciendo su costo de oportunidad es CERO. Por cada mesa tipo C pintada, su costo de oportunidad es $ 6. Como las mesas tipo C sin pintar se están produciendo su costo de oportunidad es CERO. Row Slack or Surplus Dual Price 1 1680.000 1. CORTE 26.00000 0. MONTAJE 0.000000 6.00 0000 PINTURA 0.000000 1.
RESTRICCIONES:
Corte (hrs): o Holgura o excedente es igual a 26.00000 (No se está consumiendo todas las horas disponibles para cortar las partes que constituyen las mesas) por tanto es una Restricción Inactiva. o Precio Dual es de $ 0.00 (no genera ningún cambio porque no se está utilizando al 100% ese recurso ya que tiene un excedente o una holgura) Montaje (hrs): o Holgura o excedente es igual a cero (se está consumiendo todas las Horas disponibles para el montaje de las mesas)
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
- 80.0000; [232.50000, 120.00000] es el rango horas disponibles para el montaje de las mesas, sin afectar los Precios Duales. Pintura (hrs): Se encuentra en el rango 150 + infinito y 150 - 26.0000; [Infinito, 134] es el rango horas disponibles para el pintado de las, sin afectar los Precios Duales.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
4. Planificación Financiera.
Willie Hanes es presidente de una microempresa de inversiones que se dedica a
administrar las carteras de acciones de varios clientes. Un nuevo cliente ha solicitado
que la compañía se haga cargo de administrar para él una cartera de $100.000. A ese
cliente le agradaría restringir la cartera a una mezcla de tres tipos de acciones
únicamente, como podemos apreciar en la siguiente tabla. Formule usted un PL para
mostrar cuantas acciones de cada tipo tendría que Willie con el fín de maximizar el
rendimiento anual total estimado de esa cartera.
ACCIONES
PRECIO POR ACCION
RENDIMIENTO
ANUAL POR ACCION
INVERSIÓN MÁXIMA
POSIBLE ($)
Gofer Crude 60 7 60.
Can Oil 25 3 25.
Sloth Petroleum 20 3 30.
X1: # de acciones Gofer Crude
X2: # de acciones Can Oil
X3: # de acciones Sloth Petroleum
MAX 7X1 + 3X2 + 3X
Restricciones:
Inversion) 60X1 + 25X2 + 20X3 <= 100,
Gofer_Crude) 60X1 <= 60,
Can_Oil) 25X2 <= 25,
Sloth_Petroleum) 20X3 <= 30,
Pregunta:
¿Cuantas acciones de cada tipo tendría que comprar Willie con el fin de Maximizar el
rendimiento anual total estimado de la cartera?
Respuesta:
Tenemos que comprar:
750.00 acciones Gofer Crude
1,000.00 acciones Can Oil
1,500.00 acciones Sloth Pretroleum
Para alcanzar el máximo rendimiento anual total de $ 12,750.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
o Precio Dual es de $ 0.00 (no genera ningún cambio porque no se está utilizando el 100% de ese recurso ya que tiene un excedente o una holgura) Inversión acciones Can Oil: o Holgura o excedente es igual a cero (se está invirtiendo en todas las acciones disponibles de Can Oil) por tanto es una Restricción Activa. o Precio Dual es de $ 0.3333333E- 02 (por cada 01 dólar adicional de inversión en la acciones de Can Oil la utilidad se incrementa en $ 0.3333333E- 02 ). Inversión acciones Sloth Petroleum: o Holgura o excedente es igual a cero (se está invirtiendo en todas las acciones disponibles de Sloth Petroleum) por tanto es una Restricción Activa. o Precio Dual es de $ 0.3333333E- 01 (por cada 01 dólar adicional de inversión en la acciones de Sloth Petroleum la utilidad se incrementa en $ 0.3333333E- 01 ). Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges Current Allowable Allowable Variable Coefficient Increase Decrease X1 7.000000 0.2000000 7. X2 3.000000 INFINITY 0.8333333E- 01 X3 3.000000 INFINITY 0. # acciones Gofer Crude “X1” SI se invierte: Su utilidad se encuentra en el rango 7 + 0. y 7 – 7; [7.20, 0] es el rango para que la solución optima NO CAMBIE. # acciones Can Oil “X2” SI se invierte: Su utilidad se encuentra en el rango 3 + ∞ y 3 – 0.8333333E- 01; [∞, 2.92] es el rango para que la solución optima NO CAMBIE. # acciones Sloth Petroleum “X3” SI se invierte: Su utilidad se encuentra en el rango 3 + ∞ y 3 – 0.6666667; [∞, 2.33] es el rango p ara que la solución optima NO CAMBIE.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
Righthand Side Ranges Row Current Allowable Allowable RHS Increase Decrease INVERSION 100000.0 15000.
GOFER_CRUDE 60000.00 INFINITY
CAN_OIL 25000.00 45000.00 15000. SLOTH_PETROLEUM 30000.00 45000.
Inversión de cartera: Se encuentra en el rango 100,000 + 15,000 y 100,000 – 45.0000; [115,000.00, 55,000.00] es el rango de inversión de cartera, que no afectaría los Precios Duales. Inversión acciones Gofer Crude: Se encuentra en el rango 60,000 + ∞ y 60,
- 15,000; [∞, 45,000.00] es el rango de inversión en acciones Gofer Crude, que no afectaría los Precios Duales. Inversión acciones Can Oil: Se encuentra en el rango 25,000 + 45,000 y 25,000 – 15,000; [60,000.00, 10,000.00] es el rango de inversión en acciones Can Oil, que no afectaría los Precios Duales. Inversión acciones Sloth Petroleum: Se encuentra en el rango 30,000 + 45,000 y 30,000 – 15,000; [75,000.00, 15,000.00] es el rango de inversión de acciones Sloth Petroleum, que no afectaría los Precios Duales.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
RESULTADO INTERPRETACION
Global optimal solution found. Objective value: 0. Infeasibilities: 0. Total solver iterations: 3 VALOR OPTIMO MAXIMA UTILIDAD 0.88 millones de dólares Variable Value Reduced Cost X1 5.000000 0. X2 1.000000 0. X3 2.000000 0. X4 2.000000 0. SOLUCION OPTIMA (Value) Tenemos que invertir: 5 millones de dólares en bonos de la tesorería “X1”. 1 millón de colares en acciones ordinarias “X2”. 2 millones de dólares en mercados de dinero “X3”. 2 millones de dólares en títulos municipales “X4”. REDUCED COST (Costo reducido o oportunidad) El costo de oportunidad por invertir es: Como se va a invertir en bonos de tesorería, acciones ordinarias, mercados de dinero y títulos municipales sus costos de oportunidad son CERO. Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.8800000 1. IM 0.000000 0.6000000E- 01 IM_BONOS_ACCIONES 3.000000 0. IM_FONDOS_TITULOS 0.000000 0.3000000E- 01 IM_BONOS 0.000000 0.2000000E- 01 IM_ACCIONES 6.000000 0. IM_MERCADO 0.000000 0.3000000E- 01 IM_TITULOS 2.000000 0. RESTRICCIONES: Inversión: o Holgura o excedente es igual a cero (se está invirtiendo totalmente los $ 10 millones) por tanto es una Restricción Activa. o Precio Dual es de $0.06 (por cada $ 1. invertido adicional la utilidad se incrementa en $0.06) Inversión proporcional entre bonos de la tesorería y acciones ordinarias: o Holgura o excedente es igual a 3.00000 (No se está invirtiendo totalmente la proporción de inversión entre bonos de la tesorería y acciones ordinarias) por tanto es una Restricción Inactiva. o Precio Dual es de $ 0.00 (no genera ningún cambio porque no se está invirtiendo al 100% la proporción de inversión entre bonos de la tesorería y acciones ordinarias) Inversión proporcional entre mercado de dinero y
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títulos municipales: o Holgura o excedente es igual a cero (Si se está invirtiendo totalmente la proporción de inversión entre mercado de dinero y títulos municipales) por tanto es una Restricción Activa. o Precio Dual es de $ 0.03 (por cada $ 1. invertido adicional la utilidad se incrementa en $0.03) Inversión Bonos de la Tesorería: o Holgura o excedente es igual a cero (Si se está invirtiendo totalmente en Bonos de la Tesorería) por tanto es una Restricción Activa. o Precio Dual es de $ 0.02 (por cada $ 1. invertido adicional en bonos de la tesorería la utilidad se incrementa en $0.02) Inversión Acciones Ordinarias: o Holgura o excedente es igual a 6.00000 (No se está invirtiendo totalmente en Acciones Ordinarias) por tanto es una Restricción Inactiva. o Precio Dual es de $ 0.00 (no genera ningún cambio porque no se está invirtiendo al 100% en Acciones Ordinarias) Inversión Mercado de dinero: o Holgura o excedente es igual a cero (Si se está invirtiendo totalmente en Mercado de dinero) por tanto es una Restricción Activa. o Precio Dual es de $ 0.03 (por cada $ 1. invertido adicional en mercado de dinero la utilidad se incrementa en $0.03) Inversión proporcional Títulos municipales: o Holgura o excedente es igual a 2.00000 (No se está invirtiendo totalmente en Títulos municipales) por tanto es una Restricción Inactiva. o Precio Dual es de $ 0.00 (no genera ningún cambio porque no se está invirtiendo al 100% en Títulos municipales) Ranges in which the basis is unchanged: Objective Coefficient Ranges
Fondos en bonos de la tesorería, Si
se invierte:
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
Se encuentra en el rango 3.00 + 3.
y 3.00 – ∞ ; [6, ∞ ] es el rango de
inversión proporcional entre bonos de
la tesorería y acciones ordinarias
expresado en millones de $, sin
afectar los Precios Duales.
Inversión proporcional entre mercado
de dinero y títulos municipales:
Se encuentra en el rango 4.00 + 1.
y 4.00 – 2.00; [5, 2] es el rango de
inversión proporcional entre mercado
de dinero y títulos municipales
expresado en millones de $, sin
afectar los Precios Duales.
Inversión Bonos de la Tesorería:
Se encuentra en el rango 5.00 + 1.
y 5.00 – 5 .00; [6, 0] es el rango de
inversión Bonos de la Tesorería
expresado en millones de $, sin
afectar los Precios Duales.
Inversión Acciones Ordinarias:
Se encue ntra en el rango 7.00 + ∞ y
7.00 – 6 .00 ; [∞, 1] es el rango de
inversión Acciones Ordinarias
expresado en millones de $, sin
afectar los Precios Duales.
Inversión Mercado de dinero:
Se encuentra en el rango 2.00 + 2.
y 2.00 – 2 .00; [4, 2] es el rango de
inversión Mercado de dinero
expresado en millones de $, sin
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
afectar los Precios Duales.
Inversión proporcional Títulos
municipales:
Se encuentra en el rango 4.00 + ∞ y
4.00 – 2 .00 ; [∞, 2] es el rango de
inversión Títulos municipales
expresado en millones de $, sin
afectar los Precios Duales.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
a. Encuentre, empleando el método gráfico, la solución óptima y el valor óptimo.
Solución Óptima: A= 6.
B= 10.
Valor Optimo: MAX=
Restricciones: Tipo Estado:
Holgur
a:
A <= 10 Demanda Total producto “A” inactiva 3.
B <= 14 Demanda Total producto “B” inactiva 3.
A – 4B <= 12
Proporción de producción del
producto “A” respecto a “B”
inactiva
9A + 4B >= 36 Horas mano de Obra inactiva 21.
B - 4A <= 12
Proporción de producción del
producto “B” respecto a “A”
inactiva
15A + 23B <= 345 Materia prima (unidades) activa 0
20A + 14B <= 280 Horas Maquina activa 0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 B : 1.00 A + 0.00 B = 10. : 15.00 A + 23.00 B = 345. : 9.00 A + 4.00 B = 36. : -4.00 A + 1.00 B = 12. : 0.00 A + 1.00 B = 14. : 20.00 A + 14.00 B = 280. Payoff: 300.00 A + 300.00 B = 5172. Optimal Decisions(A,B): (6.44, 10.80) : 1.00A + 0.00B <= 10. : 15.00A + 23.00B <= 345. : 9.00A + 4.00B >= 36. : -4.00A + 1.00B <= 12. : 0.00A + 1.00B <= 14. : 20.00A + 14.00B <= 280.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
b. ¿Cuánto es lo máximo que puede aumentar el precio de venta del producto
dirigido al mercado tipo A para que el programa de producción no cambie?
Para hallar el máximo que puede aumentar el precio de venta del producto dirigido
al mercado tipo A, sin que el programa de producción no cambie, debemos de
realizar analizar las restricciones activas:
Restricciones: Tipo Estado: Holgura:
15A + 23B <= 345 Materia prima (unidades)^ activa 0
20A + 14B <= 280 Horas Maquina^ activa 0
Si analizamos sus pendientes podemos deducir:
“X” es el precio máximo, que asciende a $528.
c. ¿Qué sucede con la solución óptima si el costo de producción del producto
dirigido al mercado tipo B se disminuye en 25%?
Si el costo de producción del producto dirigido al mercado tipo B disminuye en
25%, tenemos:
Que su costo de producción seria: 200 x 0.75= 150
Que la rentabilidad del producto dirigido al mercado tipo B sería: 500 – 150 =
Por tanto la función de maximización quedaría:
MAX 300A + 350B
Manteniendo los valores de la Solución Óptima (A = 6.44 y B= 10.80)
obtenemos que el Valor Óptimo sería: 300 x 6.44 + 350 x 10.80 = $5,712.
Se diferenciamos este nuevo Valor Optimo, con el del Valor Óptimo inicial
$5172.00, obtenemos un incremento de $540.00.
d. El mercado para el producto A ha disminuido por efectos de las condiciones
económicas del entorno. Esto hace ver que la demanda del producto dirigido al
mercado tipo A se verá recortada ¿Cuánto es lo máximo que se puede reducir la
demanda del producto dirigido al mercado tipo A para que no cambie el punto
de solución óptima?
3.56 es la máxima reducción de demanda del producto dirigido al mercado tipo A,
con esto la demanda del producto dirigido al mercado tipo A seria 6.44, con este
valor se mantendría el punto de solución óptima.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
3. Un empleado de una concesión de ventas de refrescos en el Estadio Nacional de Lima
debe elegir entre trabajar detrás de un mostrador y recibir una suma fija de S/. 50 por
tarde o andar por las tribunas vendiendo y recibir una comisión variable. Si elige esta
última opción, el empleado puede ganar S/. 90 durante una tarde calurosa, S/. 70 en
una tarde de calor moderado, S/. 45 en una tarde fresca y S/. 15 en una tarde fría. En
esta época del año, las probabilidades de una tarde calurosa, moderada, fresca y fría
son respectivamente 0,1; 0,3; 0,4 y 0,2. ¿Qué forma de venta es la más conveniente
para el empleado en esta época del año? Sustente.
Tarde Calurosa Tarde Calor moderado Tarde Fresca Tarde Fría Remuneración S/. 90.00 S/. 70.00 S/. 45.00 S/. 15. PROBABILIDAD 10% 30% 40% 20% 15 30 50 25 E(Fijo)= $ 50. E(Variable)= $ 51. $ 51. DECISIÓN (COMISION) Variable ESTADO DE LA NATURALEZA (DEMANDA) ESCENARIO BAJO RIESGO DECISIÓN (COMISION)
En un ESCENARIO BAJO RIESGO:
Se determina que el empleado debe de trabajar andando por las tribunas vendiendo y
recibir una comisión variable por la venta de refrescos en el Estadio Nacional de Lima.
MAESTRIA EN PROYECTOS DE INVERSION
4. El administrador de una librería necesita hacer el pedido semanal de una revista
especializada de medicina. Por registros históricos, se sabe que las frecuencias
relativas de vender una cantidad de ejemplares es la siguiente:
Demanda de ejemplares 1 2 3 4 5 6 Frecuencia relativa 1 / 15 2 / 15 3 / 15 4 / 15 3 / 15 2 / 15
El administrador paga S/. 2,50 por cada ejemplar y lo vende a S/. 10. De mantenerse
las condiciones bajo las que se registraron los datos y si las revistas que quedan no
tienen valor de recuperación, ¿cuántos ejemplares de revista debería solicitar el
administrador?
1 2 3 4 5 6 OPTIMISTA PESIMISTA HURW. α=0. 1 $ 7.50 $ 7.50 $ 7.50 $ 7.50 $ 7.50 $ 7.50 $ 7.50 $ 7.50 $ 7. 2 $ 5.00 $ 15.00 $ 15.00 $ 15.00 $ 15.00 $ 15.00 $ 15.00 $ 5.00 $ 13. 3 $ 2.50 $ 12.50 $ 22.50 $ 22.50 $ 22.50 $ 22.50 $ 22.50 $ 2.50 $ 18. 4 $ - $ 10.00 $ 20.00 $ 30.00 $ 30.00 $ 30.00 $ 30.00 $ - $ 24. 5 $ -2.50 $ 7.50 $ 17.50 $ 27.50 $ 37.50 $ 37.50 $ 37.50 $ -2.50 $ 29. 6 $ -5.00 $ 5.00 $ 15.00 $ 25.00 $ 35.00 $ 45.00 $ 45.00 $ -5.00 $ 35. PROBABILIDAD 6.7% 13.3% 20.0% 26.7% 20.0% 13.3% $ 45.00 $ 7.50 $ 35. DECISIÓN (COMPRAR) 6 1 6 E(1)= $ 4.00 Compra = $ 2. E(2)= $ 7.33 Venta = $ 10. E(3)= $ 9. E(4)= $ 11. E(5)= $ 13. E(6)= $ 13. $ 13. DECISIÓN (COMPRAR) 5 DECISIÓN ESTADO DE LA NATURALEZA (DEMANDA) (COMPRAR) ESTADO INCERTIDUMBRE ESCENARIO BAJO RIESGO
En un ESTADO DE INCERTIDUMBRE tenemos que:
Bajo un escenario Optimista, se debe de realizar un pedido de 06 ejemplares de la
revista especializada de Medicina.
Bajo un escenario Pesimista, se debe de realizar un pedido de 01 ejemplar de la
revista especializada de Medicina.
Bajo un escenario Hurwicz con un α=0.8, se debe de realizar un pedido de 06
ejemplares de la revista especializada de Medicina.
En un ESCENARIO BAJO RIESGO:
Se determina que la librería debe de realizar un pedido de 05 o 06 ejemplares de la
revista especializada de Medicina.
