Ejercicios de deducción natural y teoría de grafos en Matemática discreta, Apuntes de Matemáticas

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Visión

Ser una de las 10 mejores universidades privadas del Perú al año 2020, reconocidos por nuestra excelencia académica y vocación de servicio, líderes en formación integral, con perspectiva global; promoviendo la competitividad del país.

Misión

Somos una universidad privada, innovadora y comprometida con el desarrollo del Perú, que se dedica a formar personas competentes, íntegras y emprendedoras, con visión internacional; para que se conviertan en ciudadanos responsables e impulsen el desarrollo de sus comunidades, impartiendo experiencias de aprendizaje vivificantes e inspiradoras; y generando una alta valoración mutua entre todos los grupos de interés. Universidad Continental Material publicado con fines de estudio Código: ASUC 2019

Asignatura: Matemática discreta

• UNIDAD I: Índice
• Lógica y teoría de conjuntos
  • SESIÓN –
    • Examen diagnóstico.
  • SESIÓN –
    • moleculares y atómicas Lógica Proposicional, Lógica proposicional, Formulación de proposiciones
  • SESIÓN –
    • Formulación de proposiciones y tablas de verdad.
  • SESIÓN –
    • Leyes lógicas
  • SESIÓN –
    • Demostraciones de proposiciones utilizando leyes lógicas
  • SESIÓN –
    • Demostraciones de proposiciones utilizando leyes lógicas
  • SESIÓN –
    • Deducción Natural
  • SESIÓN –
    • Demostración de premisas utilizando deducción natural.................................
  • SESIÓN –
    • Lógica cuantificacional
  • SESIÓN –
    • Uso de cuantificadores, formalización en lógica cuantificacional
  • SESIÓN –
    • Intercambio de cuantificadores, silogismo categórico
  • SESIÓN –
    • Evaluación 1 consolidado 1........................................................................................
• UNIDAD II:
• Relación de recurrencia y análisis combinatorio
  • SESIÓN –
    • Análisis Combinatorio
  • SESIÓN – Asignatura: Matemática discreta
    • Primer y segundo principio de conteo
  • SESIÓN –
    • Permutaciones, Combinaciones y Variaciones
  • SESIÓN –
    • Inducción matemática.
    • Sucesiones de primer orden, progresiones aritméticas
  • SESIÓN –
    • Sucesiones de segundo orden, progresiones geométricas
  • SESIÓN –
    • matemática. Demostraciones de proposiciones matemáticas mediante la inducción
  • SESIÓN –
    • Aplicativo Práctico
  • SESIÓN –
    • Evaluación 2 consolidado 1........................................................................................
  • SESIÓN –
    • Ejercicios unidad repaso, pruebas orales unidades 1 y
  • SESIÓN –
    • Evaluación Parcial.
  • SESIÓN –
    • Solucionario
  • SESIÓN –
    • Entrega de notas............................................................................................................
• UNIDAD III:................................................................................................................................................
• Teoría de Grafos
  • SESIÓN –
    • Teoría de conjuntos
  • SESIÓN –
    • Operaciones con conjuntos y las leyes de la teoría de conjuntos.
  • SESIÓN –
    • Algebra de conjuntos.
  • SESIÓN –
    • Teoría de grafos
  • SESIÓN – Asignatura: Matemática discreta
    • Definiciones de grafos, Subgrafos, complementos e isomorfismos
  • SESIÓN –
    • Propiedades de grafos
  • SESIÓN –
    • Representación de grafos
  • SESIÓN –
    • Matriz de adyacencia, incidencia grafos conexos
  • SESIÓN –
    • Eulerianos.......................................................................................................................... Grados de vértices, grafos bipartidos, bipartidos completos, grafos Hamiltonianos y
  • SESIÓN –
    • Evaluación 3 consolidado II
  • SESIÓN –
    • Árboles definiciones, propiedades
  • SESIÓN –
    • Árboles con raíz, Propiedades
• UNIDAD III:................................................................................................................................................
• Máquinas de Estado Finito
  • SESIÓN –
    • Árboles ponderados
  • SESIÓN –
    • Recorrido de árboles Pre order post order in order
  • SESIÓN –
    • Optimización algoritmo de camino más corto Dijkstra
  • SESIÓN –
    • Árboles recubridores minimales.
  • SESIÓN –
    • Algoritmos de árboles recubridores..........................................................................
  • SESIÓN –
    • Evaluación 2 consolidada
  • SESIÓN –
    • Máquinas y autómatas de estado finito.
  • SESIÓN –
  • Autómatas de estado finito. Gramáticas y lenguajes formales Asignatura: Matemática discreta
• SESIÓN –
  • Ejercicios unidad repaso, pruebas orales unidades 3 y
• SESIÓN –
  • Evaluación Final..............................................................................................................
• SESIÓN –
  • Presentación del solucionario
• SESIÓN –
  • Entrega de notas............................................................................................................
• Básica:
• Complementaria:

Asignatura: Matemática discreta

UNIDAD I:

Lógica y teoría de

conjuntos

RES 0 ULTADO DE APRENDIZAJE DE LA UNIDAD

Al finalizar la unidad, el estudiante será capaz de aplicar las nociones básicas de la lógica proposicional y la teoría de conjuntos, para demostrar si un razonamiento es válido o no.

Asignatura: Matemática discreta 2.8 Hoy voy al cine si y solo si sale María. No voy al cine. Si no sale María, entonces voy a la discoteca. Entonces voy al cine o voy a la discoteca” 2.9 Pedro estudia educación a distancia, sin embargo, si viaja a Lima, dejara de estudiar y buscara un trabajo”, donde: p=Pedro estudia educación a distancia, q= Pedro viaja a Lima, r= Pedro dejara de estudiar y s=Pedro buscara un trabajo 2.10 3.10 Formalice: “Si Luis entrena formalmente, entonces integrara la selección. Si Luis entrena formalmente, entonces y solo entonces estará en condiciones físicas de jugar por la selección. Por lo tanto, Luis integrará la selección”, donde: p= Luis entrena formalmente, q= Luis integrar la selección y r= Luis estará en condiciones físicas de jugar por la selección. SESIÓN – 3 Formulación de proposiciones y tablas de verdad.

1. Comprobar por tablas de verdad si la siguiente fbf es o no tautológica:

(p → ¬q) ∨ (q → ¬r)

2. Comprobar por tablas de verdad si la siguiente fbf es o no contingente:

(p ∨ q) ∧ (¬q → p)

3. Comprobar por tablas de verdad si la siguiente fbf es o no contingente:

p ∨ (p → q ∧ r)

4.. - Formalice las siguientes proposiciones a) Si ella no viene entonces nos vamos al cine b) Si trabajas y estudias te preparas mejor para el futuro c) Ser bachiller o titulado en Ciclo Superior y tener 18 años cumplidos son condiciones para poder ejercer la docencia d) Si dominas las asignaturas y te relacionas bien con todas las personas del colegio entonces no has perdido el tiempo" e) Si tengo muchos exámenes que corregir y he descansado un poco al mediodía, trabajo hasta las doce de la noche. Pero hoy no trabajo hasta las doce. Por tanto, será que no he descansado al mediodía f) Si te cuesta entender las cosas, pero te esfuerzas diariamente, seguro que no suspendes g) Estudio Álgebra si y solo si estudio Física, o si no estudio Física entonces estudio Aritmética h) Roxana estudia o trabaja, pero si no estudia entonces trabaja. En consecuencia, Roxana no trabaja i) hoy no es lunes 5. Clasifique como tautología, contradicción y contingencia. Los siguientes esquemas moleculares: a) [(pΛ q) → q ] v p d) ˜(p v q) Λ p b) (p→q) v p e) [ (p → ˜ q) Λ p ] →˜ q c) p→(pΛq) f) ˜p v ˜( p v q )

Asignatura: Matemática discreta

6. Si p y q son proposiciones falsa y verdadera respectivamente, halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones : a) p V ( p → q ) c) p Λ ( p→ q ) b) ( p V q ) → p d) (p V q ) ↔ [ p Λ ( p→ q ) ]
7. Si p=V, q= V, r= F. Halle el valor de verdad de los siguientes esquemas moleculares : a) (p Λ q) → (˜ p V r) b) p Λ q → r c) ( p ↔ ˜ q ) → r

SEMANA 2

SESIÓN – 1

Leyes lógicas

1.- Utilizando las tablas de verdad, compruebe cada una de las simplificaciones

dadas, subraye en que parte se está aplicando la ley lógica, luego determinen si

cumplen o no las igualdades.

1.1. p → (q → r)  q → (p → r) p → (q → r)  p  (q  r) Condicional  (p  q)  r Asociativa  (q  p)  r) Conmutativa  q  (p  r) Asociativa 1.2. (p → q)  p  p  q (p → q)  p  [(p → q) → p]  [p → (p → q)] Bicondicional  [(p → q)  p]  [p  (p → q)] Condicional  [(p  q)  p]  [p  (p  q)] Condicional  [(p  q)  p]  [p  (p  q)] De Morgan  p  [p  (p  q)] Absorción  p  [(p  p)  q] Asociativa  p  (p  q) Idempotencia  p  q Absorción 1.3. (p → q)  (p → r)  p → (q  r) (p → q)  (p → r)  (p  q)  (p  r) Condicional  [(p  q)  p]  r Asociativa  [p  (p  q)]  r Conmutativa  [(p  p)  q]  r Asociativa

Asignatura: Matemática discreta SESIÓN – 2 Demostraciones de proposiciones utilizando leyes lógicas

1. Simplifique utilizando leyes lógicas y luego verifique mediante tablas de

verdad

1.1 (p →q) → q Resp: T

1.2 [(p  q) → q]  p Resp: p

1.3 {[(p → q)  (p  r)]  (p → r)} Resp: p  q

1.4 {[(p  q)  (p  q)] → p}  [(p  q)  (q  p)] Resp: p

1.5 [(p  q)  (q → r)] → p Resp: p

1.6 [(p  q) → (p → q)] → [r  (q  p)] Resp: p  q

1.7 [(p  q) → (q  p)]  [(p  p) → (q → r) Resp: T

1.8 [(p → q) → (p  q)]  [r  (q  p)] Resp: p  r

1.9 {[(p  q)  (p  q)] v (p  q)}  [(q → r)  r] Resp: q  r

SESIÓN – 3 Demostraciones de proposiciones utilizando leyes lógicas

1. Simplificar las siguientes leyes lógicas. 1.1 [(p→ p)  q]  [~q  (r  q)]  [p → (p  ~q)] = ~q  r 1.2 [~(p  q)  (~p  q)] → (~p  q)= p  q

SEMANA

SESIÓN – 1

Deducción Natural

1. Demuestre la conclusión de cada uno de los siguientes razonamientos:

1.1 Demostrar A  B, si:

C → A C C → B

1.2 Demostrar B  D, si:

B  C B → D

Asignatura: Matemática discreta

1.3 Demostrar S  Q, Si:

S → Q (T  R ) S → (T  R)

1.4 Demostrar A  C, si:

A  B C → B

1.5 Demostrar P, si:

P  Q T Q → T

1.6 Demostrar B, si:

A  B A → E E

1.7 Demostrar M, si:

S  P M  N S → N

1.8 Demostrar A  B, si:

B B → D A  D

1.9 Demostrar P, si:

T → (P  Q) (T) Q

1.10 Demostrar U, si:

P  T S → T S  Q (Q  P) → U

Asignatura: Matemática discreta

1.4 P(1) (R → S)  N

P(2) S → (P  Q)

P(3) R → T

P(4) T /∴ Q  N

Solución:

SESIÓN – 3 Lógica cuantificacional

1. Formalice las siguientes proposiciones utilizando la lógica cuantificacional: 1.1. Asia es más poblada que Europa 1.2. Rina se enfermó, debido a que tenía mucho estrés. 1.3. Algunos musulmanes son talibanes 1.4. Si Luis es padre de Ana, entonces, es falso que Ana sea su enamorada o que sea su esposa. 1.5. Si Pedro va a la Universidad, sus padres se sentirán orgullosos y sus hermanos también. 1.6. Algunos médicos ayacuchanos son protestantes 1.7. No todos los peruanos son tacneños 1.8. Casi todos los descorteses no son universitarios 1.9. Cualquier pez es vertebrado 1.10. Ni siquiera un metal es un ser vivo

SEMANA 4

SESIÓN – 1

Uso de cuantificadores, formalización en lógica cuantificacional

1. Formalice las siguientes proposiciones utilizando cuantificadores: 1.1 Todos los maestros quieren a sus alumnos 1.2 Ninguna ciudad descuida su patrimonio cultural 1.3 Los atrevidos salen a bailar solo con las atrevidas 1.4 Hay muchísimos estudiantes universitarios que son aficionados al rock, a la salsa, pero no a la cumbia. 1.5 Los gusanos se arrastran, mientras que las aves vuelan

Asignatura: Matemática discreta SESIÓN – 2 Intercambio de cuantificadores, silogismo categórico

1. Utilizando intercambio de cuantificadores halle el equivalente de: 1.1 No es probable que nadie sea honesto 1.2 Cualesquiera son trabajadores 1.3 No es cierto que pocos son generosos 1.4 Es falso que cualquiera es cantante. 1.5 No es verdad que, ciertos animales vuelan. 1.6 Ningún ateo cree en Dios. 1.7 Nada de lo que vive es eterno 1.8 Los felinos son veloces y carnívoros 1.9 No es posible que, ciertos sacerdotes no sean moralistas SESIÓN – 3 Evaluación 1 consolidado 1

Asignatura: Matemática discreta

SEMANA 5

SESIÓN – 1

Análisis Combinatorio

1. Analizar el siguiente ejemplo

Una persona desea construir su casa, para lo cual considera que puede construir los cimientos de su casa de cualquiera de dos maneras (concreto o block de cemento), mientras que las paredes las puede hacer de adobe, adobón o ladrillo, el techo puede ser de concreto o lámina galvanizada y por último los acabados los puede realizar de una sola manera ¿cuántas maneras tiene esta persona de construir su casa? Solución: Considerando que r = 4 pasos N 1 = maneras de hacer cimientos = 2 N 2 = maneras de construir paredes = 3 N 3 = maneras de hacer techos = 2 N 4 = maneras de hacer acabados = 1 N 1 x N 2 x N 3 x N 4 = 2 x 3 x 2 x 1 = 12 maneras de construir la casa SESIÓN – 2 Primer y segundo principio de conteo

1. Resolver utilizando principios de conteo

1.1. ¿De cuántas formas se puede cruzar un río una vez, si se cuenta con 1 bote y 2 barcos?

1.2. ¿De cuántas formas se puede vestir una persona que tiene 2 pantalones y 3 camisas?

1.3. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza un dado 2 veces?

1.4. ¿De cuántas formas se puede ordenar una pizza, si hay 2 opciones de masa (tradicional

y especial), y 4 sabores (hawaiana, carne, vegetariana y americana)? Solo se puede pedir una masa y un sabor.

1.5. ¿Cuántos resultados se pueden obtener si se lanza una moneda o un dado?

1.6. a) ¿Cuántos resultados distintos se puede obtener si se lanza una moneda 3 veces?

b) ¿Y si se lanza 5 veces?

Asignatura: Matemática discreta

1.7. Un repuesto de automóvil se vende en 3 tiendas

de Santiago y en 8 tiendas de Lima. ¿De cuántas formas se puede adquirir el repuesto?

1.8. Una sala de lectura tiene 5 puertas: a) ¿De cuántas maneras puede entrar a la sala un

estudiante y salir por una puerta diferente? b) ¿y si sale por cualquier puerta?

1.9. De la ciudad A a la ciudad B, se puede ir mediante 2 buses o 3 trenes. De la ciudad B a

la ciudad C se puede ir mediante 2 barcos, 2 trenes o 3 aviones. ¿De cuántas formas se puede ir de la ciudad A a la ciudad C, pasando por B? SESIÓN – 3 Permutaciones, Combinaciones y Variaciones

1. Se distribuyen tres regalos distintos entre cinco chicos. De cuántas formas pueden hacerlo si: a) cada chico sólo puede recibir un regalo b) a cada chico le puede tocar más de un regalo; c)cada chico sólo puede recibir un regalo pero los tres son idénticos.
2. Una persona tiene 6 chaquetas y 10 pantalones. ¿De cuántas formas distintas puede combinar estas prendas?.
3. Un amigo le quiere regalar a otro dos libros y los quiere elegir entre los 15 que le gustan. ¿De cuántas formas puede hacerlo?
4. ¿Cuántos planos distintos determinan 6 puntos en el espacio, si nunca hay más de 3 en un mismo plano? (Nota: tres puntos determinan un plano)
5. ¿Cuántos cuadriláteros se pueden formar con los vértices de un pentágono regular?
6. Un entrenador dispone de 22 jugadores para formar un equipo de fútbol. ¿Cuántas alineaciones de 11 jugadores puede hacer?
7. Una familia, formada por los padres y tres hijos, van al cine. Se sientan en cinco butacas consecutivas. a) ¿De cuántas maneras distintas pueden sentarse? b) ¿Y si los padres se sientan en los extremos?
8. ¿Cuántas opciones tienes, si debes escoger tres asignaturas entre seis optativas?
9. Con los números 3, 5, 6, 7 y 9 ¿cuántos productos distintos se pueden obtener multiplicando dos de estos números? ¿Cuántos de ellos son múltiplos de 2? ¿Cuántos cocientes distintos se pueden obtener dividiendo dos de estos números?
10. ) ¿Cuántos resultados distintos pueden aparecer al lanzar un dado 4 veces?
    11. ¿Cuántos números hay entre 2000 y 3000 que tengan sus cifras diferentes? 12)El alfabeto Morse utiliza los signos. y -. Utilizando como máximo cuatro de estos signos, ¿cuántas secuencias distintas puedes formar?