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EJERCICIOS RESUELTOS TEMA
1. Traduce al lenguaje algebraico las siguientes frases:
a) la mitad de un número más ocho. x/2+
b) el doble de un número, menos su mitad 2x-x/
c) aumenta en cuatro el triple de un número 3x+
d) la suma de los cuadrados de dos números x^2 +y^2 e) disminuye en seis el doble del cuadrado de un número 2x^2 -
2. Escribe en lenguaje algebraico las siguientes informaciones relativas a la base y la altura de un rectángulo:
a) la base es el doble que la altura. b=2a b) la base excede en cinco unidades a la altura. a+5=b c) La altura es dos quintos de la base. a=2/5b d) El área del rectángulo es de 75 cm^2. a·b= e) La base y la altura difieren en 3 unidades b-a= 3. Halla el valor numérico de las siguientes expresiones para el valor de la variable que se indica:
a) 3 x + 2y, parax = 1;y = 0
b) 3(x + 2)^2 ,
parax = 1 3( 1+2)^2 =3 · 9= 27
parax = –2 3(-2+2) 2 =3·0=
para x = 3/2 3(3/2+2)^2 =3(7/2) 2 =3· 49/4=147/
c) 2(x –y)^2 , parax = 2;y = –
2(2-(-3))^2 = 2(2+3) 2 =2· 25=
4. Desarrolla las siguientes igualdades:
a) (a + b)^2 =(a+b) (a+b)=a^2 +ab+ab+b^2 =a^2 +b^2 +2ab b) (a – b)^2 (a+b)^2 =(a+b) (a+b)=a^2 +ab+ab+b^2 =a^2 +b^2 +2ab c) (1 – a) (1 + a)=1-a^2 d) (3 + b)^2 =9+6b+b^2 e) (b + 6) (b – 6)= b^2 - f) (2a – 1)^2 =4^2 -4ª+ g) Comprueba que son identidades cada uno de los apartados anteriores dando diversos valores y viendo que los resultados coinciden.
5. Expresa como potencias o productos las siguientes sumas:
a) x^2 – 1=(x+1)(x-1)
b) x^2 + 4 + 4x=(x+2)^2
c) 49 – 9x^2 =(7-x)(7+x)
d) 9 x^2 – 6x + 1=(3x-1)^2
e) x^2 – 12x + 36=(x-6)^2
f) x^2 – y^2 =(x-y)(x+y)
6. Resuelve las ecuaciones siguientes:
a) x + 28 = 12 x=12-28=-
b) x – 10 = 12 x=10+12=
c) x + 2 = 8 x=8-2=
d) 5 –x = 3 5-3=x=
e) 9 –x = 0 9=x
f) x + 5 = 81 x=81-5=
g) 8 –x = 1 8-1=x=
7. Resuelve estas ecuaciones:
a) 3 x = 6 x=6/3=
b) 5 x = 25 x=25/5=
c) 9 x = 99 x=99/9=
d) 2 x = 64 x=64/2=
e) 2 x = 5 x=5/
f) 6 x = 1 x=1/
g) 7 x = 3 x=3/
h) 12 x = 21 x=21/12=7/
8. Halla el valor de la incógnita en cada ecuación:
a) 3 x – 6 = 0 3x=6 x=6/3=
b) 5s – 4 = 16 5s=16+4 5s=20 s=
c) 7 y + 5 = 33 7y=33-5=28 y=28/7=
b) = x = = = x
+ = + x+ = ·(x+ )x+ = +
3 15 3x 12 2x 12 / 2 6
x 5 3 3 5 3 3x 15 3
x 3
− − − − −
c)
x - 1 − 5 =^3 x −^1 =^ −^15 x =^1 −^15 =^ −^14
d) 2x 2x 10 - 6 4x 4 1
x- 5 2x 6 -2x- 5 2x 6 -2x 10 2
2x 6
+ = = x =
13. Resuelve las ecuaciones:
a)
x 4 +^
3 =^
12 MCM^ 4,3^ ,^12 =^12
12 ^ x 4 + (^) 32 =^35 12 3x 8 = 35 3x= 35 − 8 = 27 x = 27 / 3 = 9
b)
+ = x x = x = x
3x+ =2x- x+ = x
3x+ =2x-
+ = x x = = = x
x+ = x
+ + = x
(x+ ) (x )= (x )
=x-^5 - 1) 10
(x+^3 - x-^3
MCM( )=
=x-^5 - 1 10
x+ (^3) - x- 3
27 90 10 117 9x 117 / 9 13
5x 15 4x 12 10 50 40
c)
x =
x + x= x
x ( x)=( x )
-^95 - 10x=10x-^55
= x =
d)^ 10x
e)
5 5x 3 100 410 5x 50
x =
+ = x+ x = x
x+ = x
x+ = x x
( )= x ( + )
MCM( )=
- 5x-^3 =5x-^10 +5x-
15 5x 40 40 5x 15 40 20
3x 5
3x
3x 5
x =
x= + = + x = x
6x= 5x+^40 =5x+^40
5x- x=6x+5x+^40 =6x+5x+^40
5x- 3x+5x =6x+5x+^40 f)
5x 25 5
13 1 8x 26 13 8x 26 1
10 4 6x 9x 3 9x 60 4 30
2 5x 2 6x 3 3x 1 3 3x 20 4 30
3x 1 3
= x =
x+ = + x =
x+ + = + x
( + ) + ( )= ( + ) (x+ )
5x+ (^2) - x+ =3x+ (^20) - x+ (^45)
5x+ (^2) - x-3x- (^1) =3x+ (^20) - x+ (^4) + 5
g)
h)
3x 8x^5 6
3x 8x^10
x x
x x x x x x x x
+ x x + x x
x-^20 3x+ 2 4x- =9x+ 5 -
Juan tiene 13 años Su padre tiene 41 años
23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8. ¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el padre el doble de la edad del hijo?
X := años que tienen que pasar Pasado Presente Futuro Hijo 8 8+x Padre 30 30+x
(30+x)=2(x+8) 30+x=2x+16 30-16=2x-x 14=x dentro de 14 años el padre tendrá el doble que el hijo.
24. Un profesor tiene 42 años y su alumno 12. ¿Cuántos años faltan para que la edad del profesor sea el triple que la del alumno?
Pasado Presente Futuro Alumno 12 12+x Profesor 42 42+x
42+x=3(12+x) 42+x=36+3x 42-36=3x-x 6=2x 3=x Han de pasar 3 años
25. La edad de una madre es el triple de la de su hijo y, dentro de 16 años, sólo será el doble. ¿Cuántos años tiene cada uno? Pasado Presente Futuro Hijo X X+ Madre 3x 3x+
3x+16=2(x+16) 3x+16=2x+32 3x-2x=32-16 x= Hijo 16 años Madre 3·16=48 años
26. Un padre tiene 48 años y su hijo 25. Averigua cuántos años han de transcurrir para que la edad del padre sea doble que la del hijo.
X :=años que han de trascurrir Pasado Presente Futuro Hijo 25 25+x Padre 48 48+x
48+x=2(25+x) 48+x=50+2x -2=x Ninguno fue hace dos años
27. Juan le preguntó a María cuántos años tenía, y ésta le respondió: “El doble de los años que tenía hace quince años más los que tengo ahora, es el triple de los que tenía hace diez años”. ¿Cuántos años tiene María?
Pasado hace 15 Pasado hace 10 Presente María x-15 x-10 X
2·( x-15)+x=3·(x-10)
2x- 30 +x=3x- 30 3x=3x x=x
28. Una madre tiene el triple de edad que su hija. Si la madre tuviera treinta años menos y la hija 8 años más, tendrían la misma edad. ¿Qué edades tienen ahora la madre y la hija?
Pasado Presente Futuro Hija x X+ Madre 3x-30 3x
3x-30=x+8 2x=38 x=19 madre 57
29. La base de un rectángulo es 3 cm mayor que la altura. Si aumentamos en 2 cm tanto la base como la altura del rectángulo, su área aumenta en 26 cm^2. ¿Cuáles son las dimensiones del rectángulo inicial?
a a+ a+ a+ (a+5)(a+2)-(a+3)·a=
a^2 +5·a+2·a+10-a^2 -3·a=
4 a=16 a=4 El rectangulo original tine 4x7 cm.
30. Si aumentamos en 3 cm el lado de un cuadrado obtenemos otro cuadrado con 51 cm^2 más de área. ¿Cuánto mide el lado del primer cuadrado?
a a+
a a+
34. Tengo una habitación cuadrada. Para ampliarla corro el tabique un metro, con lo que obtengo una
(^2) +x-x (^2) =4 x= ngulo son 5 , 4
5. El área de un rectángulo aumenta en 185 cm^2 cuando la base y la altura vienen aumentadas en 5
X x+
+5)(3x+5)- 3x =185 3x
habitación rectangular cuya superficie ha aumentado 4 m^2. Calcula los lados de la nueva habitación.
x X x+ Área grande x(x+1) Área Pequeña x^2 X(x+1)-x^2 =4 x Luego las dimensiones del nuevo rectña
3 cm cada una. Halla las dimensiones del rectángulo sabiendo que la primera es el triple de la segunda.
3x 3x+ Área del grande (x+5)(3x+5) Área del pequeño 3x^2
(x 2 2 +5x+15x+25-3x^2 =185 20x=185-25=160 x=160/20=8cm
uego el rectángulo será 8 y 24 cm respectivamente
6. La longitud de la base de un rectángulo es 4 m mayor que la longitud de su altura. Si la longitud
X x+
(x^2 +3x+6x+18)-(x^2 +4x)=
L
de la base aumenta en 2 cm y la altura en 3 cm, el área aumenta en 58 cm^2. Halla las dimensiones del rectángulo
X+
X+
Área del grande (x+6)(x+3) Área del pequeño x(x+4) (x+6)(x+3) - x(x+4)=
(x^2 +3x+6x+18-x^2 -4x)= 5x+18=58 5x=40 x= 12 m.
7. Dos fuentes abiertas simultáneamente llenan un depósito en 3 horas. Una de ellas, en solitario,
Luego el rectángulo tenía 8 y
3 lo llenaría en 4 horas. ¿Cuántas horas tardaría la segunda en llenarlo ella sola?
12
x x
=12 horas
8. Dos hombres tardan 5 horas en levantar una pequeña tapia de ladrillo. Uno de ellos, que trabaja
9. Un depósito se llena con un grifo en 2 horas y, con otro, en tres horas. Averigua el tiempo que
0. Un obrero ha empleado 25 días en la realización de un trabajo. Si hubiera dedicado dos horas
25x 5x=40 x=8 h.
1. Un depósito se llena con un grifo en 4 horas; con otro tarda en llenarse 6 horas, y se vacía por
2. Dos personas, A y B, que distan entre sí 45 km, empiezan a caminar por la misma carretera pero
43. Dos ciclistas, A y B, se dirigen al mismo punto y salen también del mismo punto. La velocidad
km/h. El ciclista B sale 2 horas más tarde que A y lo alcanza en el momento de llegar ambos al
44. de 14 km/h y s si
5. A las 10h 45 m sale un avión de Madrid hacia Nueva York, siendo su velocidad de crucero de e
46. a un precio de 1’1 euros/l. El comerciante sólo dispone de vino a 1’2 euros/l, así que decide echarle agua hasta obtener una mezcla del precio pedido. ¿Cómo debe hacerse la mezcla si suponemos que el agua es gratis?
x
3 más que el otro, lo haría él solo en 6 horas. ¿Cuánto tiempo tardaría el segundo trabajando en solitario?
3 tarda en llenarse el depósito si se abren los dos grifos a la vez.
4 más por día hubiera terminado en 20 días. ¿Durante cuántas horas trabajó diariamente? =20(x+2) 25x=20x+
4 un desagüe en 3 horas. Halla el tiempo que tarda en llenarse estando abiertos los tres.
4 en sentido contrario. La primera (A) con velocidad de 5 km/h y la segunda (B) con velocidad de 4 km/h. ¿Cuándo y dónde se encontrarán?
de A es de 30 km/h y la de B es de 37’
punto de cita. ¿Cuánto tiempo ha empleado B y qué distancia ha recorrido? Una persona va de una población a otra en un tranvía que lleva una velocidad regresa andando con una velocidad de 4 km/h. ¿Qué distancia hay entre las dos poblacione tarda seis horas en ir y volver?
4 1.000 km/h. A la misma hora sale de Nueva York un reactor hacia Madrid con una velocidad d 800 km/h. ¿A qué distancia de Madrid y a qué hora se cruzarán ambos aviones? (La distancia de Nueva York a Madrid es de 7.800 km) A un vinatero le encargaron 60 l de vino
18. Halla tres números consecutivos que
sumen 663. ¿Existirán tres números pares
consecutivos que sumen 663?
X=1º número
X+1=2º
X+2=3º
X+x+1+x+2=
3x+3=663 3x=663-3 3x=
x=660/3=220 220,221,
2 apto. No porque tres pares suman un
número par.
17. Tres números pares consecutivos suman
- ¿De qué números se trata?
X
X+
X+
X+x+2+x+4=
3x+6=150 3x=150-6=
x=144/3=
48,50,
20. Si al doble de un número le sumamos 5
obtenemos su triple. ¿De qué número
hablamos?
X=número
2x =el doble
3x=el triple
+2x+5=3x 5=3x-2x 5=x
Problemas de edades
23. Un padre tiene 30 años y su hijo, 8.
¿Dentro de cuánto tiempo tendrá el padre
el doble de la edad del hijo?
X=años que han de pasar
22. Juan tiene 28 años menos que su padre.
Dentro de 15 años, la edad de éste será el
doble de la de Juan. ¿Cuál es la edad de
cada uno?
X=edad de juan
Juan Padre
Pasado
Presente x X+
Futuro X+15 X+28+
X+28+15=2(x+15)
X+43=2x+
43-30=2x-x 13=x padre=
28 56
- Un profesor tiene 42 años y su alumno
- ¿Cuántos años faltan para que la edad del
profesor sea el triple que la del alumno?
X=años que faltan
(42+x)=3*(12+x)
Profe Triple Alumno
En el futuro
42+x=36+3x 42-36=3x-x
6=2x 6/2= x=3 Faltan 3
años
25. La edad de una madre es el triple de la
de su hijo y dentro de 16 años, sólo será el
doble. ¿Cuántos años tiene cada uno?
X=edad del hijo.
3x=edad madre.
