MODELO DE EXAME
(O/A estudante debe responder soamente as preguntas dunha das opcións. A puntuación máxima por preguntas é a
seguinte: 1.ª pregunta: 2 puntos; 2.ª pregunta: 3 puntos; 3.ª pregunta: 3 puntos; 4.ª pregunta: 2 puntos).
OPCIÓN A
1. Dá resposta aos apartados seguintes:
a) Se 𝐴 é unha matriz cadrada invertible, despexa a matriz 𝑋 na ecuación 𝐴𝑋𝐴−1 = 2𝐵𝐴−1 −𝐼.
b) Se 𝐴=�1 2
2 3� e 𝐵=�1 1
2 1�, calcula a matriz 𝑋 que cumpre 𝐴𝑋𝐴−1 = 2𝐵𝐴−1 −𝐼.
2. Pídese:
a) Estudar a continuidade en 𝑥= 1 (se é descontinua, clasificar a descontinuidade) e determinar
os intervalos de crecemento e de decrecemento da función 𝑓(𝑥)=𝑥2
𝑥2−1.
b) Dada a función 𝑔(𝑥)=𝑥ln 𝑥, calcular a ecuación da recta tanxente á gráfica de 𝑔(𝑥) que é
paralela ao eixe de abscisas.
c) Debuxar a rexión encerrada polas rectas 𝑦=𝑥, 𝑦= 2𝑥 e a parábola 𝑦=𝑥2, e calcular a súa
área.
3. Dá resposta aos apartados seguintes:
a) Estuda a posición relativa da recta 𝑟:�𝑥 − 2𝑦 − 1 = 0,
𝑦+𝑧= 0 e a recta 𝑠 que
pasa polos puntos 𝑃(0,1,3) e 𝑄(2,2,2).
b) Calcula a ecuación implícita do plano que contén as rectas 𝑟 e 𝑠.
c) Determina a ecuación implícita do plano perpendicular á recta 𝑟 e que pasa pola orixe de
coordenadas.
4. Sexan 𝐴 e 𝐵 dous sucesos do mesmo espazo mostral, con 𝑃(𝐴)=2
5, 𝑃(𝐴∪𝐵
�)=14
15 e 𝑃(𝐴∪𝐵)=2
3.
Pídese:
a) Calcular 𝑃(𝐵) e 𝑃(𝐴∩𝐵
�).
b) Calcular 𝑃(𝐵|𝐴). Son independentes os sucesos 𝐴 e 𝐵? Xustifica a resposta.
OPCIÓN B
1. Dá resposta aos apartados seguintes:
a) Discute, segundo os valores do parámetro 𝑎, o seguinte sistema:�2𝑥 − 𝑦 + 2𝑧=𝑎,
2𝑥+ 2𝑧= 0,
𝑥+𝑦+𝑧=𝑎.
b) Resólveo, se é posible, no caso en que 𝑎= 0.
2. Dá resposta aos apartados seguintes:
a) Enuncia o teorema de Rolle. Cumpre a función 𝑓(𝑥)=𝑥2|𝑥| as hipóteses do teorema de Rolle
no intervalo [−1,1]? Xustifica a resposta.
b) Dada a función 𝑔(𝑥)= e𝑥(𝑥2−4𝑥+𝑐), determina o valor de 𝑐 que fai que 𝑔 teña un único
punto crítico. Para 𝑐= 5, calcula os puntos críticos de 𝑔 e determina se neles a función
presenta extremos relativos ou puntos de inflexión.
c) Calcula o valor da integral definida ∫𝑥+3
√𝑥+2 d𝑥
2
0.
3. Dá resposta aos apartados seguintes:
a) Determina o valor de 𝜆 que fai que os puntos 𝑂(0,0,0), 𝑃(1,1,0), 𝑄(0,1,1) e 𝑅(1, 𝜆, 1) sexan
coplanarios, e obtén a ecuación implícita do plano que os contén.
b) Estuda a posición relativa dos planos 𝜋1:𝑥−𝑦+𝑧= 0 e 𝜋2:𝑥+𝑦−𝑧= 2. En caso de que se
corten, calcula o ángulo que forman.
c) Determina as ecuacións paramétricas da recta que pasa polo punto 𝐴(3,2,1) e non corta a
ningún dos planos 𝜋1 e 𝜋2.
4. Dá resposta aos apartados seguintes:
a) Ana e Luís comparten coche para desprazarse ao seu lugar de traballo. Ana conduce o 40%
dos días e Luís o resto. Cando conduce Ana, chegan tarde ao traballo o 5% dos días, e cando
conduce Luís chegan tarde o 8% dos días. Calcular a probabilidade de que un día elixido ao
azar cheguen tarde ao traballo. Se certo día chegan tarde, calcular a probabilidade de que
ese día conducira Ana.
b) As cualificacións dos aspirantes presentados a un exame para contratación laboral
distribúense normalmente con media 5.5 e desviación típica 2. Que porcentaxe de aspirantes
obtivo cualificacións comprendidas entre 5 e 7.5 puntos?
