¡Descarga Resolución de triángulos: ejercicios y teoremas y más Apuntes en PDF de Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II solo en Docsity!
Unidad 2: Resolución de triángulos
Ejercicio 1
En las siguientes figuras, calcula las medidas de los segmentos desconocidos indicados
por letras (ambos triángulos son rectángulos en A ):
Por el teorema del cateto:
2
16 '5 cm 7 '5 cm a (^) ; a 36'3 cm
n a m ; n^ 28'8 cm
Por el teorema del altura:
2 h 7 '5 cm 28'8 cm ; h^ 14 '7 cm
Por el teorema del cateto:
2 c 28'8 cm 36 '3 cm ; c 32 '33 cm
Por el teorema del cateto:
2
70 cm 50 cm a (^) ; a 98 cm
m 48 cm
Por el teorema del cateto:
2 b 48 cm 98 cm ; b^ 68'59 cm
Ejercicio 2
Un triángulo rectángulo tiene por catetos 3 cm y 4 cm. Halla la hipotenusa, las
proyecciones y la altura sobre la hipotenusa:
La hipotenusa, a , se obtiene por Pitágoras:
a 5 cm (Es una terna pitagórica)
Por el teorema del cateto:
2
3 cm m 5 cm ; m^ 1'8 cm
2
4 cm n 5 cm ; n 3'2 cm
Por el teorema de la altura:
2 h 1'8 cm 3'2 cm ; h^ 2'4 cm
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 16
cm y 25 cm. Calcula la hipotenusa, la altura sobre la hipotenusa y los catetos:
Hipotenusa: m^ ^ n^ ^41 cm
Por el Teorema de la altura:
2 h m n ; h 20 cm
Por el Teorema del cateto:
Cateto pequeño:
2 a 16 41; a 25 '61 cm
Cateto grande:
2 b 25 41; b 32 '02 cm
Ejercicio 4
Una circunferencia tiene 50 cm de radio. Una cuerda perpendicular al diámetro lo divide
en dos segmentos, uno de los cuales (el más alejado del centro) mide 20 cm. Calcula la
medida de la cuerda.
Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de una circunferencia
La resolución de este ejercicio es muy sencilla. Lo complicado está en entender qué se
pide.
La longitud de la cuerda es 2x. EL valor de la incógnita forma parte de una terna
pitagórica. La cuerda mide: 40 cm 40 cm 80 cm
Ejercicio 5
Demuestra estos teoremas utilizando tus conocimientos de álgebra y el teorema de
Pitágoras:
2 2 2
a h c m ;
2 2 2 2 2 a b m c 2 cm m ;
2 2 2 a b c 2 cm
2 2 2
a h c m ;
2 2 2 2 2 a b m c 2 cm m ;
2 2 2 a b c 2 cm
Completa:
Datos Teorema...
Para triángulos rectángulos:
Dos de los tres lados
de Pitágoras y razones
trigonométricas
Ambas proyecciones sobre la hipotenusa de la altura o del cateto
Proyección e hipotenusa del cateto
Un lado y un ángulo agudo cualquiera razones trigonométricas
Lado y su proyección del cateto
Altura sobre la hipotenusa y una proyección de la altura
Hipotenusa y un lado
de Pitágoras o razones
trigonométricas
Para triángulos cualesquiera:
Dos lados y el ángulo que forman del coseno
Dos lados y un ángulo opuesto a uno de los lados del seno
Dos lados y la proyección de uno sobre el otro generalizado de Pitágoras
Dos ángulos y un lado del seno
Tres lados del coseno
Ejercicio 11
Resuelve el triángulo del que se conoce a^ ^20 m ,
B 45 ,
C 30º:
A 180º 45º 30º ; A 105º
Teorema del seno:
sen105º sen 30º
m c
(^) ;
sen 30º
20
sen105º
c m
c 10'35 m
sen105º sen 45º
m b
(^) ;
sen 45º
20
sen105º
b m ;
b 14 '64 m
En un triángulo se conocen los lados a^ ^2 cm , c^ ^2 3 cm y el ángulo
C 60º.
Calcula el ángulo
A y el lado b :
Una primera dificultad es construir el triángulo que se
indica.
Teorema del seno:
sen sen 60º
A
cm
sen sen 60º
cm
A
cm
;
A 30º
B 180º 60º 30º ; B 90º; Se trata de un triángulo rectángulo.
cos 60º ; ; 4
cos 60º
cm cm
b b cm
b
Ejercicio 13
Uno de los lados de un triángulo es el doble que el otro, y el ángulo comprendido es de
60º. Calcula los otros dos ángulos: (Pista: piensa en un objeto de uso común que tiene esas
características)
Por construcción, observamos que el triángulo debe ser rectángulo, pero
necesitamos realizar otras demostraciones para estar seguros. Como no
sabemos a ciencia cierta que se trate de un triángulo rectángulo, aplicaremos el
Teorema de coseno, siendo x el otro cateto:
2 2 2 x 2 l l 2 2 l l cos 60º; teniendo en cuenta que el coseno de 60º es
1/5, tenemos:
2 2 2 2 2 x 4 l l 2 l 3 l ; por tanto x l 3. Ahora aplicamos
el Teorema del Seno para averiguar el ángulo opuesto al lado mayor, que llamaremos :
sen sen
l (^) l
; se despeja sen^ ^ ;
l
sen
l
l
l 3
; es decir, 90º
Se trata de un cartabón: el ángulo que falta es el de 30º
Ejercicio 14
En un triángulo ABC, calcula el valor de la proyección del lado b^ ^4 cm sobre el lado
c 8 cm. El tercer lado mide a 6 cm. Dibújalo a escala 1:1.
Teorema generalizado de Pitágoras:
2 2 2 a b c 2 cm ;
2 2 2
b c a
m
c
m 2'75 cm
En el ejercicio 10 hemos dicho que, con sólo tres datos y con los teoremas del seno y el
coseno, se puede averiguar el resto de elementos de cualquier triángulo. ¿Cuántos datos
se necesitarán para el caso de los triángulos rectángulos?
2 datos: un ángulo agudo y un lado, o bien, dos lados.
Ejercicio 18
En un triángulo rectángulo, las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa miden 8
cm y 4’5 cm. Calcula la medida de los catetos y el área del triángulo (no utilices el
teorema de Pitágoras):
c m n 12'5 cm ;
Teorema del cateto:
2 2 a m c 56' 25 cm
a 7 '5 cm
2 2 b n c 100 cm ; b 10 cm ; para el cálculo del área, utilizaremos los catetos
calculados:
Base h a b
Área
2 Área 37 '5 cm
Ejercicio 19
En un triángulo isósceles, el ángulo desigual es de 32º y el perímetro es 100 cm. Halla
sus tres lados.
La suma de los ángulos de un triángulo es 180º:
Sistema de ecuaciones:
cos 74º cos 74º
x y y x
y y
x x
100 2 x 2 x cos 74º; 100 ^2 x^ ^ cos 74º^ ^2 x^ ^2 x cos 74º^ ^1 ;
2 cos 74º 1
x
; x^ ^ 39' 2 cm ; y^ 21'61 cm
Calcula el área de un trapecio isósceles sabiendo que sus lados iguales miden 30 cm
cada uno, que la base mayor mide 70 cm y que el ángulo que forma dicha base con cada
uno de los lados iguales es de 33º. (Sin Pitágoras).
(área del trapecio: h
B b A
2
( ) ) Usamos razones trigonométricas:
sen 33º
h
; h^ ^ 30 sen 33º
cos33º
x
; x^ ^ 30 cos33º
70 b 2 x ; b 70 2 x 70 2 30 cos33º
Área del trapecio:
70 70 2 30 cos 33º
30 sen 33º 140 60 cos 33º 15 sen 33º
2
A
2 A 732 '65 cm
Ejercicio 21
Calcula x:
La incógnita está situada en un triángulo con
pocos datos. Tan solo con un ángulo y un lado
conocidos, en un triángulo no rectángulo, no es
suficiente para averiguar la incógnita. Debemos
apoyarnos en el triángulo inferior para conseguir
disponer de más información.
Conocidos los tres lados del triángulo no
rectángulo inferior, y utilizando el Teorema del coseno, podemos obtener el ángulo α, que
por semejanza, coincide con el ángulo superior perteneciente al triángulo donde está la
incógnita
2 2 2 68 35 42 2 35 42 cos α;
2 2 2 35 42 68
cos
α (^) ;
arccos
α
No nos debe sorprender que de un resultado negativo; los cosenos de ángulos
comprendidos entre 90º y 270º son negativos, y a la vista del dibujo, alfa es claramente
obtuso.
Ya en el triángulo superior, conocidos α y el ángulo de 22º, obtenemos^ ^ :
180º 22º arccos
; Y por último, por el Teorema del seno se calcula x :
96 sen
; 96
sen sen sen
x
x
α α
x 64'95 m
