Ejercicios Resueltos de Matemáticas Universitarias I: Cálculo Diferencial, Ejercicios de Matemáticas

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Ejercicios resueltos

matem´aticas universitarias I

Genaro Luna Carreto 1

Octubre 2016

(^1) Profesor de la Benem´erita Universidad Aut´onoma de Puebla, M´exico.

OBJETIVO

La finalidad de ´esta trabajo es resolver problemas que han salido en ex´amenes departamentales de c´alculo diferencial (matem´aticas universitarias I). Servir´an como gu´ıa en la preparaci´on de dicho examen.

Problema 1. Analice la siguiente funci´on, diga si f es continua en todo R. En caso que sea discontinua, diga d´onde y explique si se trata de una discontinuidad esencial o removible

f (x) =

x + 2 x^2 − x − 6

Soluci´on 1. Se trata del cociente entre una funci´on lineal y una cuadr´atica. Evidentemente, por separado, ambas son continuas en todo punto. El ´unico riesgo para la funci´on f , es exactamente cuando la cuadr´atica es cero, es decir x^2 − x − 6 = 0. Si uitliza la f´ormula general, obtendr´a que x^2 − x − 6 = 0, si x = −2 y x = 3. Entonces, la funci´on f , es discontinua s´olo en dos puntos x = −2 y x = 3, pues no est´a definida en ellos. Ahora, identifiquemos que tipo de discontinuidad es.

Calculemos l´ım x→− 2

x + 2 x^2 − x − 6

y l´ım x→ 3

x + 2 x^2 − x − 6

Todo se tornar´a m´as simple si observamos que x^2 − x − 6 = (x + 2)(x − 3):

l´ım x→− 2

x + 2 x^2 − x − 6

= l´ım x→− 2

x + 2 (x + 2)(x − 3)

= l´ım x→− 2

x − 3

Problema 2. Sea

f (x) =

cx^2 + 2x x < 2 x^3 + cx x ≥ 2 ¿Para que valor de c la funci´on f es continua?

Soluci´on 2. La funci´on se encuentra definida en dos partes. En valores an- teriores a 2, la funci´on es cx^2 + 2x, que en general, es un par´abola. Es bien sabido que las par´abolas son continuas en todo su dominio, en particular, en el intervalo x < 2.

Para valores mayores o iguales a 2, la funci´on es x^3 + cx, es decir, una funci´on polin´omica, cuya continuidad en todo su dominio es conocida.

De manera que, el ´unico punto en duda, es precisamente en el n´umero

2. Trabajemos entonces en la continuidad sobre 2. Recuerde la definici´on de continuidad l´ım x→a f (x) = f (a), que si la escribimos en particular para 2, se

observa as´ı:

l´ım x→ 2 f (x) = f (2)

Tenemos dos tareas: Calcular l´ım x→ 2 f (x) y f (2). Es claro que ambas que-

dar´an en t´erminos de la constante c.

Primero el l´ımite. Resulta que para calular l´ım x→ 2 f (x), es necesario, utilizar

l´ımites laterales, pues la funci´on tiene dos definiciones antes y despu´es del 2.

l´ım x→ 2 +^

f (x) = l´ım x→ 2 +

(x^3 + cx) (12)

= 8 + 2c (13)

Por otro lado

l´ım x→ 2 −^

f (x) = l´ım x→ 2 −

(cx^2 + 2x) (14)

= 4c + 4 (15)

En consecuencia, resultaron dos ecuaciones, que seg´un lo que buscamos, tienen que ser iguales: 8 + 2c = 4c + 4. De donde, c = 2. Por ende, existe un ´unico valor c tal que la igualdad de l´ımites laterales se logra: c = 2. As´ı, l´ım x→ 2 f (x) = 12

Hace falta ver que ocurre con f (2). Se toma la segunda parte de la defi- nici´on de f f (2) = 2^3 + 2c = 8 + 2c.

Con el valor de c = 2, obtenemos que

f (2) = 8 + 2(2) = 8 + 4 = 12

Finalmente, l´ım x→ 2 f (x) = 12 = f (2) = 4

la funci´on es continua en 2, cuando c = 2. As´ı pues, la funci´on f es continua en todo n´umero real, siempre y cuando c = 2.

Problema 3. Calcula los siguientes l´ımites

(a) l´ım x→− 2

x^4 − 16 x(x^3 − 8)

(b) l´ım x→ 2

x^4 − 16 x(x^3 − 8)

Es buen inicio si se sustituyen los datos de la funci´on dada y el l´ımite:

∀ǫ > 0 ∃δ > 0 tal que 0 < |x − 2 | < δ ⇒ | 2 x + 3 − 7 | < ǫ

Es usual, con el fin de visualizar una δ, hacer operaciones y buscar equiva- lencias. As´ı que pondr´e el mismo enunciado varias veces:

∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x − 2 | < δ ⇒ | 2 x − 4 | < ǫ

∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x − 2 | < δ ⇒ 2 |x − 2 | < ǫ

∀ǫ ∃δ tal que 0 < |x − 2 | < δ ⇒ |x − 2 | <

ǫ 2 Este ´´ ultimo es muy importante, nos da cierta luz. Dice que para cada ǫ dada, se requiere obtener una δ tal que

0 < |x − 2 | < δ ⇒ |x − 2 | <

ǫ 2

de donde es claro que δ = ǫ. Lo descrito anteriormente no es la demostraci´on, pero es ´util, pues permite encontrar relaciones, ecuaciones, desigualdades, etc., que indicar´an un camino hacia la demostraci´on. Empecemos la demostraci´on. Sea ǫ > 0. Tomemos δ = 2 ǫ. Si |x − 2 | < δ, se quiere mostrar que | 2 x + 3 − 7 | < ǫ. Veamos:

|x − 2 | <

ǫ 2

2 |x − 2 | < ǫ (21) | 2 x − 4 | < ǫ (22) | 2 x + 3 − 7 | < ǫ (23) (24)

Problema 5. Calcula el siguinte l´ımite

l´ım x→ 1 +

x − 1 x^2 + x − 2

Soluci´on 5. Una de las primeras pruebas a l´ımites de cocientes, es calcular el l´ımite del denominador. Si no es cero, calcular directamente. Si es cero, siempre es ´util una factorizaci´on.

l´ım x→ 1 +

(x^2 + x − 2) = 0

Bueno, pues el l´ımite del denominador dio cero. Ahora veamos si una factorizaci´on ayuda. Se factoriza f´acilmente: x^2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1). Sustituyendo

l´ım x→ 1 +

x − 1 x^2 + x − 2

= l´ım x→ 1 +

x − 1 (x + 2)(x − 1)

= l´ım x→ 1 +

x + 2

Al parecer es suficiente con la simplificaci´on, pues ahora el l´ımite del deno- minador ya no es cero

l´ım x→ 1 +

x + 2

Problema 6. Calcule el siguiente l´ımite

l´ım x→ 0

tan^2 x x En este caso conviene escribir la tangente en t´erminos de senos y cosenos

Soluci´on 6.

l´ım x→ 0

tan^2 x x

= l´ım x→ 0

sin^2 x cos^2 x x

= l´ım x→ 0

sin^2 x x cos^2 x

= l´ım x→ 0

sin^2 x x cos^2 x

= l´ım x→ 0

[

sin x x

· sin x ·

cos^2 x

]

Es notable que el l´ımite qued´o escrito como un producto de tres funciones. Cada l´ımite por separado existe:

l´ım x→ 0

sin x x

= 1 , l´ım x→ 0

sin x = 0 , l´ım x→ 0

cos^2 x

Esto implica que el l´ımite del producto tambien existe y es el producto de los l´ımites:

l´ım x→ 0

tan^2 x x

== l´ım x→ 0

[

sin x x

· sin x ·

cos^2 x

]

Soluci´on 8. El problema debe contener una explicaci´on semejante al ejer- cicio anterior, asi que se sugiere leerlo. Por otro lado, el ´unico problema de continuidad se encuentra en el n´umero 1. Calculemos los l´ımites laterales

l´ım x→ 1 +^

f (x) = l´ım x→ 1 +^

x^2 = 1 (34)

(35)

l´ım x→ 1 −^

f (x) = l´ım x→ 1 −

(− 2 x + 3) = 1 (36)

(37)

Los l´ımites laterales existen y son iguales, por ende el l´ımite total l´ımx→ 1 f (x) =

1. Tambi´en es f´acil obtener que f (1) = 1. Finalmente, la funci´on es continua en todo n´umero real