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Actividad de aprendizaje
Para el domingo 24 de mayo
Redacta, un Resumen sobre sistemas de ecuaciones lineales y matrices
integrando dos ejemplos de cada uno de ellos. Posteriormente, resuelve dos
con metodología de substitución y/o reducción, y los restantes, utilizando
matrices como herramienta. Para esto último deberás revisar el capítulo 2
correspondiente a “matrices” del libro Álgebra lineal, de Barrera Mora. Incluso
puedes resolver ejercicios del tema.
https://www.academia.edu/32915155/%C3%81lgebra_lineal_Fernando_Barrera_Mora
Asimismo, te recomiendo consultar el libro Introducción al álgebra lineal de
Mesa Fernando y el vídeo Método de Gauss Jordán, ya que al hacerlo,
comprenderás totalmente como se lleva a cabo la resolución con matrices, así
como el método de Gauss-Jordán, un sistema de ecuaciones simultáneas.
Sistema de ecuaciones lineales
Una ecuación lineal en dos variables representa una recta en el plano cartesiano y un sistema representa una colección de rectas. En el caso de ecuaciones que representan líneas rectas, se busca encontrar las coordenadas de los puntos de intersección. Una solución de un sistema es una asignación de valores para las incógnitas. Resolver un sistema significa hallar todas las soluciones del sistema. Ejemplo 1: Consideremos el sistema x +y = 2x - 3y =- Para este caso su representación en forma de arreglo es: Representado de esta forma el sistema, procederemos a la aplicación sucesiva de las propiedades. Propiedad: Si los miembros de una ecuación se multiplican por un mismo número, el resultado es otra ecuación. Propiedad 2. Si se tienen dos ecuaciones y una de ellas se multiplica por un número y se suma a la otra, el resultado es otra ecuación. Multiplicando la primera fila por -2 y sumando el resultado a la fila dos se obtiene:
Ejemplo 2: Se tienen dos empresas E1 y E2, en cada una se producen los bienes B1 y B2. Supongamos que por cada unidad monetaria que se invierte en las empresas, la producción es como se describe en la tabla. La segunda fila significa que por cada unidad monetaria, la empresa E 1 produce .8 del bien B 1 ; la empresa E 2 produce .6 del mismo bien. Si en las empresas E 1 y E 2 se invierten 20 y 18. millones respectivamente, entonces el valor de los productos en millones es: .8(20) + .6(18.5)= 27.1: valor de B 1 .4(20)+ .7(18.5)= 20.95: valor de B 2 La ganancia es igual al valor de los bienes menos lo que se invirtió en producirlos. Generalizando, si en las empresas E 1 y E 2 se invierten x y pesos respectivamente, y representamos el valor total de los bienes B 1 y B 2 por B 1 y B 2 en aquel mismo orden, entonces se tiene: .8x + .6y= b 1 .4x +.7y= b 2 Si en el sistema anterior los decimales se transforman a cocientes de enteros y se resuelve para y en cada una de las ecuaciones, éstas se pueden representar en forma equivalente mediante el sistema: y =
x + 5 b 1 3 y =
x + 10 b 2 7 Fig. Fig.
E 1 E 2
B 1 .8^.
B 2 .4.
Dado que las inversiones se representan por cantidades no negativas, una manera de formular una es: ¿para qué valores de b 1 y b 2 el sistema tiene soluciones no negativas? En la figura 1 se ha representado al sistema para el caso b 1 = b 2 =1 y se observa que tiene solución positiva. Como los sistemas (1) y (2) son equivalentes, además de que en el segundo “y” está despejada, una forma de resolverlo es igualando las expresiones de “y”; haciendo esto y simplificándola se obtiene el valor de “x y” después el valor de “y”, de manera explícita: Las soluciones se han obtenido en términos de b1 y b2 , los cuales se suponen conocidos. Las condiciones de la pregunta original implican que x, y ≥ 0, es decir, se deben satisfacerlas condiciones: Éste es un sistema de desigualdades en b1 y b2 , el cual equivale a: y se puede representar como:
2.− 4 x + 3 y = 14 Procedemos a la eliminación de x − 4 x − 2 y =− 1 2 4 x + 3 y = 14 y = 2 Procedemos a sustituir y=2 en la ecuación 1 -4x-2(2)=-12 -4x-4=-12 -4x=-12+4 -4x=8 x= 8/-4 x= Entonces x=2 y y=
Matrices
Las matrices aparecen al resolver problemas relacionados con sistemas de ecuaciones lineales. Las matrices serán usadas, para representar y “operar” con información. Esto llevará a considerar a las matrices no solamente relacionadas con sistemas de ecuaciones, sino como un sistema algebraico, lo cual permitirá lograr un entendimiento más profundo de sus propiedades y de lo que pueden representar. Operaciones con matrices Cuando se estudian operaciones con entes que no son números reales es necesario ser cuidadoso; pues el orden de los factores sí puede alterar el producto cuando no se opera con números reales. Suma de matrices Ejemplo 1 Se tienen dos empresas que producen cinco diferentes artículos en común. El valor de la producción se calcula mensualmente y se harán observaciones de la producción durante seis meses. Los valores de los artículos que produce la empresa A en el primer mes los representaremos por a11, a21, a31, a41 y a51; así mismo, los valores de los artículos en el segundo mes se representan por a12, a22, a32, a42 y a52. El primer subíndice se refiere al número de artículo y el segundo especifica el número de mes.
Para obtener la cantidad total de cada producto, simplemente se suman las cantidades del producto correspondiente al mes que se requiere. Transformando las representaciones de las tablas en arreglos se tiene que: Representan la producción de las empresas A y B. Para obtener la producción total de las empresas, por producto y por mes, se suman las correspondientes entradas de los arreglos. Los arreglos rectangulares de m fi las y n columnas le llamaremos matriz de orden m n. Dadas dos matrices A y B de orden m n, se define la suma de A y B, denotada A B C, cuyas entradas son obtenidas de las entradas de A y B sumando entrada a entrada. Producto de matrices
- Existe una matriz en Mmn(R) que denotaremos 0, cuyas entradas son todas cero y satisface, A 0 0 A A, para toda A ∈ Mmn(R); existencia de neutro aditivo.
- Dada la matriz A ∈ Mm×n(R), existe A ∈ ~ Mmn(R) tal que A (~ A) 0. Si las entradas de A son aij, las entradas de ~ A las tomamos como ~ aij. Claramente se cumple aij (~ aij) 0. Existencia de inversos aditivos.
- Si A, B y C son matrices en Mmn(R), entonces (A B) C A (B C). La igualdad se obtiene escribiendo los elementos de (A B) C y haciendo uso de la asociatividad de la suma en los números reales. Asociatividad de la suma. Propiedades del producto de matrices Matrices elementales e inversas Sea una matriz cuadradada de orden n, se definde su matriz inversa como (^) A −^1 como la matriz de orden n que verifica: (^) A −^1 ∗ A = A ∗ A −^1 = I donde I es la matriz identidad de orden n.
∃ A −^1 | A |≠
La inversa de una matriz es única, si existen dos matrices B y C tales que AB BA In AC CA entonces, C CIn CAB (CA)B I nB B, probando que B C. A la inversa de A la denotaremos por (^) A −^1 Ejemplo 2 Consideremos la matriz A partir de A y la identidad I 3 , formemos la matriz
Aplicando operaciones elementales en las fi las de A 1 se obtiene sucesivamente Se concluye que A no tiene inversa, pues la última fila de lo que será R es cero. Se define la transpuesta de A, como la matriz que satisface bij aji para todos i 1, 2, ..., n y j 1, 2, ..., m. Si A es una matriz tal que At A (At A) , diremos que A es simétrica (antisimétrica). Para que una matriz A sea simétrica o antisimétrica es necesario que sea cuadrada. Si A es antisimétrica, entonces los elementos de la diagonal aii son cero. Si A es cualquier matriz cuadrada. Sea R la forma escalonada reducida de A, matriz n x n. Entonces R no tiene fi las cero ⇔ es igual a I (^) n. Aplicaciones Se utilizan en: Administración de la producción: Requirimientos directos, indirectos, totales. Análisis de mercados: Procesos de Márkov (sistema probabilístico para la predicción del comportamiento futuro de un sistema). Contabilidad de costos Relaciones interindustriales: Transacciones, matriz de insumo-producto, matriz de Leontief y su inversa. Análisis sociológico de organizaciones: Teoría de grafos o redes. Resolver sistemas de ecuaciones. Estudiar las aplicaciones lineales entre dos espacios vectoriales mediante la matriz asociada, que nos permite calcular el núcleo y la imagen. Calcular áreas, de un triángulo por ejemplo. Transformaciones varias en el plano: Homotecia, simetría, rotación y traslación. Expresar la ecuación de un giro de ángulo alrededor del eje OZ.
F1−2×F3→F
− 1
Bibliografía
Barrera, F. (2014). Álgebra lineal. D.F, México: Patria. Del Valle, J. (2011). Álgebra Lineal para estudiantes de Ingeniería y Ciencias. Estado de México, México: Mcgraw-Hill / Interamericana De México.
Cuestionario 3 1-. Respuesta “e” método de igualación 2.-Respuesta “e” x=3 y= 3.Respuesta “d” xy=3 (^) x^2 + y^2 = 10 4.-Respuesta “c” El número de columnas de A coincide con el número de columnas de “B” 5.- Respuesta “d” Tiene que ser cuadrada Cuestionario 4 1.-Respuesta: “a”, m es la pendiente y b es la interseccion entre la recta y el eje y 2.-Respuesta “d”, m< 3.-Respuesta “b” Indica que es un parábola abierta hacia abajo 4.-Respuesta “d” indica el punto en el que la parábola corta al eje y 5.-Respuesta “e” Representa los puntos de corte con el eje x Cuestionario 5 1.-Respueste “a” Es aquella función que a cada numero real “x” se le asigna una potencia ax,donde a es diferente a 0.
