Ejercicios de microondas, Apuntes de Ingeniería de Microondas y Acústica

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Análisis de

circuitos de

microondas

Albert-Miquel Sánchez Delgado

PID_

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• Introducción
• Objetivos
• 1. Los parámetros Z e Y , y sus limitaciones
• 2. Parámetros S de una red de microondas
     • ondas de tensión 2.1. Justificación de la caracterización de una red a través de
  • 2.2. Definición de las ondas a y b
  • 2.3. Sentido físico de a y b
  • 2.4. Coeficiente de reflexión generalizado
  • 2.5. Parámetros S generalizados
  • 2.6. Redes pasivas y sin pérdidas
  • 2.7. Redes recíprocas
  • 2.8. Cambio del plano de referencia
  • 2.9. Puntos clave
• 3. Cálculo de los parámetros S
  • 3.1. Cálculo de los parámetros S a partir de tensiones y corrientes
    • modo par/impar 3.2. Cálculo de los parámetros S a partir de la descomposición en
• 4. Relaciones entre parámetros S , Z , Y , T y ABCD
  • 4.1. Parámetros T
  • 4.2. Parámetros ABCD
    • de N puertos 4.3. Relación entre matrices de parámetros S , Z e Y para una red
  • 4.4. Relación entre parámetros S , T y ABCD para una red de
    • puertos
• 5. Analizadores de redes
• Resumen
• Ejercicios de autoevaluación
• Solucionario
• Glosario
• Bibliografía

Introducción

En circuitos donde las medidas de las pistas, componentes e integrados son pequeñas en relación con la longitud de onda de trabajo, se suelen utilizar los parámetros Z o Y (de impedancia y de admitancia respectivamente) para modelizar su comportamiento. No obstante, a las frecuencias de microondas (entre 300 MHz y 300 GHz), las longitudes de los circuitos empiezan a ser comparables a las longitudes de onda de trabajo y aparecen los efectos de pro- pagación. Las pistas se convierten en líneas de transmisión (de ahora en ade- lante, LT), y, en consecuencia, la medida de este tipo de parámetros deviene complicada. El motivo principal es que para poder medirlos con precisión, se necesita utilizar cortocircuitos o circuitos abiertos perfectos, pero los efectos de propagación hacen que un cortocircuito deje de ser un cortocircuito y un circuito abierto deje de ser un circuito abierto. Bajo estas condiciones son de más utilidad otro tipo de parámetros, los parámetros S , que, en vez de rela- cionar tensiones con corrientes, relacionan ondas de tensión incidentes con ondas de tensión reflejadas y/o transmitidas. Su principal ventaja es que para medirlos solo se necesitan impedancias de un cierto valor (que dependerá de la impedancia característica de la línea de transmisión de cada puerto de la red), mucho más fáciles de obtener que los cortocircuitos y los circuitos abiertos. Además, dado que estas redes tienen conectadas LT a sus puertos, los paráme- tros S resultan idóneos para su caracterización, puesto que permiten trabajar directamente con las ondas de tensión que se propagan por su interior y faci- litan así el análisis completo de los circuitos.

Para introducir estos nuevos parámetros, este módulo se ha organizado de la manera siguiente. Primero de todo se presentan los objetivos que hay que lo- grar. En el apartado "Los parámetros Z e Y , y sus limitaciones" se revisan los parámetros Z e Y , y se describen las limitaciones que estos presentan cuando se trabaja a frecuencias de microondas. En el apartado "Parámetros S de una red de microondas" se introducen los parámetros S y se exponen sus ventajas, así como otras características importantes. En el apartado "Cálculo de los paráme- tros S " se muestran dos técnicas para calcular los parámetros S de un circuito, el método de las tensiones y corrientes, y el método de la descomposición en modo par y modo impar. En el apartado "Relaciones entre parámetros S , Z , Y , T y ABCD " se establecen las relaciones entre los diferentes parámetros. Final- mente, en el apartado "Analizadores de redes" se describe el funcionamiento del instrumento utilizado para la medida de los parámetros S , el analizador de redes.

1. Los parámetros Z e Y , y sus limitaciones

Una red￿de￿microondas se define como un circuito de elementos dis- cretos (bobinas, condensadores, resistencias, etc.) y/o distribuidos (LT) accesible a través de sus puertos.

Los puertos se suelen realizar también sobre LT de una cierta impedancia ca- racterística, Z 0 i para i = 1, 2, ..., n , tal y como se muestra en la figura 1.

Figura 1. Red de microondas genérica de n puertos

La caracterización del comportamiento de una red de microondas es impor- tante a la hora de diseñar esta misma red y/o redes adyacentes en un circuito complejo. Existen muchos ejemplos en este sentido, como puede ser la necesi- dad de adaptar dos circuitos para maximizar la transferencia de potencia entre ellos. Conociendo su impedancia y/o admitancia de entrada, se puede cons- truir la red de adaptación adecuada. Por lo tanto, cualquier circuito se puede describir por medio de los parámetros￿de￿impedancia (matriz de parámetros Z ) o de￿admitancia (matriz de parámetros Y ) midiendo la representación fa- sorial de las tensiones y las corrientes en sus puertos. Estas relaciones se esta- blecen respectivamente como:

Estas expresiones las podemos representar también de manera sencilla con una notación matricial:

donde [ V ] e [ I ] son los vectores de tensiones y corrientes respectivamente, y [ Z ] e [ Y ] las matrices de impedancias y admitancias respectivamente:

A frecuencias donde las longitudes de onda son comparables a las medidas del circuito, la medida de las tensiones y corrientes en los puertos de la red deviene un problema, debido a los efectos de propagación de la señal. Para exponerlo con claridad, escenificaremos el ejemplo de una red de solo dos puertos con la misma impedancia característica, Z 0 , como la de la figura 2.

Figura 2. Red de microondas genérica de dos puertos

Figura 4. Medida de los parámetros Z 11 y Z 21 de una red de dos puertos, donde el puerto 2 presenta un circuito abierto

Figura 5. Medida de los parámetros Z 12 y Z 22 de una red de dos puertos, donde el puerto 1 presenta un circuito abierto

El problema es que los efectos de propagación causados por las LT pueden suponer que en los puertos de la red no haya un circuito abierto, sino cualquier otra impedancia imaginaria en función de las longitudes de estas LT ( Z 1 ≠ Z 1 ' y Z 2 ≠ Z 2 '). Además, las tensiones y corrientes que mide el medidor no son V 1 , V 2 , I 1 , I 2 respectivamente, sino V 1 ', V 2 ', I 1 ', I 2 ', también modificadas por los

efectos de propagación. Para encontrar los valores de V 1 , V 2 , I 1 , I 2 se tendría que descomponer V 1 ', V 2 ', I 1 ', I 2 ' en ondas de tensión progresivas y regresivas y analizar las LT.

Análogamente, para los parámetros Y tendríamos:

Y podemos medirlos teniendo en cuenta que:

En este caso, el medidor deberá implementar un cortocircuito en el puerto 2 para la medida de los parámetros Y 11 e Y 21 (para que V 2 = 0), tal y como muestra la figura 6, y un cortocircuito en el puerto 1 para la medida de los parámetros Y 12 e Y 22 (para que V 1 = 0), tal y como muestra la figura 7.

Figura 6. Medida de los parámetros Y 11 e Y 21 de una red de dos puertos, donde el puerto 2 presenta un cortocircuito

Figura 7. Medida de los parámetros Y 12 e Y 22 de una red de dos puertos, donde el puerto 1 presenta un cortocircuito

Por lo tanto, tenemos los mismos problemas que en la medida de los paráme- tros Z. En los puertos de la red no habrá un cortocircuito, sino una impedancia imaginaria que dependerá de la longitud de la LT ( Y 1 ≠ Y 1 ' e Y 2 ≠ Y 2 '), y los

valores de tensión y corriente medidos V 1 ', V 2 ', I 1 ', I 2 ', en lugar de V 1 , V 2 , I 1 , I 2.

Una manera de evitar estos problemas es utilizar dispositivos de sintonización que se deben ajustar para cada frecuencia con el fin de que la red vea en sus puertos un circuito abierto o un cortocircuito (en función de la medida que queramos realizar, Z o Y respectivamente), hecho que representa un trabajo

2. Parámetros S de una red de microondas

Ya se han visto las limitaciones que presenta una medida de parámetros Z o Y a frecuencias de microondas, puesto que los efectos de propagación causa- dos por las LT utilizadas en la medida dificultan la obtención de un resultado minucioso. Para mejorar la caracterización de dispositivos a estas frecuencias necesitamos utilizar un sistema de medida diferente que no se base en tensio- nes y corrientes. Dado que sabemos que en las LT del medidor se propagan ondas progresivas y regresivas de tensión (estas últimas originadas por la re- flexión de la onda progresiva al final de la LT en función de la impedancia de entrada que presente la red de microondas), podríamos intentar utilizarlas para caracterizar la red. Los parámetros que relacionan las ondas de tensión en

los diferentes puertos de la red se denominan parámetros￿S^1 , y en el presente apartado se analizarán con detalle.

Para presentar las características de estos nuevos parámetros de manera estruc- turada, este apartado se ha organizado tal y como se explica a continuación. En el subapartado "Justificación de la caracterización de una red a través de ondas de tensión" se introducen los parámetros S y se justifica su utilización. Para considerar también la propagación de potencia en la red de microondas, se utilizarán las ondas de tensión normalizadas a y b , definidas en los subapar- tados "Definición de las ondas a y b " y "Sentido físico de a y b ", en vez de

las ondas de tensión tradicionales V +^ y V -. La relación de estas ondas nos la dan el coeficiente de reflexión generalizado en el caso de una red de un solo puerto (subapartado "Coeficiente de reflexión generalizado") o los parámetros S generalizados en el caso de una red de n puertos (subapartado "Parámetros S generalizados"). Las propiedades de la matriz de parámetros S que caracterizan redes recíprocas, pasivas y sin pérdidas se describen en los subapartados "Redes pasivas y sin pérdidas" y "Redes recíprocas". En el subapartado "Cambio del plano de referencia" se presenta el cálculo para modificar el plano de referencia de una matriz de parámetros S que describa el comportamiento de una red de microondas. Y, finalmente, en el subapartado "Puntos clave" se hace referencia a los puntos más importantes que hay que tener muy claros de este apartado.

2.1. Justificación de la caracterización de una red a través de ondas de tensión

Para comprobar si utilizar una caracterización a partir de ondas de tensión progresivas y regresivas nos supone alguna ventaja ante los parámetros Z o Y , trataremos de aplicarlo a la red de dos puertos de la figura 2, donde los dos puertos presentan la misma impedancia característica Z 0. El sistema de medida se muestra en la figura 8.

(1)Nomenclatura que proviene de scattering parameters , parámetros de dispersión.

Figura 8. Sistema de medida de ondas de tensión progresivas y regresivas

En este caso deberemos relacionar las ondas de tensión incidentes con las on- das de tensión reflejadas en un puerto y las ondas de tensión incidentes con las ondas de tensión transmitidas al otro puerto. Los parámetros que relacionan estas ondas de tensión los denominamos parámetros S , y para el caso particular de la red de la figura 8, esta relación queda reflejada en la ecuación siguiente:

Para medir cada uno de los diferentes parámetros se deberá cumplir que:

Para conseguir que V 1 +^ = 0 y V 2 +^ = 0, solo hay que conectar una impedancia igual al valor de la impedancia característica de la LT del puerto 1 o 2 respec- tivamente.

La figura 9 lo muestra gráficamente en el caso de una red de un puerto.

Figura 9. Adaptación del puerto de una red de microondas

Ved también Podéis ver la ecuación 2. del apartado "Concepto de adaptación de impedancias" del módulo "Líneas de transmi- sión" de este material didácti- co.

Figura 12. Medida de los parámetros S 12 y S 22 de una red de dos puertos

La ventaja principal es que resulta más fácil implementar una impedancia que presente un valor constante en un cierto margen de frecuencias que un corto- circuito o un circuito abierto, por lo que simplifica mucho la medida. Además, el valor de esta impedancia se refleja directamente en el puerto de la red, pues- to que la onda progresiva de la LT adaptada será 0 en cualquier punto de esta sea cual sea su longitud. Por otro lado, se sigue manteniendo el inconveniente

de que el medidor mide las señales V 1 '-^ y V 2 '-^ en lugar de V 1 -^ y V 2 -^ (que son las que realmente caracterizan la red). Pero en el caso de las ondas de tensión este problema se resuelve fácilmente considerando la longitud de las LT en la fase de los fasores de las ondas de tensión, por lo que la fase del coeficiente de reflexión al inicio (ρ’) y al final (ρ) de las LT varía de manera:

Por lo tanto, una caracterización a partir de ondas de tensión parece mucho más adecuada que a partir de tensiones y corrientes, puesto que los efectos de propagación introducidos por las LT que interconectan la red de microon- das con el medidor quedan compensados de manera sencilla. Además, estos parámetros siguen modelizando completamente el comportamiento de la red igual que hacían los parámetros Z o los parámetros Y. Por este motivo, a fre- cuencias de microondas los parámetros S son más adecuados para caracterizar cualquier tipo de red o dispositivo.

2.2. Definición de las ondas a y b

Acabamos de ver cómo a través de los parámetros S podemos relacionar las ondas de tensión en los diferentes puertos de una red de dos puertos. Concre- tamente, los parámetros de transmisión se habían definido como:

Tenemos, por lo tanto, una relación en términos de ondas de tensión. No obs- tante, esto no nos da información directa sobre la propagación de potencia en el circuito, a menudo mucho más interesante, puesto que no se refleja la impedancia característica de la LT por donde viaja la onda. Este hecho es es- pecialmente importante si las LT de los dos puertos de la red presentan impe- dancias características diferentes. Para encontrar una relación más adecuada en términos de potencia se define un nuevo conjunto de ondas que denomi- naremos ondas￿normalizadas￿de￿tensión :

donde ai representa la onda incidente (normalizada) en el puerto i y bi repre- senta la onda reflejada (normalizada) del puerto i. En el caso de la red de dos puertos, esta vez con diferentes impedancias características en cada puerto, estas ondas normalizadas quedarían reflejadas tal y como se muestra en la fi- gura 13.

Figura 13. Definición de las ondas normalizadas de tensión

Y la ecuación 2.16 quedará modificada como:

que sería equivalente a:

En consecuencia, los parámetros de reflexión quedan como:

Empezamos calculando los parámetros S 11 y S 21 , dado que ambos comparten que a 2 = 0, con:

Por lo tanto, adaptamos el puerto 2 de la LT. El subíndice de cada onda se define según el puerto, tal y como se muestra en la figura 15.

Figura 15. Adaptamos el puerto 2 para el cálculo de los parámetros S 11 y S 21

De 2.21 sabemos que:

Dado que tenemos el puerto 2 adaptado, por fuerza:

Para encontrar b 2 , utilizamos V 2 :

Por lo tanto:

Procedemos ahora con el cálculo de los dos parámetros restantes, S 12 y S 22 , con:

Para que a 1 = 0, hay que adaptar el puerto 1. El circuito restante y la definición de ondas se muestran en la figura 16.

Figura 16. Adaptamos el puerto 1 para el cálculo de los parámetros S 21 y S 22

Se puede observar que el circuito es simétrico al de la figura 15. Por lo tanto, el cálculo de los parámetros es análogo al de las ecuaciones 2.26-2.31. En este caso obtendríamos que:

Unificando los resultados en una única matriz obtenemos:

Este resultado nos dice que una LT desfasa las ondas que circulan del puerto 1 al 2 y/o del 2 al 1 un valor de -β l radianes.

2.3. Sentido físico de a y b

Las ondas a y b en cualquier puerto de una red solo tendrán sentido físico si conectamos una LT (LT del medidor) al puerto de la red con la misma impe- dancia característica que la LT que constituye el puerto (LT del puerto). Por ejemplo, en el caso del puerto i de una red de microondas cualquiera, como se muestra en la figura 17, la impedancia característica de la LT tendría que ser Z 0 i ( Z 0LT = Z 0 i ).

Figura 17. LT conectada a una red de un solo puerto

Siendo ai y bi las ondas normalizadas de tensión presentes en el puerto i de

la red de microondas, y a LT y b LT las ondas normalizadas de tensión presentes en la LT del medidor. Utilizando las ecuaciones 2.17 y 2.22, el valor de estas ondas justo en el puerto es:

Hay que fijarse en que los valores que mide el medidor son aquellos propor- cionados por su LT, es decir, a LT y b LT, y, una vez se compensa de manera ade- cuada esta LT (es decir, se considera el desfase introducido por la LT), obtene- mos el valor de las ondas ai y bi , puesto que justo antes y justo después del puerto a LT = ai y bLT = b i (si y solo si Z 0LT = Z 0 i ). Pero si en el puerto de la red no hay una LT (el puerto i no está constituido por una LT) o la impedancia característica de la LT del puerto i no es la misma que la del puerto (en este