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SECCIÓN 3.
2. Indique al menos tres variables aleatorias discretas y tres variables aleatorias continuas.
Especifique su rango de definición.
Variables aleatorias discretas
Probabilidad de ganar la lotería o perder
0 pierde 1 gana Ran= {0,1}
El número de clientes que ingresas en un almacén
n=total de clientes
Ran= {𝑤
1
2
3
𝑛
El número de visitantes de un parque de diversiones
N=número de visitantes
Ran={𝑤
1
2
3
𝑛
Variables aleatorias continuas
Tiempo que tarda en llegar a la meta en un maratón
t=tiempos que se registraron
Ran={𝑤
1
2
3
𝑡
Estatura de los niños de una clase de primaria
n=estatura de los niños de la clase
Ran={𝑤
1
2
3
𝑛
Masa de la comida chatarra consumida mensualmente
n=número de medidas posibles
Ran={𝑤
1
2
3
𝑛
4. Determine la función de distribución de la variable aleatoria X que está definida por la ley
que se presenta en la tabla.
X - 2 0
p 1/4 2/3 1/
6. Una agencia automotriz recibe un embarque de 20 automóviles nuevos; entre éstos, 2
tienen defectos. La agencia debe seleccionar, aleatoriamente, 3 automóviles de entre los 20
para venderlos. Forme la ley de distribución de la variable aleatoria <<número de carros
defectuosos entre los escogidos>>.
X 0 1 2
p 68/95 51/190 3/
8. Un apuesto príncipe visita a un rey que tiene cuatro hijas casaderas, con la intención de
integrarse en la familia. Las probabilidades que tiene el príncipe de ser aceptado por cada una
de las princesas son 0.6, 0.8, 0.2 y 0.4. El príncipe pide la mano de cada una de ellas de forma
consecutiva y se casa con la primera que acepte. Sea X la variable aleatoria definida como X =
i si se casa con la i-ésima hija (i - 1, ...,4) y X=0 si todas le rechazan. Calcule la ley de probabilidad
de X y su función de distribución.
X 0 1 2 3 4
p 0.384 0.6 0.32 0.016 0.
10. Sea X una variable aleatoria discreta cuya función de probabilidad es 𝒑
𝒌
𝒙
𝟐
a) Encuentre el valor de k para que la función p(x) sea la función de probabilidad de X
2
5
𝑘= 1
b) Calcule Pr( 1 < 𝑋 ≤ 4 )
Pr
= F
− F
5125
5269
3600
5269
1525
5269
12. Una probabilidad aleatoria X se dice que sigue la ley de Benford si se cumple que
Pr(𝑋 = 𝑘) = 𝑙𝑜𝑔
10
a) Verifique que es una función de probabilidad
10
9
𝐾= 1
b) Calcule la probabilidad de obtener números impares
10
5
𝐾= 1
c) Grafique la función de Probabilidad
b) Pr( 2 < 𝑋 ≤ 4 )
c) Pr( 0 < 𝑋 < 3 )
= 𝐹( 3 ) − 𝐹( 0 ) − Pr(𝑋 = 3 ) = 1 / 4
d) Pr( 4 ≤ 𝑋 < 6 )
18. La función de densidad de una variable aleatoria X está definida mediante
3 sin 3 𝑥 , 𝑠𝑖
a) Halle la función de distribución F
Basta con integrar, de donde tenemos que
− cos 3 𝑥 , 𝑠𝑖
b) Determine:Pr(X = 0. 2 ), Pr(X ≤ π/ 4 ), Pr(X > π/ 3 ), Pr(π/ 12 ≤ X ≤ π)
Pr(X = 0. 2 ) = 0
Pr (X ≤
π
) = − cos (
Pr (X >
π
) = 1 − Pr (𝑥 ≤
Pr (
π
12
≤ X ≤ π) = 1 + 0 = 1
20. Considere una variable aleatoria continua Z con densidad de probabilidad
𝑏
[
]
0 , 𝑠𝑖 𝑧 ∉ [ 0 , 𝑎]
a) Calcule los valores de los parámetros a y b sabiendo que Pr (𝑍 ≤
1
2
1
8
0
−∞
𝑏
𝑧
0
𝑏+ 1
𝑏+ 1
𝑏+ 1
3
b) Encuentre la función de distribución de Z
3
, 𝑠𝑖 𝑧 ∈ [ 0 , 1 ]
22. Una variable aleatoria X tiene por función de distribución a
a) Determine los valores de a y b
2
− 2
𝑥
− 2
b) Encuentre la densidad f
0 , 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [− 2 , 2 ]
, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [− 2 , 2 ]
c) Halle: Pr
, Pr
, Pr(|𝑋| > 1. 2 )
24. Los registros de ventas diarias de una empresa que comercializa computadoras muestran
que venderán 0, 1 o 2 computadoras de acuerdo con la siguiente tabla:
Nº de ventas 0 1 2
Probabilidad 0.7 0.2 0.
a) Determine la distribución de probabilidad de x, el número de ventas
b) Calcule la probabilidad de que al menos se realice una venta en el día
Pr(𝑥 ≥ 1 ) = 1 − Pr(𝑋 < 1 ) = 1 − 0. 7 = 0. 3
b) Si la planta muere si recibe más de 6 gramos. ¿Cuál es la probabilidad de que muera por
exceso de fertilizante?
Pr(𝑥 > 6 ) = 1 − Pr(𝑥 ≤ 6 ) = 1 − ∫
6
0
c) Si se tratara de establecer una norma para la cantidad de fertilizante utilizada, ¿Cuál es la
cantidad máxima recomendada utilizar para que solo se sobrepase esta cantidad el 35 % de las
veces?
Pr(𝑋 ≤ 𝑎) = 0. 65
𝑎
0
2
3
30. Una variable aleatoria X tiene densidad
1 , 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [ 0 , 1 ]
0 , 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [ 0 , 1 ]
a) Si 𝑌 = 𝑋
2
, halle la función de distribución de Y
2
𝑥, 𝑠𝑖 𝑧 ∈ [ 0 , 1 ]
2
𝑦
𝑦, 𝑠𝑖 𝑦 ∈ [ 0 , 1 ]
b) Calcule las probabilidades: Pr (
1
16
2
1
9
) y Pr (
1
8
5
6
Pr (
2
Pr (
2
32. Una variable aleatoria X tiene función de densidad
, 𝑠𝑖 𝑥 ∈ [− 2 , 2 ]
0 , 𝑠𝑖 𝑥 ∉ [− 2 , 2 ]
Halle la probabilidad Pr(𝑥
2
Pr(𝑋
2
< 1 ) = Pr(|𝑥| < 1 ) = Pr(− 1 < 𝑥 < 1 ) = ∫
1
− 1
34. Una variable aleatoria X tiene densidad 𝒇
𝑿
−𝒙
, 𝒔𝒊 𝒙 ≥ 𝟎. Encuentre las funciones de
distribución y de densidad de la variable aleatoria 𝒁 = 𝒆
−𝒙
