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ÍNDICE:
- Matrices 2. Determinantes 112
- Sistemas lineales 4. Inecuaciones y programación lineal (^2431)
- Límites y continuidad 6. Derivadas 4048
- Integrales 8. Probabilidad (^6371)
- Estimación. Intervalos de confianza 85
LibrosMareaVerde.tk
www.apuntesmareaverde.org.es
Autores: Leticia González Pascual y Álvaro Valdés. Ilustraciones: Banco de Imágenes de INTEF y de los autores
Actividades y ejercicios
2º Bachillerato
Matemáticas Aplicadas a las
Ciencias Sociales II.
CAPÍTULO 1: MATRICES
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. CONCEPTO DE MATRIZ 1. Utiliza matrices para representar la información siguiente: Un agricultor cultiva lechugas, naranjas y melones. Durante el
año 2014 ha recogido mil lechugas, 2000 kilos de naranjas y 500 melones. En los años anteriores su producción ha sidode 500, 1000 y 400 respectivamente. Por cada lechuga recibe un céntimo, por cada kilo de naranjas 3 céntimos y por
2. cada melón 5 céntimos. Escribe la matriz de sus ganancias del año 2014.Analiza los siguientes elementos de tu entorno y determina si son matrices o no: a. Un calendario. b. La clasificación de la Liga de fútbol (o cualquier otro deporte). c. El disco duro de un ordenador. d. Un armario donde se guarda una colección de copas. e. Los lineales de un supermercado. f. Una pantalla de televisión. g. El boleto de la Lotería Primitiva, de la Quiniela y del Euromillón. h. Los buzones de una vivienda. i. Los pupitres de una clase. 3. Propón otros elementos de tu entorno que sea matrices o puedan representarse mediante matrices.
3. OPERACIONES CON MATRICES
4. 5. Escribe tres matrices fila.Escribe tres matrices columna. 6. 7. Escribe tres matrices cuadradas de dimensión 2, 3 y 4 respectivamente.Escribe la matriz unidad de dimensión 2, 3 y 4. 8. Escribe la matriz nula de dimensión 2, 3 y 4. 9. Dadas las matrices
− = − 2 0 7 9 0 3
2 1 0 A ,
− = − 3 3 3 2 2 2
1 1 1 B y
− = − 7 3 3 2 4 5
1 0 0 C calcula:^ a)^ A^ + 3 B^ b)^2 A^ +^ B^ – 5 C
10. Para las matrices
− = − 2 0 7 9 0 3
2 1 0 A y
− = − 3 3 3 2 2 2
1 1 1 B calcula^ A·B^ y^ B·A. ¿Es el producto conmutativo?
11. Dadas las matrices
−
= − 2 0 7
9 0 3 2 1 0 A y
−
= − 3 3 3
2 2 2 1 1 1 B calcula 3 A t^ – B^2.
12. Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices:
− = − 2 0 7 9 0 3
2 1 0 A ,
− = − 3 3 3 2 2 2
1 1 1 B ,^^ C^ =^ 12 03 ,
3 3 3 2 2 2
1 1 1 D
13. Resuelve la ecuación matricial M·X + N = P siendo:
−
= − 2 0 7
9 0 3 2 1 0 M ,
−
= − 3 3 3
2 2 2 1 1 1 N ,
3 3 3
2 2 2 1 1 1 P
14. Calcula el rango de las siguientes matrices:
− −
= − 2 1 0
9 0 3 2 1 0 A ,
−
= − 3 3 3
2 2 2 1 1 1 B ,^ C = (^) 42 63 ,
3 3 3
2 2 2 1 1 1 D
- Calcula las matrices inversas, si existen, de las siguientes matrices:
a) b) c) d)
15.- Dadas las matrices y calcula y.
16.- Dada la matriz A = ^12 − 11
a) Halla la matriz inversa de A. b) Comprueba que A · A -1^ = A -1· A = I. c) Halla una
matriz X tal que A · X = B , siendo B = (^) 04 −^22
17.- Calcula la matriz inversa de
- Dadas las matrices y obtén, si procede, ( B · A ) -1.
19.- Sean las matrices A = (^) ^12 32 y B =^01 − 11 a) b) Calcula la matriz inversa deHalla el producto de la inversa de A · B B por la inversa de A. ¿Qué relación existe entre la matriz del apartado anterior y esta matriz? Justifica la respuesta.
- – Sea comprueba que A t^ = A –1^ y calcula ( A · At ) 2003.
21.- Sean las matrices: ,. a) Halla C –1^ y D –1.^ b) Calcula la matriz inversa de C · D.
c) Comprueba si ( C · D )–1^ es igual a C –1· D –1^ o es igual a D –1· C –1. 22.- Resuelve la ecuación matricial M·X + N = P siendo , y
- Sean las matrices ,. a) Calcula A –1^ · (2· B + 3 · I ). b) Determina la matriz X para que X · A = A + I
24. - Sean las matrices A = 01 32 , B =^12 − 21 y C =−^0121 . Resuelve la ecuación X · A · B – X · C = 2· C
- Calcula el rango de las siguientes matrices: a) b) c)
- Calcula el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro a : a) b)
A = 11 02 B = 23 31 ( AB ) t ( AB )−^1
A
−
−
3
2
0 2
1
1 A B =^ − 02 − 11 20
1 0 0
0 0 1
0 1 0 A
C
D
M = − 01 −^01 N = 31 42 P = 24 13
A = −^21 − 01 B = 11 20
^121001
− 0 4 2
1 0 1
0 2 1
−
0 0 0 1
2 1 1 1
0 0 1 0
2 1 1 1
a
a
a
a 2 1
2 1
2 1 1
27.- Determina las matrices A y B que son soluciones del siguiente sistema:
3 A 2 B
2 A B
- Obtener las matrices X e Y que verifiquen los siguientes sistemas matriciales.
a) b) c)
- Utilizando las operaciones elementales por filas, obtén matrices triangulares equivalentes a las siguientes matrices: a) b) c) d)
- En una academia de idiomas se imparten inglés y alemán en cuatro niveles y dos modalidades: grupos reducidos y grupos normales. La matriz expresa el número de personas, según el tipo de grupo, donde la primera
columna corresponde a los cursos de inglés, la segunda a los de alemán y las filas, a los niveles primero, segundo, tercero y cuarto respectivamente. Las columnas de la matriz reflejan el tanto por uno de estudiantes (común para ambos idiomas) que siguen curso reducido (primera fila) y curso normal (segunda fila) para cadauno de los niveles. a) Obtener la matriz que proporciona el número de estudiantes por modalidad e idioma. b) Sabiendo que la academia cobra 30 euros por persona en grupos reducidos y 20 euros por persona en grupo
- Tres escritores presentan a un editor, al acabar la enciclopedia, la minuta que se recoge en la tabla adjunta:normal, hallar la cantidad que obtiene la academia en cada uno de los idiomas. Horas de trabajo Conferencias dadas Viajes Escritor A Escritor B (^4080 1015 ) El editor paga la hora de trabajo a 75 euros, la conferencia a 300 euros y el viaje a 250 euros. Si sólo piensa pagar,^ Escritor^ C^^100 25
- Una fábrica produce dos modelos de lavadoras,respectivamente, el 30 %, el 20 % y el 10 % de lo que correspondería a cada escritor, ¿qué gasto tendría el editor? A y B , en tres terminaciones: N , L y S. Produce del modelo A : 400 unidades en la terminación B : 300 unidades en la terminación N , 200 unidades en la terminación N , 100 en la L y 30 en la LS (^). La terminacióny 50 unidades en la terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de S. Produce del modelo administración. La terminacióntaller y 1,3 horas de administración. L lleva 30 horas de taller y 1,2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de a) Representa la información en dos matrices. b) Halla una matriz que exprese las horas de taller y de administración empleadas para cada uno de los modelos.
X Y
X Y
X Y
X Y
X Y
X Y
− 2 1 1
1 2 2
1 0 1
−
− 4 0 2
3 2 1
1 2 1
−
−
3 2 1 2 1 1 2 1
2 0 1 3 1 1 2 1
(^13060)
(^16080) 100210
A^120130
B = (^) ^00 ,, 82 00 ,, 7525 00 ,, 64 00 ,, 2575
AUTOEVALUACIÓN
Dadas las matrices A = (^) 35 − 42 −^07 ; B = 01 13 −^52 1.- La dimensión de la matriz a) 3 A es: b) 2 c) 2 x 3 d) 3 x 2 2.- La matriz a) una matriz fila A es: b) cuadrada c) traspuesta d) rectangular 3.- La suma de las matrices A y B es: a ) A + B =^53 − 42 −^07 b ) A + B = 36 51 −^59 c ) A + B = 36 − 41 −^55 d ) A + B = 36 41 −^09 4.- El producto 3 A es: a ) 3 A = (^) ^153 − 46 −^07 b ) 3 A = (^) ^159 − 126 −^09 c ) 3 A = (^) ^159 − 126 −^021 d ) 3 A + B = 00 03 −^021 5.- Indica qué afirmación es cierta a) Las matrices A y B se pueden multiplicar b) Las matrices A y B no se pueden multiplicar c) Ambas tienen matriz inversa d) Sus matrices traspuestas son iguales Dadas las matrices
=
=
=
0 1 4
0 0 1
1 3 1 ; 2 3 4
4 0 1
1 2 3 ; 0 0 1
0 1 0
1 0 0 ; 3 3 3
3 3 3
3 3 3 C D E F
6.- La matriz identidad es la matriz: 7.- El producto de las matrices E y F es: a) C ; b) D ; c) E ; d) F.
2 10 21
0 13 8 1 6 15 a ) EF
2 10 21
0 12 8 1 5 13 b ) EF
2 13 9
0 13 8 1 6 15 c ) EF
2 10 21
4 10 16 1 6 15 d ) EF
8.- La matriz inversa de la matriz F es:
−
− − − = 0 1 0 0 4 1
1 11 3 a ) F^1
− − = 3 0 0 11 4 1
1 0 0 b ) F^1
− −
− − = 0 1 0 0 4 1
1 0 0 c ) F^1
− = 3 0 0 12 4 1
1 0 0 d ) F^1
9.- La matriz traspuesta de la matriz F es:
−
−
0 1 0
0 4 1
1 11 3 a ) Ft
−
1 1 0
3 1 0
1 0 3 b ) Ft
0 1 0
0 1 1
1 0 0 c ) Ft
1 1 4
3 0 1
1 0 0 d ) Ft
10.- El rango de la matriz C es: a) 3 b) 2 c) 1 d) no tiene
Apéndice: Problemas de matrices en las P.A.A.U.
(1) Sea la matriz
− −
− − −
0 1 1
1 2 1 1 2 2 A .
a) Comprueba que verifica A^3 – I = O , con I la matriz identidad y O la nula. b) Calculaigualdad A A^132. c) Basándote en los apartados anteriores y sin recurrir al cálculo de inversas, halla la matriz ·X + I = A X que verifica la (2) a) Define rango de una matriz. b) Una matriz de 3 filas y 3 columnas tiene rango 3. ¿Cómo varía el rango si quitamos una columna? Si suprimimos
(3) Sea A una matriz (una fila y una columna, ¿podemos asegurar que el rango de la matriz resultante valdrá dos? m × n ) a) ¿Existe una matriz b) ¿Se puede encontrar una matriz B tal que B·A (^) B sea una matriz fila? Si existe, ¿qué orden tiene? tal que A·B sea una matriz fila? Si existe, ¿qué orden tiene? c) Busca una matriz B tal que B·A = ( 0 0 ) siendo
0 0
0 1
1 2 A
(4) Dada la matriz A = (^) ^21 − 41 y el vector X = (^) xy , se pide obtener razonadamente: a) El vector b) Todos los vectores X tal que A·X =X tales que 0 ·X. A·X = 3 ·X. c) Todos los vectores X tales que A·X = 2 ·X. (5) Sean I y A las matrices cuadradas siguientes: I = (^) 01 10 y A = (^) −^1710 −^2917 Se pide calcular, explicando todos los pasos necesarios: a) Las matrices A (^2) y A (^3). b) Los números reales a y b para los cuales se verifica ( I + A ) 2 = a·I + b·A. (6) Dada la ecuación matricial: (^) 3 a^ 72 ^ ⋅ B = 11 11 donde B es una matriz cuadrada de tamaño 2 × 2, se pide: a) Calcula el valor o valores de b) Calcula B en el caso a = 1. a para los que esta ecuación tiene solución. (7) Una matriz 2 × 2 se dice que es triangular si el primer elemento de su segunda fila es 0. Encuentra todas las matrices triangulares B tales que.
(8) Comprueba razonadamente que: a) Si el producto de dos matrices cuadradas A y B es conmutativo, entonces se deduce que el producto de los cuadrados de dichas matrices es igual al cuadrado del producto de dichas matrices. b) La matriz
−
= − 0 3 7
0 4 10 1 0 0 A satisface la relación A^2 – 3· A + 2· I = O , siendo I y O , respectivamente, las
c) matrices de ordenCalcula razonadamente escribiendo todos los pasos del razonamiento utilizado, los valores^ 3 × 3^ unidad y nula. a y b que hacen que A^2 = a · A + b · I , sabiendo que la matriz A verifica la igualdad A^2 = 3· A + 2· I. (9) a) Calcula las matrices reales cuadradas de orden 3, X e Y , que satisfacen las ecuaciones: (^) ^2 X^ ⋅ X − 2 + YY == CB donde:
−
− =
1 1 1
1 1 1
1 1 0 y 0 0 1
0 1 1
1 0 1 B C
(10) Calcula todos los valores reales^ b) Si^ X^ e^ Y^ son las matrices anteriores, calcula x , y , z , t para los cuales se verifica^ (2· X^ +^ Y )· X^ – (2· A·X = X·AX^ +^ Y , donde)·(2 Y ). X = (^) zx ty y A = 31 42
B ⋅ Bt =^27484
RESUMEN
Definición dematriz Tabla de números ordenados Dimensión una matriz de El número de filas ( m ) y el número de columnas ( n ) La dimensión de la matriz anterior es 2 × 3. Igualdad de matrices Dos matrices son iguales si tienen la misma dimensión y si los términos que ocupan la misma posición son iguales A = B ⇒ aij = bij ∀ i,j
Tipos de matrices
Matriz fila: Matriz columna: Matriz triangular de dimensión 2 × 2: Matriz diagonal: Matriz escalar: Matriz unidad: Suma de matrices
Se suman los elementos que ocupan la misma posición: Producto de un real por una matriz
Es otra matriz de elementos los de la matriz multiplicados por el número: Producto dematrices
Matriz inversa Matriz traspuesta (^) Se obtiene cambiando filas por columnas. Rango de unamatriz independientes^ Número de filas o columnas de la matriz que son, es decir, que no pueden obtenerse a partir de^ linealmente las demás filas o columnas de la misma matriz.^ El rango de la matriz^ es 1.
35 − 42 −^07
( 3 1 4 − 5 ) − 75 A = ^01 − 31
02 50 05 50 01 10
C = A + B ⇒ cij = aij + b ij
= +
1 7
6 8 1 2
4 8 0 5
2 0
kA = k ( a (^) ij ) =( kaij )^3 ⋅^ 42 51 = 126 153 ( ) ( ) → = =(^ )(^ )^ =(^ )^ =∑
=
n ij ij ij ij k ik kj BA abijij^ C AB a b c c a b · · 1 · =
⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅
16 17
2 1 22 34 21 35
12 04 11 05 4 5
2 1 2 3
1 0
A ⋅ A −^1 = A −^1 ⋅ A = I A =^ 52 13 →^ A −^1 =− 51 / 13 /^13 −^32 /^13 / 13 A = (^) 52 13 → At = 32 15
126 63
CAPÍTULO 2: DETERMINANTES.
ACTIVIDADES PROPUESTAS
1. CONCEPTO DE DETERMINANTE
1. Calcula los siguientes determinantes: a) b) c) 2. Calcula los siguientes determinantes: a) b) c)
2. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES
3. 4. Comprueba qué ocurre en un determinante de orden tres cuando haces dos permutaciones de filas.Comprueba qué ocurre en un determinante de orden dos cuando haces una permutación de filas seguida de una 5. permutación de columnas.Comprueba qué ocurre en un determinante de orden tres cuando haces dos permutaciones de filas. 6. Comprueba qué ocurre en un determinante de orden tres cuando haces una permutación de filas seguida de unapermutación de columnas. 7. 8. Razona por qué esta propiedad puede deducirse de la propiedad número 5.Comprueba en un determinante de orden 3 que la propiedad se verifica también cuando hay dos columnas iguales. Hazlo 9. de dos formas diferentes: desarrollando el determinante y utilizando la propiedad del determinante de la matriz traspuesta.Demuestra esta propiedad para determinantes de orden tres. 10. Comprueba que el valor del segundo determinante, obtenido del primero con la transformación indicada, es el mismo queel del determinante de partida. 11. Comprueba esta propiedad para las siguientes matrices cuadradas de orden tres: a)
= − (^74) −− 32 01 A^615 y
= 21 − 02 − 01 B^202 ; b)
0 0 1
0 1 0
1 0 0 A y
−
−
1 2 3
1 1 1
1 1 0 B ; c)
−
= − 2 1 0
0 0 2
2 1 2 A y
−
= − 2 2 0
1 0 1
2 0 2 B
12. Razona si es posible que para dos matrices A y B existan los productos A ⋅ B = B ⋅ A A ⋅^ B y B^ ⋅^ A , pero no se verifique que 13. Dadas dos matrices A y B, cuadradas y de igual dimensión, razona si las siguientes expresiones son ciertas o no:.
a) ( A + B )^2 =( A + B ) (⋅ A + B ) = A^2 + B^2
b) ( A + B ) 2 = A^2 + B^2 + 2 ⋅ A ⋅ B
c) ( A − B )^2 =( A − B ) (⋅ A − B ) = A^2 − B^2
d) ( A − B ) 2 = A^2 + B^2 − 2 ⋅ A ⋅ B
e) (^ A^ + B ) (⋅^ A − B )^ = A^2 − B^2
f) ( A + B )^2 = A^2 + B^2
g) ( A + B )^2 = A^2 + B^2 + 2 ⋅ A ⋅ B
h) ( A − B ) 2 = A^2 − B^2
i) ( A − B )^2 = A^2 + B^2 − 2 ⋅ A ⋅ B
j) ( A + B ) (⋅ A − B ) = A^2 − B^2
3. CÁLCULO DE DETERMINANTES POR LOS ELEMENTOS DE UNA LÍNEA
14. Calcula por adjuntos el valor de este determinante:
(^7432410) 6 1 13 74 32 01 6 1 5 − −−^ C ^3 =^ C^3 + C ^1 +^2 C ^2 →− −− −
1.- Calcula los determinantes de las siguientes matrices:^ EJERCICIOS Y PROBLEMAS.
a) b) c) d) e) f)
g) h) i) j)
2.- Prueba, sin desarrollarlos, que los determinantes de las siguientes matrices son nulos:
a) b)
3.- Demuestra sin desarrollar que los determinantes y son múltiplos de 15.
4.- Prueba sin desarrollar que los determinantes siguientes son múltiplos de 11: a) b)
5.- Comprueba, a partir de las propiedades de los determinantes, que A 1 = 0 y que A 2 =.
6.- Sabiendo que: calcula, sin desarrollar, el valor de
7.- Sabiendo que calcula sin desarrollar:
8.- ¿Cuál será el orden de una matriz cuadrada 3· At (^) vale –1215? A si sabemos que su determinante vale –5 y que el determinante de la matriz
9.- Justifica, sin realizar cálculo alguno, que
10.- Dadas las matrices A y B de orden 4 × 4 con y , calcula , y.
11.- Obtén, en función de a, b y c el valor del determinante:
^1342 ^42 − 53 ^
b
a
b a
a b
2
m
m m
a
a
a 1 1
m
m 5 3
c a b
b c a
a b c 1
a b c d
a b d c
a c d b
A =
A 2 =
g h i
d e f
a b c c a b
f c d a e b
i g h 3 3 3
x y z
p q r
a b c
− p − r − q
x z y
a c b 3 3 3
z c r c
y b q b
x a p a 3 2
y q b b q
z r c c r
x p a a p 2 3 3
3 3 3 2 2 2
222 ··^111
x y z
xyz x y z x y z
x y z
x y z = ⋅ A = 3 B = 2 A −^1 B t^ A ( AB −^1 ) t
a a c a
a b a a
a a a
12.- Demuestra que: y
13.- Dada la matriz se pide:
a) Calcula: ; ; ; ; b) Resuelve la siguiente ecuación: 14.- Sea una matriz simétrica A ∈ M3x3 cuyo determinante es. Comprueba si es verdadero o falso
M (^) 3x3 M (^) 6x
Si son falsas, indica la respuesta correcta. 15.- Sean las matrices A y B ∈ M (^) 3x3 tales que y. Con estos datos calcula de forma razonada: ; ; ; ; ;
- Sean F 1 , F 2 , F 3 y F 4 las cuatro filas de una matriz cuadrada A , cuyo determinante vale –2. Se pide calcular de forma razonada: a) El determinante de la matriz. b) El determinante de la matriz inversa de A. c) El determinante de la matriz. d) El determinante de una matriz cuyas filas son:.
17.- Para los determinantes
a) Halla los menores complementarios de los elementos b) Halla los adjuntos de dichos elementos, cuando existan. α 11 , α 23 , α 32 y α 12 , cuando existan. 18.- a) La matriz A verifica. Halla los posibles valores del determinante de A. b) La matriz A verifica que. Halla los posibles valores del determinante de A.
19.- Dada la matriz calcula el determinante de la matriz A de las siguientes maneras:
a) Aplicando la regla de Sarrus. b) Desarrollando por los elementos de la 3ª fila y de la 2ª columna.
2 2 1 1 1 1
a b b
b
a
a = ⋅ −
= a −^3 ⋅ a + a
a
a
a
A
A α^32 α^13 A 22 A 12
A ⋅ x + A 23 + 3 α 11 =− 2 + A 13 ⋅ x
− 3 A = 9 A^ ⋅ 3 At = 3 −^3 A^3 ∉ 4 A − 7 At = 12 A ∈
4 A − At =− 32 A −^1 =− 3 −^1 ( 2 ) 3
A A
At At 6 1
1 A − 1 − At^2 = 27
3 −^ At =−^1
A =− 3 −^2 B^ =^3^ A −^1
B −^1 A ⋅ B −^13 B −^1 ⋅ A 3 A ⋅ Bt ( (^) B −^1 ⋅ A −^1 ) t
−^3 A
A^2
2 F 2 ,− 3 F 1 + 4 F 3 ,− F 4 , 2 F 3
2
1 2 3 −
a b
a b
a b c d
a b c d A a b A b b a
b a b
a b b A
A^2 = A
A ⋅ At^ = I
A
- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b)
30.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b)
31.- Halla las matrices inversas de las matrices: a) b) c)
32.- Dada la matriz . a) Halla la matriz inversa de A. b) Comprueba que (^). c) Halla una
matriz X tal que , siendo
33.- Sean las matrices y a) b) Calcula la matriz inversa deHalla el producto de la inversa de A·B. B por la inversa de A. ¿Qué relación existe entre la matriz del apartado anterior y esta matriz? Justifica la respuesta.
34.- Siendo las matrices y.
a) ¿Es cierto que b) Calcula, si es posible, la inversa de det( A · B ) = det( B · A A )?· B.
- Dada la matriz halla los valores de t para los cuales A no tiene inversa.
36.- Dada la matriz , averigua para qué valores de λ existe , y calcúlala para.
37.- Calcula la matriz inversa de
38.- Dada la matriz
a) Comprueba si es una matriz regular o inversible. En caso afirmativo, halla su inversa. b) Descompón la matriz M en suma de dos matrices, una simétrica y otra antisimétrica. c) Descompón |de uno de ellos sea nulo. M | en suma de dos determinantes | P | y | Q |, tales que sus elementos sean todos no nulos y que el valor d) Comprueba si: y e) Resuelve la ecuación:
5 6 1 3
5 2 7
3 1 = + −
− x x
x
x 0 1 3
0 4
1 0 4
− x
x
−^8 x 2^ x − 1 −^11205 x^ =^67 x^ 11 x^02 x 43 1 7^ x
1 1 2 = − −
− +
−
12 54
− 5 0 4
3 5 1
1 2 3
b c
a c
c b 1
1
1
A = (^) ^12 − 11 A^ · A^ −^1 =^ A −^1 · A = I
AX = B B = 04 −^22
A = 21 32 B = ^01 − 11
A = ^123201 −− 42
B
t
t A
λ
− −λ
A A −^1
A
M
M = P + Q M = P ⋅ Q
α 13 x^2 − Mx + 4 A 32 = 2
39.- ¿Para qué valores de a la matriz no tiene inversa? Halla la inversa para a = 2.
40.- a) ¿Para qué valores del parámetro a no es invertible la matriz A?
b) Para los valores de a encontrados calcular los determinantes de y de.
41.- Sea C la matriz
a) ¿Para qué valores de b) Calcula la inversa de Cm parano tiene inversa la matriz m = 2_. C_?
42.- Dada la matriz donde x es un número real, halla:
a) Los valores de b) La inversa de A x parapara los que la matriz x = 2. A posea inversa. c) Con x = 5, el valor b ∈ R para que la matriz b · A tenga determinante 1. 43.- Dadas las matrices A , B y C ∈ M3x3, plantea la resolución de las siguientes ecuaciones utilizando la matriz inversa: a) b) c) 44.- Calcula todas las matrices diagonales de orden dos que coinciden con su inversa. Sisu cuadrado. A es una de esas matrices, calcula
45.- a) Halla, si existe, la matriz inversa de M.
b) Calcula la matriz X que cumple
46.- Dadas las matrices:
a) ¿Qué valores de a hacen singular la matriz C? b) ¿Qué dimensiones debe tener la matriz B para que la ecuación tenga sentido? c) Calcula B para el valor.
47.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a) b) c)
48.- Halla el rango de las siguientes matrices: a) b) c) d)
a
a
a
A
A ⋅ A^ t A t^ ⋅ A
2 1 m
x
A x 4 1
X ⋅ A = B B ⋅ X − 2 B = 3 X A ⋅ X ⋅ C = 2 Bt^ + A
M
X · M + M = 2 M^2
A = −^1210
a
a
C D =^ 21 −^01 −−^21
A · B · C = D
a = 1
x − 0 1 1 2
x
x
x
x +
x
x
x
20 02 21 −^0 11322
− 2 1 2 2 1 3 2 2
3 4 4 0
AUTOEVALUACIÓN
Dadas las matrices A = y B =
1.- El valor del determinante de la matriz a) 4 b) 0 A es: c) –4 d) 8 2.- El adjunto B 23 del determinante de la matriz B es: a) 0 b) c) –4 d) –
3.- El valor del determinante de la matriz a) 4 b) 0 B es: c) 8 d) – 4.- El rango de 5.- La matriz inversa de B es: (^) A es: a) 1 b) 2 c) 3 d) 4
a) b) c) d)
Dadas las matrices:
6.- La matriz inversa de la matriz F es:
7.- El rango de la matriz a) 3 C es: b) 2 c) 1 d) no tiene 8.- La matriz de determinante nulo es: a) C b) D c) E d) F 9.- El determinante de la matriz 5 a) 5 CD b) 0 vale: c) 15 d) 1 10.- El rango de la matriz a) 3 CF es: b) 2 c) 1 d) no tiene
1 1 2
1 2 1
2 1 1
−
− − − 0 0 0 2
0 0 2 3
0 2 2 3
0 2 7 4
−
− 0 0 2
0 0 3 0 2 4
−
− 0 0 2
0 0 3 0 2 4
− −
− −
− − 1 1 3
1 3 1
3 1 1
−
− 1 / 4 1 / 4 3 / 4
1 / 4 3 / 4 1 / 4
3 / 4 1 / 4 1 / 4
−
− 1 1 3
1 3 1
3 1 1
− −
− −
− − 1 / 4 1 / 4 3 / 4
1 / 4 3 / 4 1 / 4
3 / 4 1 / 4 1 / 4
=
=
=
= 00 10 14 ;^131 24 30 14 ;^123 00 01 10 ;^100 33 33 33 C^333 D E F
− = − − 0 1 0 a ) F^10111413
− = − 3 0 0 b ) F^11114010
−
− = − − 0 1 0 c ) F^1014001
− = 3 0 0 d ) F^11214010
Apéndice: Problemas de determinantes en la P.A.U.
(1) Considera las matrices
a) ¿Puede existir una matrizejemplo. Si no es posible, explica por qué. C de forma que se puedan realizar los productos A · C y C · B? Si es posible, proporciona un b) Calcula c) Determina los valores de ( B − I ) 2. x que verifican | A | = − 7 | I |
(2) Dados los números reales a , b , c y d , se considera la matriz. Prueba que el polinomio p ( x ) = det( A − x · I 2 ) es A. p ( x ) = x^2 – tr( A )· x+ det( A ), donde tr( A ) es la traza de la matriz A , es decir, la suma de los elementos de la diagonal de
(3) Considera la matriz
a) Halla el determinante de la matriz b) Halla el determinante de la matriz A 3·. A. c) Halla el determinante de la matriz (3· A ) 3.
(4) Dadas las matrices cuadradas y
a) Calcula las matrices b) Justifica razonadamente que ( A – I )^2 y A ·( A – 2· I ). b.1) Existen las matrices inversas de las matrices b.2) No existe la matriz inversa de la matriz ( A – I A ). y ( A – 2· I ).
(5) Considera la matriz^ c) Determina el valor del parámetro real^ λ^ para el que se verifica que^ A –1^ =^ λ·( A^ – 2· I ).
a) Estudia para qué valores de t la matriz A tiene inversa. b) Busca, si es posible, la matriz inversa de A cuando (6) Se dan las matrices , y M , donde M es una matriz de dos filas y dos columnas que verifica que a) Todos los valores reales M^2 = M. Obtén razonadamente: k para los que la matriz B = A – k I tiene inversa. b) La matriz inversa c) Las constantes reales B –1^ cuando α y β para las que se verifica que k = 3. α A (^2) + β A = –2 I. d) Comprueba razonadamente que la matriz P = I – M cumple las relaciones: P^2 = P y M P = P M.
(7) Dado el número real a se considera la matriz
a) Obtén los valores del número real b) Busca, si es posible, la matriz inversa de a para los que la matriz A cuando a = 0. A tiene inversa.
(8) Se considera la matriz
a) Obtén el polinomio b) Si c = 0, busca las raíces de p ( x ) = det( p ( Ax )). dependiendo de a y b.
=^ − =^
−
= − ,^1213 , 01 10 2 1
1 1
1 3 2 B I x
A x
A = (^) ca db
−
−
0 2 1
1 0 2
1 1 1 A
I
A
tg sec 0
sec tg 0 θ θ
θ θ A
A = ^10 − 32 I = 01 10
aa a^2
a A
c b a x
x
x A 0 1
