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Tipo: Apuntes
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Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya LibrosMareaVerde.tk Revisores: Luis Carlos Vidal y Nieves Zuasti
Índice
1. NÚMEROS REALES 1.1. NÚMEROS RACIONALES Y NÚMEROS IRRACIONALES 1.2. LA RECTA REAL 1.3. VALOR ABSOLUTO. DISTANCIA EN LA RECTA REAL 1.4. INTERVALOS Y ENTORNOS 1.5. APROXIMACIÓN DE UN NÚMERO DECIMAL. ESTIMACIÓN, REDONDEO Y ERRORES 2. POTENCIAS DE EXPONENTE ENTERO 2.1. POTENCIAS DE EXPONENTE NATURAL 2.2. PROPIEDADES DE LAS POTENCIAS 2.3. POTENCIAS DE EXPONENTE NEGATIVO 3. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL. RADICALES 3.1. POTENCIAS DE EXPONENTE RACIONAL 3.2. RADICALES 3.3. PROPIEDADES DE LOS RADICALES
4.OPERACIONES CON RADICALES: RACIONALIZACION 4.1. OPERACIONES 4.2. RACIONALIZACION
5. NOTACION CIENTÍFICA 5.1. DEFINICIÓN 5.2. OPERACIONES CON NOTACION CIENTÍFICA 6. LOGARITMOS 6.1. DEFINICIÓN 6.2. PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
En este primer capítulo de Bachillerato de Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales I vamos a hacer un repaso de los Números Reales haciendo mención a los números naturales, enteros, racionales, así como a los irracionales.
Vamos a estudiar las potencias de exponente natural. Ampliaremos el dominio de definición estudiando las de exponente entero (ahora no tiene sentido decir que multiplicamos algo por sí mismo −3 veces) con sus propiedades. Repasaremos como operar con las potencias aplicando sus propiedades.
Estudiaremos las potencias de exponente racional, que son los radicales, sus propiedades, así como las operaciones que podemos realizar con ellos. Nos detendremos en la racionalización, que es una operación muy utilizada en Matemáticas necesaria para operar con radicales.
Estudiaremos la notación científica, las propiedades para poder operar con este tipo de notación y las ventajas de operar con ella.
Por último, estudiaremos los logaritmos y sus propiedades, que facilitan las operaciones pues transforman, por ejemplo, los productos en sumas. Cuando no había calculadoras ni ordenadores y querían multiplicar números de más de diez cifras, ¿cómo hacían?
Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya LibrosMareaVerde.tk Revisores: Luis Carlos Vidal y Nieves Zuasti
3. Calcula la expresión decimal de las fracciones siguientes:
a) 1/5 b) 1/3 c) 5/9 d) 2/25 e) 11/400 1/
4. Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales exactas y redúcelas, después comprueba con la calculadora si está bien: a) 8.35; b) 791.297835; c) 0. 5. Escribe en forma de fracción las siguientes expresiones decimales periódicas, redúcelas y comprueba que está bien: a) 9.464646….. b) 91.02545454…. c) 0.9999….. d) 3.267123123123….. 6. ¿Puedes demostrar que 2.99999… es igual a 3? ¿Calcula cuánto vale 1.5999…? Ayuda : Escríbelos en forma de fracción y simplifica. 7. Demuestra que^3 7 es irracional. 8. ¿Cuántas cifras puede tener como máximo el periodo de 47
9. ¿Cuántos decimales tiene (^7 ) 2 5
1 ⋅
?, ¿te atreves a dar una razón?
10. Haz la división 999999:7 y después haz 1:7, ¿es casualidad? 11. Ahora divide 999 entre 37 y después 1:37, ¿es casualidad?
1.2. La recta real
Densidad de los números reales
Los números reales son densos , es decir, entre cada dos números reales hay infinitos números.
Esto es fácil de deducir, si a , b son dos números con a < b sabemos que b
a b a <
, es decir, la media
está entre los dos números. Como ese proceso lo podemos hacer todas las veces que queramos, pues de ahí el resultado.
Curiosamente los números racionales son también densos, así como los irracionales.
Actividades propuestas
12. Escribe 3 números reales que estén entre
y 1.
13. Escribe 5 números racionales que estén entre 2 y 1.5. 14. Escribe 5 números irracionales que estén entre 3.14 y π.
Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya LibrosMareaVerde.tk Revisores: Luis Carlos Vidal y Nieves Zuasti
Representación en la recta real de los números reales
Elegido el origen de coordenadas y el tamaño de la unidad (o lo que es igual, si colocamos el 0 y el 1) todo número real ocupa una posición en la recta numérica y al revés, todo punto de la recta se puede hacer corresponder con un número real.
El curso pasado estudiaste cómo representar en la recta real fracciones y raíces.
Actividades propuestas
15. Representa en la recta numérica los siguientes números:
a) 5
, b) 4
, c) 1.342, d) −2.555555….
16. Representa en la recta numérica:
1.3. Valor absoluto. Distancia en la recta real
El valor absoluto o módulo de un número es igual al valor de ese número ignorando el signo. Por ejemplo, el valor absoluto de −1 es 1, y el valor absoluto de +1, también es 1.
En lenguaje formal, el valor absoluto se define de la siguiente manera:
x si x
x six x
Si representamos esta función en un eje de coordenadas, resulta una gráfica como la del margen.
Como el valor absoluto es una función muy importante en matemáticas, tiene su propio símbolo. Para escribir el valor absoluto de un número x , basta con encerrar el número entre dos barras verticales: | x |.
El valor absoluto de un número x se consigue suprimiendo el signo, y se anota mediante el símbolo | x |.
Ejemplo:
El valor absoluto de −32 es 32, igual que el valor absoluto de +32. Escrito en lenguaje formal sería: |−32| = 32 = |+32|.
Actividades propuestas
17. Halla el valor absoluto de los siguientes números:
a) 5 b) − 5 c) −π
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Actividades propuestas
18. Representa las siguientes funciones:
a) f ( x ) = | x ²| b) f ( x ) = | x ² − 1| c)) f ( x ) = (^) x
Distancia en la recta real
Una distancia es una medida que tiene unas determinadas propiedades:
La distancia entre dos números reales x e y se define como:
Dist( x , y ) = | x − y |
Verifica las propiedades antes indicadas pues:
Ejemplo:
Dist(3, 8) = |8 − 3| = 5
Ejemplo:
Si estamos en el sótano 9º y subimos al piso 5º , ¿cuántos pisos hemos subido?
Como hemos visto en el ejemplo anterior, hemos subido en total 14 pisos.
Dist(−9, 5) = |5 − (−9)| = |5 + 9)| = |14| = 14. Si el termómetro marca − 1 ᵒC y luego marca 5 ᵒC, ¿cuántos grados ha subido la temperatura?
Como hemos visto en el ejemplo anterior, la temperatura ha subido 6 ᵒ C. Fíjate que la escala termométrica que hemos usado es la Celsius, hay otras, pero esto lo estudiarás en Física.
Dist(−1, 5) = |5 − (−1)| = |5 + 1)| = |6| = 6.
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Actividades propuestas
19. Representa en la recta real y calcula la distancia entre los números reales siguientes:
a) Dist(5, 9) b) Dist(−2.3, −4.5) c) Dist(−1/5, 9/5) d) Dist(−3.272727…. , 6.27272727….).
1.4. Intervalos y entornos
Recuerda que:
Un intervalo de números reales es un conjunto de números correspondientes a una parte de la recta numérica, en consecuencia, un intervalo es un subconjunto del conjunto de los números reales.
Tipos de intervalos
Intervalo abierto : es aquel en el que los extremos no forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos forman parte del intervalo, salvo los propios extremos.
observa que se trata de desigualdades estrictas.
Gráficamente, lo representamos en la recta real del modo siguiente:
Intervalo cerrado : es aquel en el que los extremos si forman parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluidos éstos, forman parte del intervalo.
En otras palabras, I = [ a , b ] ={ x ∈ ℜ a ≤ x ≤ b }, observa que ahora no se trata de desigualdades estrictas.
Gráficamente:
Intervalo semiabierto: es aquel en el que solo uno de los extremos forma parte del mismo, es decir, todos los puntos de la recta comprendidos entre los extremos, incluido uno de estos, forman parte del intervalo.
Intervalo semiabierto por la izquierda , el extremo inferior no forma parte del intervalo, pero el superior sí, en otras palabras,
I = ( a , b ] = { x ∈ ℜ a < x ≤ b },
observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
Intervalo semiabierto por la derecha , el extremo superior no forma parte del intervalo, pero el inferior sí, en otras palabras, I = [ a , b ) = { x ∈ ℜ a ≤ x < b }, observa que el extremo que queda fuera del intervalo va asociado a una desigualdad estricta.
Gráficamente:
Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya LibrosMareaVerde.tk Revisores: Luis Carlos Vidal y Nieves Zuasti
En general:
Ejemplo:
El intervalo (−8, 1) = 𝐸𝐸 �−8+1 2 , 1−( 2 −8 )� = 𝐸𝐸(−3.5, 4.5)
También existen los entornos cerrados, pero son de uso menos frecuente.
Actividades propuestas
20. Escribe los siguientes intervalos mediante conjuntos y represéntalos en la recta real:
a) [1, 7) b) (−3, 5) c) (2, 8] d) (−∞, 6)
21. Representa en la recta real y escribe en forma de intervalo:
a) 2 < x < 5 b) 4 < x c) 3 ≤ x < 6 d) x ≤ 7
22. Expresa como intervalo o semirrecta, en forma de conjunto (usando desigualdades) y representa gráficamente: a) Un porcentaje superior al 26 %. b) Edad inferior o igual a 18 años. c) Números cuyo cubo sea superior a 8. d) Números positivos cuya parte entera tiene 3 cifras. e) Temperatura inferior a 25 °C. f) Números para los que existe su raíz cuadrada (es un número real). g) Números que estén de 5 a una distancia inferior a 4. 23. Expresa en forma de intervalo los siguientes entornos:
a) E (1, 5)
b) E (−2,
c) E (−10, 0.001)
24. Expresa en forma de entorno los siguientes intervalos:
a) (4, 7) b) (−7, −4) c) (−3, 2)
25. ¿Los sueldos superiores a 500 € pero inferiores a 1000 € se pueden poner como intervalo de números reales? * Pista : 600.222333€ ¿puede ser un sueldo?
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1.5. Aproximación de un número decimal. Estimación, redondeo y errores
Recuerda que:
En la vida cotidiana y también en las ciencias aplicadas es necesario trabajar con números aproximados.
Unos ejemplos:
Queremos comprar un tercio de metro de cinta, tenemos que decirle al dependiente cuanto queremos y no vamos a ser tan idiotas como para decirle que nos dé 0.333… metros o 33.333… cm que es lo exacto. Lo normal es pedir 33 cm o 34 cm. Medimos un folio A4 con la regla y nos da 29.7 cm, la regla llega a los mm. Queremos dividirlo en 8 partes iguales, ¿cuánto medirá cada parte? Si hacemos 29.7 : 8 nos da 3.7125 cm, pero la regla no llega a tanto, será mejor aproximar a 3.7 cm. Hacemos un examen con 9 preguntas que valen todas igual. Tenemos 5 bien y las demás en blanco. ¿Qué nota tenemos?, 10·5/9 = 5.555555556 según la calculadora, ¿las ponemos todas?, si lo hacemos estamos suponiendo que somos capaces de distinguir 1 parte de entre 10000 millones de partes iguales del examen. Lo razonable es 5.6 o 5.56 si somos muy pero que muy precisos. Resulta curioso y debería ser delito que en las gasolineras se anuncie: Precio del gasoil 1.399 €/litro. Si alguien va y pide un litro exacto, o 2 o 15 no se lo pueden cobrar exactamente puesto que ¡no existen las milésimas de €!, deberían escribir 1.40 €/litro. Es cierto que de esa manera te ahorras 5 céntimos si echas 50 litros, pero a ellos les compensa el tema psicológico, la gente poco culta en números ve 1.3 en lugar de 1.4. Exactamente lo mismo pasa en los supermercados: merluza 7.99 €/Kg. Son trucos baratos que una mente entrenada sabe detectar y actuar en consecuencia. La diferencia entre 8 €/Kg y 7.99 €/Kg es que te ahorras ¡1 céntimo! si compras 1 Kg, si compras medio, ¿cuánto te ahorras?, ¡nada!, pues 7.99 : 2 = 3.995 que redondeado es 4, que es lo que cobran. Aunque bien mirada la oferta no está tan mal pues si compras 5 Kg de merluza ahorras para comprarte un caramelo, eso sí, tienes que comprar más de medio Kg por vez.
Redondeo
Te recordamos como se redondean correctamente los números.
Redondear π a las diezmilésimas: π = 3.1415926535…, la cifra de las diezmilésimas es 5, como la
Fíjate que π está más cerca de 3.1416 que de 3.1415. Redondear 2 a las centésimas: 2 =1.41421356…, ahora la cifra de las centésimas es 1 y la
La regla es: Localizamos la cifra de redondeo, miramos la siguiente cifra (sólo la siguiente), si ésta es menor que 5 la cifra de redondeo se queda igual, si la cifra siguiente es 5 o mayor que 5 incrementamos en 1 la cifra de redondeo.
Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya LibrosMareaVerde.tk Revisores: Luis Carlos Vidal y Nieves Zuasti
Actividades propuestas
26. Copia esta tabla en tu cuaderno y redondea con el número de cifras indicado
Cifras significativas
Número 1 2 3 4
Ejemplo:
Si aproximamos π ≈ 3.1416 tendremos que el EA = π − 3.1416 = −0.0000073 ≈ 0. unas 7 millonésimas. Observa que si no se conoce el valor real, no podemos calcular exactamente el error absoluto, pero si aproximarlo calculando una cota del error.
Podemos conocer una cota del error absoluto teniendo en cuenta el orden de aproximación, así, si hemos redondeado en las diezmilésimas (como en el ejemplo) siempre podemos afirmar que el EA es menor o igual a 0.00005, es decir, menor o igual que media unidad del valor de la cifra de redondeo o 5 unidades de la siguiente (5 cienmilésimas), que es lo mismo.
Actividades resueltas
Calcula la cota del error absoluto de N ≈ 3.7 → EA ≤ 0.05. Calcula la cota de error de N ≈ 300 es EA ≤ 50 si suponemos que hemos redondeado en las centenas.
Para comparar errores de distintas magnitudes o números se define el Error Relativo ( ER ) como:
ER =
Valor real
que suele multiplicarse por 100 para hablar de % de error relativo.
Si no se conoce el valor real se sustituye por el valor aproximado (la diferencia normalmente es pequeña).
Mat. Aplicadas a las Ciencias Sociales I. 1º Bachillerato. Capítulo 1: Números reales Autor: José Antonio Encabo de Lucas y Paco Moya LibrosMareaVerde.tk Revisores: Luis Carlos Vidal y Nieves Zuasti
Actividades resueltas
Si aproximamos raíz de 3 por 1.73, el error relativo cometido es:
En las aproximaciones A = 7.4 con EA ≤ 0.05 y B = 970 con EA ≤ 5, ¿en cuál estamos cometiendo proporcionalmente menor error? Calculamos los errores relativos:
A → ER ≤ 07.^05. 4 ≈ 0.00675 → ER ≤ 0.68 %
B → ER ≤ 970
Es mejor aproximación la de B.
Control del error cometido
Recuerda que:
En cada suma o resta el error absoluto es la suma de los errores absolutos. Por tanto puede aumentar peligrosamente si hacemos varias sumas y restas.
Los errores relativos se suman al multiplicar dos números.
Actividades resueltas
Medimos el radio de una circunferencia con una regla milimetrada y marca 7.0 cm. Queremos calcular el área del círculo. El error máximo en el radio es de 0.05 cm luego puede estar entre 6.95 y 7.05. Si aplicamos la fórmula π r^2 para estos valores obtenemos 151.7 y 156.1, que son los valores mínimo y máximo. La diferencia es 4.4 y su mitad es 2.2 que es la cota de error absoluto. Decimos que A = 153.9 ± 2.2 cm^2. A → ER ≤ 1532.^2. 9 ≈ 0.0143 → ER ≤ 1.43 % r → ER ≤ 0. 705 ≈ 0.00714 → ER ≤ 0.71 %
El radio tenía una cota de 0.71 %, y el área del círculo de 1.43, luego hemos perdido precisión.
Si operamos con números aproximados, y peor aún, si lo hacemos en repetidas ocasiones, los errores se van acumulando hasta el punto de poder hacerse intolerables.
Actividades propuestas
27. Redondea
hasta las décimas y halla los errores absoluto y relativo cometidos.
28. Halla una cota del error absoluto en las siguientes aproximaciones: a) 6.3 b) 562 c) 562. 29. Una balanza tiene un error inferior o igual a 50 g en sus medidas. Usamos esa balanza para elaborar 5 paquetes de café de medio kilogramo cada uno que son un lote. Determina el peso mínimo y máximo del lote. ¿Cuál es la cota del error absoluto para el lote?
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2.2. Propiedades de las potencias
Las propiedades de las potencias son:
a) El producto de potencias de la misma base es igual a otra potencia de la misma base y como exponente la suma de los exponentes. an^ ∙ am^ = a m+n
Ejemplo:
32 · 3 4 = (3 · 3) · (3 · 3 · 3 · 3) = 34+2^ = 3^6
b) El cociente de potencias de la misma base es igual a otra potencia que tiene como base la misma, y como exponente la diferencia de los exponentes. an^ : am^ = an − m
Ejemplo:
55 /5^3 = (5 · 5 · 5 · 5 · 5) / (5 · 5 · 5) = 5 5-3^ = 5^2 c) La potencia de una potencia es igual a una potencia de la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. (an^ ) m^ = an^ ∙^ m
Ejemplo:
(7^2 ) 3 = (7 · 7) · (7 · 7) · (7 · 7) = 7^6
d) El producto de potencias de distinta base con el mismo exponente es igual a otra potencia cuya base es el producto de las bases y cuyo exponente es el mismo: an^ · bn^ = (a · b) n
Ejemplo:
32 · 5 2 = (3 · 3) · (5 · 5) = (3 · 5) · (3 · 5) = (3 · 5) 2 e) El cociente de potencias de distinta base y el mismo exponente es igual a otra potencia cuya base es el cociente de las bases y cuyo exponente es el mismo. an^ /bn^ = (a/b)n
Ejemplo:
83 /7^3 = (8 · 8 · 8) / (7 · 7 · 7) = (8/7) · (8/7) · (8/7) = (8/7) 3
Todas estas propiedades de las potencias que se han citado para los exponentes naturales siguen siendo válidas para otros exponentes: negativos, fraccionarios…
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2.3. Potencias de exponente negativo
Definición de potencia de exponente negativo − n y base a :
a − n^ = 1/ an
Esto se justifica ya que se desea que se sigan verificando las propiedades de las potencias:
am/an^ = am − n^. am/am+n^ = a m^ −^ (m + n)^ = a − n^ = 1/an^.
Ejemplo:
5 −^2 es lo mismo que (1/5) 2.
Actividades resueltas:
Calcula las siguientes operaciones con potencias: a) 3^5 · 92 = 3 5 · (3^2 ) 2 = 3^5 · 34 = 3 9 b) (2^3 ) 3 = 2 3 ·^3 = 2^9 c) 5^3 / 5 0 = 5 3 −^0 = 5^3 d) 3^4 /3−^5 = 3 4 −^ (−5)^ = 3 4+5^ = 3^9
Actividades propuestas
31. Efectúa las siguientes operaciones con potencias:
a) ( x + 1) ∙ ( x + 1) 3 b) ( x + 2) 3 : ( x + 2)^4 c) {( x − 1) 3 }^4 d) ( x + 3) ∙ ( x + 3)−^3
32. Calcula las siguientes operaciones con potencias:
a) 2^5 · 42 b) (3^3 ) 3 c) 7^3 / 7 0 d) 4^4 /4−^5 e) 5−^5 · 25 −^2 f) (7−^3 )−^3 g) 4−^3 / 7 0 h) 7−^4 /7−^5
33. Simplifica:
a) (^) 4
2 3
( a b )
a b ⋅
b) (^) 7
8
( 2 1 )
x
x x c) (^) 8 6 3
6 5 2
y z x
y z x ⋅ ⋅
−
− d) (^) 0
7 5
( 3 1 )
x
x x
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3.3. Propiedades de los radicales
Las propiedades de las potencias enunciadas anteriormente para el caso de exponentes fraccionarios, también se pueden aplicar a las raíces:
a) Si multiplicamos el índice de una raíz n por un número p , y a la vez elevamos el radicando a ese número p el valor de la raíz no varía.
Se verifica ∀ p ≠ 0 que:
Demostración:
pn n n
p n. pa p (^) = a. = a^1 = a
Ejemplo:
b) Para multiplicar raíces del mismo índice, se multiplican los radicandos y se halla la raíz de índice común:
Demostración:
Según las propiedades de las potencias de exponentes enteros se verifica que:
n (^) a ⋅ b = a ⋅ b n = an ⋅ bn = na ⋅ nb
1 1 1 ( ) c) Para dividir raíces del mismo índice se dividen los radicandos y se halla la raíz del índice común.
Suponemos que b ≠ 0 para que tenga sentido el cociente.
n n
n b
a b
a (^) = .
Demostración:
Si escribimos:
n
n
n
n n n b
a
b
a b
a b
a = = 1 =
1 1 ( ).
Ejemplo:
a a a a
a a
a (^) = 3 = 3 7 − (^4) = (^3 3) = 4
7 3 4
3 7
d) Para elevar un radical a una potencia basta con elevar el radicando a dicha potencia:
( n^ a ) m =^ n^ am
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Demostración:
Esta propiedad la podemos demostrar como sigue:
( ) n ( m ) n n^ m
m m n (^) a m an = a = a = a
(^11)
e) La raíz de una raíz es igual a la raíz cuyo índice es el producto de los índices: m n (^) a = m. na
Demostración:
Se verifica que:
m n (^) a an m = an ⋅ m (^) = m ⋅ na
1
1 1
Ejemplo:
3 5 (^) x (^15) (^) ⋅ y (^30) = (^15) x (^15) ⋅ y (^30) =( x (^15) ⋅ y (^30) ) (^151) =( x (^15) ) (^151) ⋅( y (^30) ) (^151) = x ⋅ y 2
Actividades resueltas:
Saca factores fuera de la raíz:
Escribe los siguientes radicales como una sola raíz: 6 6 2 6 3
3 4 6 3
6 36 2 6
3
3 18
3
2
3
4 24
(^4) = = = =
Actividades propuestas
34. Calcula:
a) (^3 a^6. b^9 )^2 b) 3 3
c) (^12 ( x + 1 )^3 )^2
35. Halla:
a) 2 4 : (^4 ) 5 y
x y
x (^) b) 3
36. Realiza las siguientes operaciones con radicales:
a) (^4) : (^4 ) (^5) y
x y
x (^) b) ( (^5) ( x + 3 ) (^2) ) 3
