Problema4
a) Encuentretodaslassolucionesdelaecuación𝑐𝑜𝑡(𝑥)= 2−𝑖.
𝑐𝑜𝑡(𝑥)= 1
𝑡𝑎𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑡(𝑥)= 2−𝑖 ⇒ 𝑡𝑎𝑛(𝑥)= 1
2−𝑖
𝑡𝑎𝑛(𝑥)= 1
2−𝑖.2+𝑖
2+𝑖 =2+𝑖
3=2
3+𝑖3
𝑡𝑎𝑛(𝑥)= 2
3+𝑖3
𝑡𝑎𝑛(𝑥)= 𝑠𝑖𝑛(𝑥)
𝑐𝑜𝑠(𝑥) = 2
3+𝑖3
consideramosxensuformacompleja
𝑥=𝑢+𝑖𝑣
𝑡𝑎𝑛(𝑢+𝑖𝑣)= 𝑡𝑎𝑛(𝑢)+𝑖𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑣)
1−𝑖𝑡𝑎𝑛(𝑢)𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑣)
𝑡𝑎𝑛(𝑢)+𝑖𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑣)
1−𝑖𝑡𝑎𝑛(𝑢)𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑣) =2
3+𝑖3
partereal:
𝑡𝑎𝑛(𝑢)= 2
3
parteimaginaria:
𝑡𝑎𝑛ℎ(𝑣)=13
parau:
𝑢=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛 2
3
( )
+𝑛π 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛∈ 𝑍
parav:
𝑣=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛ℎ 13
( )
=12𝑙𝑛 1+13
1−13
( )
=12𝑙𝑛 4/3
2/3
( )
=12𝑙𝑛(2)
𝑣=±12𝑙𝑛(2)
Lassolucionescompletasson:
𝑥=𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛( 2
3)+𝑛π+𝑖±12𝑙𝑛(2)
( )
𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛∈ 𝑍
b)SeaCunacurvacerrada,calculelaintegral
Dadoqueesentero(notienesingularidadesenelplanocomplejo),sepuede
aplicarelteoremadeCauchydirectamente.
●esunpolinomio,queesanalíticoentodoelplanocomplejo.
𝑧2
●esunafunciónexponencial,queesanalíticaentodoelplanocomplejo.
𝑒𝑧2
●esunacombinacióndefuncionesexponenciales,queesanalíticaen
𝑐𝑜𝑠ℎ(𝑧2+1)
todoelplanocomplejo.
