Ejercicios derivadas, Ejercicios de Matemáticas

¡Descarga Ejercicios derivadas y más Ejercicios en PDF de Matemáticas solo en Docsity!

Descargado en:

patatabrava .com

MATEMATIQUES I (UB)

EXERCICS APP DERIVADES

PROF. 12-

Introducció a les matemàtiques

APLICACIONS DE LA DERIVADA

1. Calculeu les equacions de les rectes tangents a les funcions següents en el punt  = 3 : (a)  () = ^2 + 1 (b)  () = ^4 − 3  (c)  () = ^2 −^1

(d)  () = ln (2) (e)  () =

^2 + 6 (f)  () = (2 − 7)^2

2. Estudieu el creixement, decreixement i òptims de les funcions següents: ()  = ^2 + (^2)  ()  = (^) (^4 −−2)^122 ()  = 

2 − 2 ()^ ^ =^

^3 (1+)^2

()  = (^) ^2 − 2 ()  =  · ^ ()  =  + (^) ^12 ()  =  · ln 

3. Una empresa vol llançar un nou producte al mercat i per aquest motiu ha efectuat un estudi de la seva demanda, obtenint que la funció de demanda és:

 = 3000 −

on  representa el nombre d’unitats venudes i  el seu preu de venda. L’esmentada empresa té uns costos fixos de 200.000 u.m. i uns costos variables de 60 u.m. per cada unitat del producte venuda. Es demana:

(a) Determineu les funcions d’ingressos totals i de beneficis d’aquest producte. (b) Calculeu el nivell de producció que maximitza el benefici anterior.

4*. Una empresa de rajoles i mosaics fabrica peces quadrades de diferents mides, a gust del client. Sabem que cada peça té un cost fix de 693 u.m. i un cost variable que és tres cops la superfície en cm^2 de la peça desitjada. L’empresa té per costum vendre cada peça en funció del seu perímetre (suma de les longituds dels costats), essent el preu de venda de 60 u.m. per cm. Es demana.

(a) Calculeu les mides de la peça que maximitzen el benefici unitari. (b) Calculeu, si existeixen, quines no haurien de fabricar-se mai ja que generen pèr- dues.

5*. La funció d’utilitat per a dos productes és  ( ) = ^4 , on   representen el nombre d’unitats consumides, respectivament, del primer i segon producte. El cost unitari de cada producte és, respectivament, de 200 u.m. i 500 u.m. Si es disposa de 5.000 u.m. a consumir totalment entre aquests dos productes, com s’hauria de distribuir aquestes 5.000 u.m. per a obtenir el màxim d’utilitat?

12*. Si s’estima que dintre de  mesos la població d’una certa comunitat serà  () = ^2 + 20 + 8000. Es demana:

(a) Calculeu a quin ritme canviarà la població dintre de 15 mesos. (b) Quan canviarà realment la població durant el setzè mes?

13*. Si el cost total en euros de fabricar  unitats d’un cert article és  () = 3^2 +5+10 Es demana:

(a) Obteniu una fórmula per al cost marginal. (b) Quin és el cost marginal quan s’han produït 50 unitats? (c) Quin és el cost real de producció de la unitat 51?

14*. S’estima que la producció setmanal d’una certa planta és  () = −^3 + 60^2 + 1200 unitats, on  és el nombre de treballadors empleats en la planta. Generalment hi ha 30 treballadors empleats en la planta. Utilitza l’anàlisi marginal per estimar el canvi en al producció setmanal que resultarà d’afegir un treballador més a la força de treball.

15*. S’estima que dintre de  anys, la tirada d’un diari local serà  () = 100^2 +400+5000 Es demana:

(a) Obteniu una expressió per al ritme al que estarà canviant la tirada dintre de  anys. (b) A quin ritme estarà canviant la tirada dintre de 5 anys? Estarà creixent o decreixent? (c) En quant canviarà la tirada durant el sisè any?

16*. Un estudi de productivitat, sobre el torn matinal en una certa fàbrica de components electrònics, indica que un treballador mitjà que arriba al treball a les 8:00 a.m. haurà muntat  () = −^3 + 6^2 + 15 components electrònics  hores després. Es demana:

(a) Obteniu una fórmula per al ritme al que el treballador estarà muntant compo- nents electrònics després de  hores. (b) A quin ritme estarà muntant components electrònics el treballador a les 9:00? (c) Quants components electrònics muntarà realment el treballador entre 9:00 i 10: a.m.?

17*. Els registres indiquen que  anys després de 1999, l’impost mitjà sobre la propietat d’una casa de tres dormitoris en una certa comunitat era de  () = 20^2 + 40 + 600 euros. Es demana:

(a) A quin ritme estava creixent l’impost sobre la propietat en 2003? (b) Quina era la raó percentual a la que estava creixent l’impost de la propietat en 2003?

18*. Un importador de cafè estima que els consumidors locals compraran aproximadament  () = 4  ^3742 quilos de cafè per setmana quan el preu sigui de  euros per quilo. Si s’estima que dintre de  setmanes, el preu del cafè serà de  () = 0 02 ^2 + 0 1  + 6 euros el quilo. A quin ritme estarà canviant la demanda de cafè d’aquí a 10 setmanes?. La demanda estarà creixent o decreixent?

12. (a)  0 (15) = 50 persones per mes.

(b)  (16) −  (15) = 51 persones.

13. (a)  () =  0 () = 6 + 5.

(b)  (50) = 305 euros per unitat (c)  (51) −  (50) = 308 

14.  0 (30) = 2 100 unitats.
15. (a)  0 () = 200 + 400

(b)  0 (5) = 1 400  creixerà en aproximadament 1.400 unitats. (c)  (6) −  (5) = 1 500 unitats.

16. (a)  0 () = − 3 ^2 + 12 + 15

(b)  0 (1) = 24 unitats per hora. (c)  (2) −  (1) = 26 unitats.

17. (a)  0 (4) = 200 euros per any.

(b) Raò percentual de canvi = 100 ·

= 18 52 % per any.

18. La demanda decreix en aproximadament 6 quilos per setmana.