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Preparaci´on para la Olimp´ıada Matem´atica Espa˜nola 2013
DESIGUALDADES
Andr´es S´aez Schwedt, Universidad de Le´on
Documento 2, enero de 2013
Resumen Estas notas est´an inspiradas en el excelente documento “Basics of Olympiad Inequal- ities”, de Samin Riasat, disponible en Internet: http://aam.org.in/st−material/14.pdf. Muchos de los problemas y soluciones son de dicho documento. Resolver desigualdades ol´ımpicas no es tan dif´ıcil, son s´olo 300 trucos que se van repitiendo sistem´aticamente. Imprescindible para resolver un Problema 1 o 4 de una Olimp´ıada: dominar bien la de- sigualdad de las medias, algunos trucos elementales, y trabajar con restricciones. Muy recomendable para defenderse ante un Problema 2 o 5: Cauchy-Schwarz y reordenaci´on. Menos urgente: Chebyshev y H¨older, aunque apenas supone un esfuerzo extra si ya se saben Cauchy y reordenaci´on. Para pelear un Problema 3 o 6: Schur y Jensen. Y adem´as de t´ecnica... ,... , bastante (a + sue)rte. Orden sugerido de estudio: secciones obligatorias 1.1, 1.2, 4.1, 4.2, 2.1, 3.1, menos urgentes 2.2, 3.2, optativas 1.4, 5.1, 5.2. Y muchos ejercicios.
´Indice
- Desigualdades de las medias
- 1.1. Media aritm´etica vs. geom´etrica
- 1.2. Fuerza bruta
- 1.3. Ejercicios
- 1.4. (Opcional) Sucesi´on creciente de medias y polinomios sim´etricos
- Desigualdades de Cauchy-Schwarz y H¨older
- 2.1. Cauchy-Schwarz
- 2.2. (Menos urgente) H¨older
- 2.3. Ejercicios
- Desigualdades de reordenaci´on y de Chebyshev
- 3.1. Reordenaci´on
- 3.2. (Menos urgente) Chebyshev
- 3.3. Ejercicios
- T´ecnicas, estrategias, cambios de variable.
- 4.1. Algunos cambios de variable
- 4.2. Desigualdades con restricciones
- (Opcional) Desigualdades de Schur y Jensen
- Problemas suplementarios
- Sugerencias para algunos ejercicios
Si no se impone la condi´on de suma 1: w^1 wa^11 ++······++wwnna n≥ (aw 1 1 · · · aw n n)
1 w 1 +···+wn
Observar que si todos los pesos son iguales wi = (^1) n , se tiene la desigualdad ya conocida. Veamos un ejemplo para tres n´umeros a, b, c con pesos 16 + 13 + 12 = 1.
a
1 (^6) b 2 (^6) c 3 (^6) =
ab^2 c^3
)^16
abbccc ≤
a + b + b + c + c + c 6
a +
b +
c
Si los pesos wi del teorema anterior son n´umeros racionales, la t´ecnica ilustrada en el ejemplo permite demostrar la desigualdad, sin m´as que expresar las fracciones con un denominador com´un. Si los pesos son irracionales, la desigualdad se demuestra con t´ecnicas que sobrepasan el contenido de estos apuntes.
Problema 1.8 Si a, b, c ≥ 0 , demostrar que a^2 b+b^2 c+c^2 a ≤ a^3 +b^3 +c^3. Pista: usar acotaciones del estilo a^2 b = 3
a^3 a^3 b^3 ≤ a
(^3) +a (^3) +b 3 3...^ o proceder como en el Problema 1.4.
1.2. Fuerza bruta
Muchas veces lo primero que se nos ocurre para demostrar una desigualdad es elimi- nar denominadores y transformarla en una desigualdad equivalente del tipo unpolinomio > otropolinomio. A menudo estos polinomios son sim´etricos en las variables, por ejemplo:
a + b + c, a^2 + b^2 + c^2 , a^2 b + a^2 c + b^2 c + b^2 a + c^2 a + c^2 b, a^3 + b^3 + c^3 , abc,...
Sumas sim´etricas y sumas c´ıclicas.- Utilizaremos el s´ımbolo
sim para denotar una suma sim´etrica de t´erminos “similares”, donde aparecen todas las posibles permutaciones de las variables. Tambi´en es importante cuan- do s´∑ olo aparecen algunas permutaciones que se repiten en orden c´ıclico, en ese caso escribiremos
. Por ejemplo, para 3 variables a, b, c: ∑ a^3 = a^3 + b^3 + c^3 ∑
sim
a^2 b = a^2 b + a^2 c + b^2 c + b^2 a + c^2 a + c^2 b ∑ a^3 b = a^3 b + b^3 c + c^3 a ∑ (^) a a + c
a a + c
b b + a
c c + b
Al comparar dos bloques sim´etricos de igual grado, necesitamos un criterio para saber si alguno es siempre mayor o igual que el otro. Esto siempre es posible si la secuencia de exponentes de un bloque mayora a la del otro. Sucesiones mayorantes. Dadas dos sucesiones {x 1 ≥ x 2 ≥ · · · ≥ xk}, {y 1 ≥ y 2 ≥ · · · ≥ yk}, decimos que {xi} mayora a {yi} si x 1 + · · · + xi ≥ y 1 + · · · + yi para todo i ≤ k, y se da la igualdad para i = k. Por ejemplo, (4, 2 , 0) mayora a (3, 2 , 1) porque 4 ≥ 3 , 4 + 2 ≥ 3 + 2 y 4 + 2 + 0 = 3 + 2 + 1. En estas condiciones, la suma de todos los t´erminos en 3 variables con exponentes (4, 2 , 0)
es mayor que la suma de los t´erminos con exponentes (3, 2 , 1), es decir
sim
a^4 b^2 ≥
sim
a^3 b^2 c:
a^4 b^2 + a^4 c^2 + b^4 c^2 + b^4 a^2 + c^4 a^2 + c^4 b^2 ≥ a^3 b^2 c + a^3 c^2 b + b^3 c^2 a + b^3 a^2 c + c^3 a^2 b + c^3 b^2 a
Veamos c´omo acotar uno de los t´erminos de la derecha:
a^3 b^2 c = b^2 (a^3 c) = b^2
a^4 a^4 a^4 c^4 ︸︷︷︸≤ medias
b^2 (
a^4 + a^4 + a^4 + c^4 4
b^2 a^4 +
b^2 c^4
Se repite la jugada con los restantes t´erminos y se suman todas las desigualdades. M´as ejemplos de acotaciones:
a^3 bc = (a^5 )
3 (^5) (b^5 ) 1 (^5) (c^5 ) 1 (^5) ≤ 3 5
a^5 +
b^5 +
c^5
a^3 bc = a^3 (bc) ≤ a^3
b^2 +
c^2
a^3 b^2 +
a^3 c^2
Cuidado si se mezclan sumas sim´etricas y c´ıclicas! Hay que comprobar el n´umero de t´erminos de cada expresi´on: por ejemplo, (3, 0 , 0) mayora a (2, 1 , 0), pero la suma
a^3 tiene 3 t´erminos y la suma
sim a
(^2) b tiene 6. En este caso no se cumple ∑^ a (^3) ≥ ∑ sim a
(^2) b sino 2 ∑^ a (^3) ≥ ∑ sim a
(^2) b.
Problema 1.9 Demostrar que
sim
a^12 b^9 c^3 ≥
sim
a^11 b^10 c^3.
Soluci´on. a^12 b^9 c^3 + a^9 b^12 c^3 = c^3 a^9 b^9 (a^3 + b^3 ) ≥ c^3 a^9 b^9 (a^2 b + ab^2 ) = a^11 b^10 c^3 + a^10 b^11 c^3 , donde la desigualdad es consecuencia del Problema 1.4. Procediendo de forma similar con los dem´as t´erminos se tiene el resultado. Si una secuencia mayora a otra, siempre se puede pasar de una a la otra mediante una cadena de mayoraciones, en cada paso se reemplaza una pareja de exponentes (i > j) por (i − 1 ≥ j + 1), y los restantes exponentes quedan fijos. Por ejemplo:
(12, 9 , 3) > (11, 10 , 3) > (11, 9 , 4) > (11, 8 , 5) > (11, 7 , 6)
Aplicando repetidamente los resultados previos se ve que
sim a
(^12) b (^9) c (^3) ≥ ∑ sim a
(^11) b (^7) c (^6). Es
sorprendente la gran cantidad de desigualdades que son “brutalizables”, es decir, susceptibles de ser atacadas por fuerza bruta mediante esta t´ecnica. ¿Y si falla la simetr´ıa o faltan t´erminos? Para demostrar que a^3 b + b^3 c + c^3 a ≥ abc(a + b + c), a pesar de que la secuencia (3, 1 , 0) mayora a (2, 1 , 1), no intervienen todos los t´erminos de tipo (3, 1 , 0). ¿C´omo proceder en este caso? Si existieran pesos positivos x, y, z tales que x+y +z = 1 y a^2 bc = (a^3 b)x^ + (b^3 c)y(c^3 a)z^ , ser´ıa muy bueno porque podr´ıamos aplicar la desigualdad de las medias con pesos y acotar a^2 bc ≤ x(a^3 b) + y(b^3 c) + z(c^3 a). Se debe resolver el sistema de ecuaciones que resulta de igualar los pesos de a, b, c en la igualdad a^2 bc = (a^3 b)x^ + (b^3 c) + (c^3 a)z^ , es decir, { 3 x + z = 2, 3 y + x = 1, 3 z + y = 1}, y ver si las soluciones salen positivas ... en este caso hay suerte: x = 4/ 7 , y = 1/ 7 , z = 2/7, podemos acotar
a^2 bc ≤
4 a^3 b + b^3 c + 2c^3 a 7
, b^2 ca ≤
4 b^3 c + c^3 a + 2a^3 b 7
, c^2 ab ≤
4 c^3 a + a^3 b + 2b^3 c 7
y sumar todas las desigualdades, pero en general la t´ecnica de las secuencias mayorantes no est´a garantizado que funcione cuando faltan t´erminos. Por otra parte, hay ocasiones en las cuales se puede demostrar una desigualdad aunque el criterio de mayoraci´on no sea aplicable, como por ejemplo:
a^5 b + ab^5 + 2a^3 b^3 ≥ 2(a^4 b^2 + a^2 b^4 )
Los t´erminos a^3 b^3 tienen exponentes (3, 3), son “m´as d´ebiles” que los de tipo (4, 2), sin embargo se puede incluir a los d´ebiles en un equipo fuerte, como muestra esta sencilla aplicaci´on de la desigualdad de las medias: a^5 b + a^3 b^3 ≥ 2
a^8 b^4 = 2a^4 b^2. No siempre las desigualdades son homog´eneas, por ejemplo:
1.4. (Opcional) Sucesi´on creciente de medias y polinomios sim´etricos
Teorema 1.23 (Sucesi´on creciente de medias) Dados a 1 ,... , an ≥ 0 y un n´umero real
r > 0 , se define μr =
ar 1 +···+arn n
)^1 r
. Entonces, μr ≤ μs si r ≤ s. Por ejemplo, para tres n´umeros
a, b, c y los valores de r : 12 < 1 < 2 < 3 tenemos:
(√ a +
b +
c 3
a + b + c 3
a^2 + b^2 + c^2 3
3
a^3 + b^3 + c^3 3
Teorema 1.24 (Generalizaci´on) Si r = 0, por convenio se define μ 0 como la media ge- om´etrica. Si r < 0 , μr se define exactamente igual que en el teorema anterior, y se sigue cumpliendo que μr ≤ μs si r ≤ s.
Algunas medias μr son ya conocidas: para r = 1 se tiene la media aritm´etica, para r = 0 la geom´etrica, y para r = −1 la arm´onica. La media para r = 2 suele denominarse media cuadr´atica. Para ciertos elementos a 1 ,... , an fijos, cuando r var´ıa entre 0 y 1 se tiene una familia infinita de medias μr situadas entre la geom´etrica y la aritm´etica. La sucesi´on creciente de medias tambi´en admite una versi´on con pesos. Por ejemplo, para los n´umeros {a, b, c} con pesos {a, b, c} y valores de r {^12 , 1 , 2 } tenemos:
( a(
a) + b(
b) + c(
c) a + b + c
a(a) + b(b) + c(c) a + b + c
a(a^2 ) + b(b^2 ) + c(c^2 ) a + b + c
Utilizando pesos en otro orden, por ejemplo b, c, a, se tendr´ıa:
( b(
a) + c(
b) + a(
c) b + c + a
b(a) + c(b) + a(c) b + c + a
b(a^2 ) + c(b^2 ) + a(c^2 ) b + c + a
Polinomios sim´etricos
Estos resultados que veremos para 4 variables se pueden generalizar para n variables. Con- sideramos el desarrollo en potencias de x del siguiente polinomio sim´etrico en a, b, c, d.
(x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = x^4 + ( ︸a + b +︷︷ c + d︸) s 1
x^3 + ( ︸ab + ac + ad (^) ︷︷+ bc + bd + cd)︸ s 2
x^2 + ( ︸abc + abd +︷︷ acd + bcd)︸ s 3
x + abcd ︸ ︷︷ ︸ s 4
Se definen los siguientes “promedios ”, dividiendo cada si por el n´umero de sumandos que contiene: d 1 = s 41 , d 2 = s 62 , d 3 = s 43 y d 4 = s 4. Entonces se tiene:
N ewton : d^22 ≥ d 1 d 3 , d^23 ≥ d 2 d 4 (d^2 i ≥ di− 1 di+1) M c.Laurin : d 1 ≥
d 2 ≥ 3
d 3 ≥ 4
d 4
Para n n´umeros fijos a 1 ,... , an, la sucesi´on de medias de Mc. Laurin est´an todas compren- didas entre la media aritm´etica d 1 y la media geom´etrica n
dn.
- Desigualdades de Cauchy-Schwarz y H¨older
2.1. Cauchy-Schwarz
Teorema 2.1 (Desigualdad de Cauchy-Schwarz) Para cualesquiera n´umeros reales a 1 ,... , an y b 1 ,... , bn, se tiene que
(a^21 + · · · + a^2 n)(b^21 + · · · + b^2 n) ≥ (a 1 b 1 + · · · + anbn)^2
La igualdad ocurre si las sucesiones son proporcionales, es decir a b 11 = a b^22 = · · · = a bnn.
Por ejemplo, podemos redemostrar un resultado ya conocido: ab + bc + ca ≤ (a^2 + b^2 + c^2 ). En efecto: (ab + bc + ca)^2 ≤ (a^2 + b^2 + c^2 )(b^2 + c^2 + a^2 )
Problema 2.2 Si a, b, c son positivos, demostrar que (a + b + c)^2 ≤ 3(a^2 + b^2 + c^2 )
Soluci´on. (a + b + c)^2 = (a · 1 + b · 1 + c · 1)^2 ≤ (a^2 + b^2 + c^2 ) · (1^2 + 1^2 + 1^2 ).
Esta desigualdad es muy ´util para “sumar el contenido de las ra´ıces”, por ejemplo:
Problema 2.3 Si a, b, c > 0 , probar que
√ 2 a+b+√ 2 b+c+√ 2 c+a √a+b+c ≤ 3.
Soluci´on. Es consecuencia inmediata de lo siguiente:
1 ·
2 a + b + 1 ·
2 b + c + 1 ·
2 c + a ≤
12 + 1^2 + 1^2 ·
2 a + b + 2b + c + 2c + a
3(a + b + c)
a + b + c
Problema 2.4 Probar que
3 x^2 + xy +
3 y^2 + yz +
3 z^2 + zx ≤ 2(x + y + z)
Soluci´on.
x(3x + y) ≤
x
(3x + y) =
(x + y + z)(4x + 4y + 4z) = 2(x + y + z) Otro truco: a veces se descompone un producto en factores convenientes. Por ejemplo, para probar que (ab + bc + ca)^2 ≤ (a + b + c)(ab^2 + bc^2 + ca^2 ), se escribe ab como
a
ab^2 ,.... A veces (no muchas) tenemos suerte y podemos resolver una desigualdad en varias etapas encadenando sucesivas acotaciones, como en el siguiente ejemplo.
Problema 2.5 Si a, b, c son positivos, probar que (a^2 b + b^2 c + c^2 a)^2 ≤ (a
(^2) +b (^2) +c (^2) ) 3 3
(a^2 b + b^2 c + c^2 a)^2 = (a(ab) + b(bc) + c(ca))^2 ≤ (a^2 + b^2 + c^2 )((ab)^2 + (bc)^2 + (ca)^2 )
≤ (a^2 + b^2 + c^2 )
(a^2 + b^2 + c^2 )^2 3 La desigualdad de Cauchy-Schwarz admite otra formulaci´on equivalente, que es muy ´util para “sumar denominadores”.
Teorema 2.6 (Cauchy-Schwarz en forma de Engel) Para n´umeros a 1 ,... , an arbitrarios y b 1 ,... , bn positivos,
a^21 b 1
a^22 b 2
a^2 n bn
(a 1 + · · · + an)^2 (b 1 + · · · + bn)
Mmhhh ... eeehh ... no parece demasiado f´acil de entender, ¿no? Veamos un caso particular con las secuencias de n´umeros positivos {a, b, c}, {p, q, r}, {x, y, z}:
(a + b + c)(p + q + r)(x + y + z) ≥ ( 3
apx + 3
bqy + 3
crz)^3
con otras variables: (a^3 + b^3 + c^3 )(p^3 + q^3 + r^3 )(x^3 + y^3 + z^3 ) ≥ (apx + bqy + crz)^3
La forma t´ıpica de aplicar la desigualdad de H¨older es hacer aparecer en los numeradores una potencia exacta, multiplicando por factores convenientes. Por ejemplo, para demostrar la de-
sigualdad a 2 b +^
b^2 c +^
c^2 a ≥^
3(a^2 + b^2 + c^2 ) (que tanto trabajo cost´o), simplemente expresamos a^2 b
a^2 b (a
(^2) b (^2) ) = (a (^2) ) (^3) , por lo tanto al hacer la suma c´ıclica y aplicar H¨older se tiene
∑ (^) a^2 b
∑ (^) a^2 b
a^2 b^2 ) ≥
a^2 a^2 a^2 b^2 b · b
a^2 )^3 ,
con lo cual hemos probado que (
∑ (^) a 2 b )
(^2) ≥ (a^2 ∑+b 2 +c^2 )^3 a^2 b^2 , es decir (
∑ (^) a 2 b )
(^2) ≥ (a+b+c)^3 a^2 b^2 +b^2 c^2 +c^2 a^2 ,^ que es ≥ 3(a^2 + b^2 + c^2 ) porque porque (a^2 + b^2 + c^2 )^2 ≥ 3(a^2 b^2 + b^2 c^2 + c^2 a^2 ). El truco de repetir la expresi´on que queremos acotar puede ser ´util para cancelar ra´ıces, como en el siguiente ejemplo.
Problema 2.11 Sea f = √aa+2b + √bb+2c + √c+2c a , donde a, b, c > 0. Probar que f ≥
a + b + c.
Soluci´on. (
∑ (^) a √ a + 2b
f
a √ a + 2b
f
a(a + 2b)) ≥ (
a)^3 , entonces f 2 es mayor o igual
que (a+b+c)
3 a(a+2b)+b(b+2c)+c(c+2a) =^
(a+b+c)^3 (a+b+c)^2 =^ a^ +^ b^ +^ c, lo que quer´ıamos demostrar.
Teorema 2.12 (Desigualdad de H¨older: otra formulaci´on) Si a 1 ,... , an, b 1... bn y p, q son positivos y (^1) p + (^1) q = 1, entonces
a 1 b 1 + · · · + anbn ≤ (ap 1 + · · · + apn)
1 p (^) · (bq 1 + · · · + bqn) 1 q
Cuando p = q = 2, se tiene Cauchy-Schwarz.
Veamos c´omo demostrar esta nueva formulaci´on de H¨older a partir de la desigualdad inicial, suponiendo por ejemplo p = 53 , q = 52 , con 1/p + 1/q = 1.
(a^5 + b^5 )^3 (x^5 + y^5 )^2 = (a^5 + b^5 )(a^5 + b^5 )(a^5 + b^5 )(x^5 + y^5 )(x^5 + y^5 ) ≥ (a^3 x^2 + b^3 y^2 )^5 (por H¨older) elevando a 1/5: (a^5 + b^5 )
(^35) (x^5 + y^5 )
(^25) ≥ a^3 x^2 + b^3 y^2 luego (a^5 /^3 + b^5 /^3 )
(^35) (x^5 /^2 + y^5 /^2 )
(^25) ≥ ax + by,
tras reemplazar en el ´ultimo paso las variables {a, b, x, y} por {a (^13) , b (^13) , x (^12) , y (^12) }. En particular, para cualesquiera a, b, x, y, m, n positivos se tiene
(am+n^ + bm+n)m(xm+n^ + ym+n)n^ ≥ (amxn^ + bmyn)m+n
2.3. Ejercicios
En los primeros ejercicios intentar Cauchy-Schwarz y en los ´ultimos H¨older, aunque algunos pueden requerir la aplicaci´on de las dos desigualdades y/o la realizaci´on de varias etapas. Y por supuesto, la desigualdad de las medias siempre ayuda.
Problema 2.13 Redemostrar algunos de los ejercicios ya resueltos en la secci´on anterior.
Problema 2.14 Si a, b, c ≥ 0 , probar que a
b + b
c + c
a ≤
a + b + c
a^2 + b^2 + c^2.
Problema 2.15 Sean a, b, c, d n´umeros reales positivos. Probar que
a b + c
b c + d
c d + a
d a + b
Problema 2.16 Si a, b, c > 0 , probar que
( (^) a a+2b
( (^) b b+2c
( (^) c c+2a
Problema 2.17 Si a, b, c > 0 , demostrar las desigualdades
a + b 2 a + b
b + c 2 b + c
c + a 2 c + a
Problema 2.18 (OME 2008) Demostrar que para cualesquiera n´umeros reales a, b tales que 0 < a, b < 1 , se cumple la desigualdad siguiente:
√ ab^2 + a^2 b +
(1 − a)(1 − b)^2 + (1 − a)^2 (1 − b) <
Problema 2.19 Si a, b, c, m, n > 0 , demostrar la desigualdad
a mb + nc
b mc + na
c ma + nb
m + n
Problema 2.20 Si a, b, c, x, y, z son positivos, demostrar que se cumple la desigualdad:
(a^4 x^3 + b^4 y^3 + c^4 z^3 )^7 ≤ (a^7 + b^7 + c^7 )^4 (x^7 + y^7 + z^7 )^3
Problema 2.21 Para a, b, c, x, y, z positivos, se verifica a
3 x +^
b^3 y +^
c^3 z ≥^
(a+b+c)^3 3(x+y+z)
Problema 2.22 Si a, b, c > 0 probar que a 6 b^2 +c^2 +^
b^6 c^2 +a^2 +^
c^6 a^2 +b^2 ≥^
abc(a+b+c) 2
Problema 2.23 Si a, b, c > 0 probar que √abab+2c 2 + √bcbc+2a 2 + √caca+2b 2 ≥
ab + bc + ca
3.2. (Menos urgente) Chebyshev
La desigualdad de Chebyshev es una consecuencia inmediata de la de reordenaci´on. Omitir si se disponde de poco tiempo.
Teorema 3.3 (Desigualdad de Chebyshev) Sean {ai}ni=1 y {bi}ni=1 dos sucesiones de n´umeros positivos. Entonces se tiene:
Si las sucesiones est´an ordenadas de la misma manera,
a 1 b 1 +a 2 b 2 +···+anbn n ≥^
a 1 +a 2 +···+an n ·^
b 1 +b 2 +···+bn n
Si las sucesiones est´an en orden inverso,
a 1 b 1 +a 2 b 2 +···+anbn n ≤^
a 1 +a 2 +···+an n ·^
b 1 +b 2 +···+bn n
Por ejemplo, si {a ≤ b ≤ c} y {p ≤ q ≤ r}, entonces por la desigualdad de reordenaci´on
ap + bq + cr = ap + bq + cr ap + bq + cr ≥ aq + br + cp ap + bq + cr ≥ ar + bp + cq
Sumando todas las desigualdades se obtiene 3(ap + bq + cr) ≥ (a + b + c)(p + q + r). Y de forma an´aloga se demuestra que 3(ar + bq + cp) ≤ (a + b + c)(p + q + r). El poder principal de la desigualdad de Chebyshev radica en su habilidad para separar una suma de t´erminos complicados en un producto de dos sumas m´as sencillas, como se ver´a a continuaci´on.
Problema 3.4 Si x, y, z > 0 , demostrar que x
2 y+z +^
y^2 z+x +^
z^2 x+y ≥^
x+y+z
Soluci´on. Podemos suponer sin p´erdida de gerenalidad la ordenaci´on x ≤ y ≤ z, en cuyo caso 1 y+z ≤^
1 z+x ≤^
1 x+y , y tambi´en^
x y+z ≤^
y z+x ≤^
z x+y. Se puede aplicar Chebyshev (y luego Nesbitt):
x^2 y + z
y^2 z + x
z^2 x + y
(x + y + z) 3
x y + z
y z + x
z x + y
≥ (^32)
x + y + z 2
Problema 3.5 Si a, b, c ≥ 0 , probar que 3(a^3 + b^3 + c^3 ) ≥ (a + b + c)(a^2 + b^2 + c^2 ).
Soluci´on. Aplicar Chebyshev a las sucesiones (a, b, c) y (a^2 , b^2 , c^2 ) que tienen el mismo orden.
Problema 3.6 Si (a ≥ b ≥ c > 0), (0 < x ≤ y ≤ z), probar que a x + (^) yb + c z ≥ 3
a+b+c x+y+z
Soluci´on. Aplicar Chebyshev a las sucesiones (a, b, c), ( (^1) x , (^1) y , (^1) z ) y luego dos veces las medias.
a x
b y
c z
a + b + c 3
x
y
z
≥ (a + b + c) 3
xyz
3(a + b + c) x + y + z
3.3. Ejercicios
Problema 3.7 Para a, b, c > 0 , demostrar que ab c + bc a + ca b ≥ a + b + c
Problema 3.8 Para a, b, c > 0 , demostrar que a (^8) +b (^8) +c 8 a^3 b^3 c^3 ≥^
1 a +^
1 b +^
1 c
Problema 3.9 Si a, b, c > 0 , probar que (^) b(ba+c) + (^) c(cb+a) + (^) a(ac+b) ≥ (^) b+^1 c + (^) c+^1 a + (^) a^1 +b
Problema 3.10 Sean a 1 ,... , an > 0 y k ≥ 1. Probar que k
ak 1 +···+akn n ≥^
a 1 +···+an n
Problema 3.11 Si a ≥ b ≥ c ≥ d, x ≤ y ≤ z ≤ w, demostrar que
a x
b y
c z
d w
a + b + c + d √ (^4) xyzw
Problema 3.12 Si a, b, c > 0 , probar que a 2 b+c +^
b^2 c+a +^
c^2 a+b ≥
3(a^2 +b^2 +c^2 ) 2
Problema 4.5 (Lados de un tri´angulo) Sean a, b, c las longitudes de un tri´angulo. De- mostrar que: 3 2
a b + c
b c + a
c a + b
El primer signo ≤ corresponde a la desigualdad de Nesbitt, v´alida para a, b, c > 0 arbitrarios. Para la segunda desigualdad, realizamos el cambio de variable est´andar para trabajar con los lados de un tri´angulo: {a = y + z, b = x + z, c = x + y}
Las cantidades positivas {x = b+c 2 − a, x = c+a 2 −b, x = a+ 2 b− c} se interpretan geom´etricamente como las distancias entre los v´ertices y los puntos de contacto con la circunferencia inscrita. Resolvemos por fuerza bruta.
2 −
a b + c
b c + a
c a + b
y + z 2 x + y + z
z + x 2 y + z + x
x + y 2 z + x + y
=
3(x^2 y + x^2 z + y^2 z + y^2 x + z^2 x + z^2 y + 14xyz) (2x + y + z)(2y + z + x)(2z + x + y)
A pesar de que la segunda desigualdad es estricta, la cota 2 no se puede mejorar. En efecto, si b = c son iguales y mucho mayores que a (se forma un tri´angulo is´osceles de base cada vez menor), entonces la expresi´on estudiada se acerca a 2 tanto como se quiera.
Problema 4.6 (Eliminar ra´ıces) Si a, b, c > 0 , demostrar que a b + b c + (^) ac ≥ a+√ 3 babc+c
Soluci´on.
Reemplazando (a, b, c) por (a^3 , b^3 , c^3 ) :
a^3 b^3
b^3 c^3
c^3 a^3
a^3 + b^3 + c^3 abc eliminando denominadores: a^6 c^3 + b^6 a^3 + c^6 b^3 ≥ a^5 b^2 c^2 + b^5 c^2 a^2 + c^5 a^2 b^2 acotamos por las medias: a (^6) c (^3) +a (^6) c (^3) +b (^6) a 3 3 ≥^
√ (^3) a (^15) b (^6) c (^6) = a (^5) b (^2) c 2
b^6 a^3 +b^6 a^3 +c^6 b^3 3 ≥^
√ (^3) b (^15) c (^6) a (^6) = b (^5) c (^2) a 2
c^6 b^3 +c^6 b^3 +a^6 c^3 3 ≥^
√ (^3) c (^15) a (^6) b (^6) = c (^5) a (^2) b 2
Problema 4.7 (Eliminar ra´ıces II: normalizar) Normalizar la desigualdad anterior.
Soluci´on. Observar que la desigualdad anterior es homog´enea en a, b, c, quiere decir que si se reescalan las variables multiplic´andolas por una constante (reemplazar (a, b, c) por (ta, tb, tc)) se obtiene otra vez la misma desigualdad. Por lo tanto, podemos reescalar como mejor nos conven- ga, suponer a + b + c = constante, o abc = constante. En este caso, lo mejor es suponer abc = 1 para eliminar la ra´ız c´ubica. Ver la soluci´on en el apartado Desigualdades con restricciones.
Problema 4.8 (Homogeneizar) Si a, b, c son n´umeros no negativos con a + b + c = 3, probar
que a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca ≥ 6.
Ante una desigualdad con una restricci´on como en este caso, puede ser interesante homogeneizar la desigualdad, introduciendo un t´ermino de grado adecuado que valga 1 de acuerdo a la re- stricci´on. En este caso, necesitamos colocar a la derecha un t´ermino de grado 2 que valga 1.
Dado que a + b + c = 3, el t´ermino buscado es (a+b+c)
2 9 , y la desigualdad homogeneizada es
a^2 + b^2 + c^2 + ab + bc + ca ≥ 6 ·
(a + b + c)^2 9
que se resuelve de forma sencilla con Cauchy-Schwarz o las medias. Se pueden combinar las t´ecnicas de normalizar y homogeneizar: primero normalizar un t´ermino “feo”, y despu´es homo- geneizar de otra manera. En el apartado siguiente se ver´a c´omo trabajar con restricciones.
4.2. Desigualdades con restricciones
Problema 4.9 (Producto constante) Si abc = 1, probar que a b + b c + (^) ac ≥ a + b + c
Soluci´on. El cambio de variable (a = x/y, b = y/z, c = z/x) es muy ´util para restricciones del tipo abc = 1. El resultado es una nueva desigualdad homog´enea (todos los t´erminos de grado constante): y z x^2
x z y^2
z x
y z
x y z^2
x y
y^3 z^3 − x y^2 z^3 + x^3 z^3 − x^3 y z^2 − x^2 y^3 z + x^3 y^3 x^2 y^2 z^2
que se resuelve por la desigualdad de las medias (ya que (3, 3 , 0) mayora a (3, 2 , 1)).
Problema 4.10 (Producto constante II) Si abc = 1, probar que a^2 + b^2 + c^2 ≥ a + b + c
Soluci´on. Otra vez hacemos el cambio (a = x/y, b = y/z, c = z/x), resultando la desigualdad equivalente y^2 z^4 + x^4 z^2 + x^2 y^4 x^2 y^2 z^2
y z^2 + x^2 z + x y^2 x y z
Eliminando denominadores, debemos probar que x^2 y^4 + y^2 z^4 + z^2 x^4 ≥ x^3 yz^2 + y^3 zx^2 + z^3 xy^2. Intentamos expresar xy^2 z^3 = (x^2 y^4 )k(y^2 z^4 )l(z^2 x^4 )m, para lo cual debemos igualar los pesos de x, y, z en dicha expresi´on y resolver un sistema { 2 k + 4m = 1, 4 k + 2l = 2, 4 l + 2m = 3}. La soluci´on es k = 1/ 6 , l = 2/ 3 , m = 1/6, lo cual permite acotar xy^2 z^3 ≤ 16 x^2 y^4 + 23 y^2 z^4 + 16 z^2 x^4 , yz^2 x^3 ≤ 16 x^2 z^4 + 23 z^2 x^4 + 16 x^2 y^4 , zx^2 y^3 ≤ 16 x^2 x^4 + 23 x^2 y^4 + 16 y^2 z^4 , concluyendo la soluci´on. En este caso el cambio est´andar destruy´o la simetr´ıa en a, b, c y transform´o la desigualdad en una desigualdad c´ıclica, m´as dif´ıcil de probar utilizando las medias. Veremos otro procedimiento alternativo que preserva la simetr´ıa, a costa de trabajar con grados m´as elevados. Primero se homogeneiza la desigualdad introduciendo en el lado derecho un t´ermino de grado 1 y con valor 1, es decir 3
abc = 1:
a^2 + b^2 + c^2 ≥ (a + b + c)
abc
Reemplazando (a, b, c) por (a^3 , b^3 , c^3 ) : a^6 + b^6 + c^6 ≥ (a^3 + b^3 + c^3 )abc
Esta desigualdad es inmediata porque la sucesi´on (6, 0 , 0) mayora a (4, 1 , 1). Tercera soluci´on: sumar 3 veces 1 y demostrar que a^2 + 1 + b^2 + 1 + c^2 + 1 ≥ a + b + c + 3. Usar las medias a^2 + 1 ≥ 2 a.. ., y otra vez las medias a + b + c ≥ 3 3
abc = 3, sustituyendo en el lugar adecuado a + b + c = 3.
Problema 4.11 (Producto constante III) Si abc = 1, probar que
1 a^3 (b+c) +^
1 b^3 (c+a) +^
1 c^3 (a+b) ≥^
3
Soluci´on. Los denominadores son feos, tienen grado alto. Si primero reemplazamos las variables a, b, c por p = 1/a, q = 1/b, r = 1/c, las nuevas variables p, q, r cumplen la restricci´on pqr = 1 y la desigualdad es m´as sencilla de resolver (queda como ejercicio).
Soluci´on. Primer intento: eliminar ra´ıces con el cambio (a^2 = y + z, b^2 = z + x, c^2 = x + y), con cambio inverso (x = b
(^2) +c (^2) −a 2 2 a , y^ =^
c^2 +a^2 −b^2 2 b , z^ =^
a^2 +b^2 −c^2 2 c ). Dado que^ a
(^2) + b (^2) + c (^2) = 2(x + y + z),
debemos probar que:
b^2 + c^2 − a^2 2 a
c^2 + a^2 − b^2 2 b
a^2 + b^2 − c^2 2 c
3(a^2 + b^2 + c^2 )
multiplicando por 2:
b^2 + c^2 − a^2 a
c^2 + a^2 − b^2 b
a^2 + b^2 − c^2 c
3(a^2 + b^2 + c^2 )
Sumamos 2(a + b + c) para sacar factor com´un a^2 + b^2 + c^2 (un viejo truco):
(a^2 + b^2 + c^2 )
a
b
c
≥ 2(a + b + c) +
3(a^2 + b^2 + c^2 )
Sabemos que
a^2 +b^2 +c^2 3 ≥^
a+b+c 3 ⇒^2
3(a^2 + b^2 + b^2 ) ≥ 2(a + b + c). Demostraremos una
desigualdad m´as fuerte que la deseada:
(a^2 + b^2 + c^2 )
a
b
c
3(a^2 + b^2 + c^2 )
a^2 + b^2 + c^2
a
b
c
que es consecuencia inmediata de la desigualdad de las medias (comprobarlo). Segunda soluci´on: aplicar H¨older para eliminar las ra´ıces del denominador, reptiendo dos veces la expresi´on f =
∑ (^) x √y+z y multiplicando por el factor
x(y + z) para completar cubos en el numerador: ∑ (^) x √ y + z ︸ ︷︷ ︸ f
∑ (^) x √ y + z ︸ ︷︷ ︸ f
x(y + z) ≥ (x + y + z)^3 ⇒ f 2 ≥
(x + y + z)^3 2(xy + xz + yz)
3(x + y + z) 2
porque (x + y + z)^2 ≥ 3(xy + xz + yz). Tercera soluci´on: aplicar Jensen a la funci´on f (x) = √^1 x , que es decreciente y f ′′(x) > 0 (ver
la siguiente secci´on). La siguiente desigualdad fue propuesta recientemente en una fase nacional. Proponemos varias posibles soluciones, ninguna es f´acil!
Problema 4.16 (OME 2011) Si a, b, c > 0 , demostrar que
a b + c
b c + a
c a + b
ab + bc + ca a^2 + b^2 + c^2
Soluci´on. La principal dificultad de este problema es que la expresi´on N = (^) b+ac + (^) c+ba + (^) a+cb
es ≥ 32 , mientras que L = ab a 2 ++bcb 2 ++cac 2 es ≤ 1. Si nos alejamos del punto de equilibrio a = b = c,
N crece pero L decrece, y debemos demostrar que N +
L ≥ 52 , lo cual no es nada sencillo.
Debemos encontrar expresiones
L ≥ algo, algo que no tenga radicales. a) Para aplicar la desigualdad de las medias debemos comparar dos cantidades que sean iguales en el caso de igualdad a = b = c, para lo cual restamos 12 y queda la desigualdad
equivalente N − 12 +
L ≥ 2. Si ahora aplicamos la desigualdad de las medias tenemos
N −
L ≥ 2
(N −
L,
y el problema estar´a resuelto si se prueba que (N − 12 )
L ≥ 1, es decir, (N − 12 )^2 ≥ (^) L^1. Esta nueva desigualdad no tiene radicales, pero al sustituir a, b, c y eliminar denominadores queda algo espantoso, demencial. Indicamos las sucesiones de exponentes y cu´antos t´erminos hay de cada tipo.
4
∑ sim
a^7 b + ∑ a^6 bc +
∑ sim
a^5 b^2 c +
∑ sim
a^4 b^4 ≥ 3
∑ sim
a^5 b^3 +
∑ sim
a^4 b^3 c + ∑ a^4 b^2 c^2 + ∑ a^3 b^3 c^2 24 12 18 6 18 18 6 18 (7, 1 , 0) (6, 1 , 1) (5, 2 , 1) (4, 4 , 0) (5, 3 , 0) (4, 3 , 1) (4, 2 , 2) (3, 3 , 2).
Se resuelve as´ı: gastamos 18 t´erminos de tipo (7, 1 , 0) para mayorar a los 18 t´erminos de tipo (5, 3 , 0), los 6 restantes (7, 1 , 0) junto con 12 de tipo (6, 1 , 1) los empleamos contra los 18 de tipo (4, 3 , 1), y nos quedan 18 t´erminos contra 18 de tipo (5, 2 , 1) > (3, 3 , 2) y 6 contra 6 de tipo (4, 4 , 0) > (4, 2 , 2). b) Otra posible aplicaci´on de la desigualdad de las medias es la siguiente:
√ L 2
L
2 L
3
L
L
2 L
es decir,
L ≥ 32 − (^21) L , y para rematar el problema debemos probar que N ≥ 1 + (^21) L. No es tan horrible, se reduce a probar que
sim a
(^4) b ≥ ∑ sim a
(^3) b (^2). c) Otra forma de desembarazarse de la ra´ız
L utilizando la desigualdad de las medias. Si introducimos la notaci´on P = a^2 + b^2 + c^2 , Q = ab + bc + ca, podemos escribir
√ L =
Q
P
QQ
P Q
Q
P Q
medias
2 Q
P + Q
Para rematar el problema habr´ıa que probar que N + (^) P^2 +QQ ≥ 52. Es brutalizable, al eliminar denominadores resulta la desigualdad
2(a^5 + b^5 + c^5 ) ≥ a^4 b + a^4 c + b^4 a + b^4 c + c^4 a + c^4 b,
que se cumple porque (5, 0 , 0) mayora a (4, 1 , 0). d) Finalmente, cualquiera de los procedimientos a,b,c anteriores se ve notablemente sim- plificado si adem´as acotamos N ≥ algo. Esto se obtiene preparando la expresi´on N para que aparezcan cuadrados en el numerador, y poder aplicar la desigualdad de Cauchy-Schwarz en forma de Engel y sumar los denominadores. Escribimos (^) b+ac = a 2 ab+ac ,...
N =
a^2 ab + ac
b^2 ba + bc
c^2 ca + cb
(a + b + c)^2 2(ab + bc + ca)
P + 2Q
2 Q
llamamos C a esto
Dado que N ≥ C, en el caso a) ser´a suficiente probar que (C − 12 )^2 ≥ (^) L^1 , en el caso b) C ≥ 1+ (^21) L
y en el caso c) C + (^) P^2 +QQ ≥ 52.
a) (C − 12 )^2 ≥ (^) L^1 ⇔
P +2Q 2 Q −^
1 2
− QP ≥ 0 ⇔ · · · ⇔ (P^ −Q)
2 4 Q^2 ≥^0 b) C ≥ 1 + (^21) L ⇔ P^ +2 2 QQ − 1 − 2 PQ − ≥ 0 ⇔ 0 ≥ 0 c) C + (^) P^2 +QQ ) ≥ 52 ⇔ P^ +2 2 QQ + (^) P^2 +QQ − 52 ≥ 0 ⇔ · · · ⇔ (P^ −Q)
2 2 Q(P +Q) ≥^0
