Espacio de Funciones.
3. Distribuciones.
Problema 1. Demostrar que la función definida como
ϕ
(x)=
exp −1/ (1−x2)
{ }
, si −1<x<1
0, si x>1
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
,
pertenece a D (
C0
∞(!)
)
Problema 2. A partir del ejemplo anterior, construir una función de test cuyo soporte sea un
intervalo [a,b] arbitrario.
Problema 3. Construir una función de
C0
∞()
que sea igual a 1, si
1x≤
e igual a 0 si
2x≥
.
Sugerencia: considerar las propiedades de la integral entre
−∞
y x de la función del problema 1.
Problema 4. Demostrar que el producto de una función
C∞()
por una función de
C0
∞()
pertenece a
C0
∞()
.
Problema 5. Podemos definir el producto de una función
f(x)∈C∞()
por una distribución
T[
ϕ
]
como la distribución
fT[
ϕ
]=T[f
ϕ
]
; demostrar a) que este producto es el producto
usual de funciones, en el caso de que la distribución se identifique con una función usual, b) que
x′
T
δ
=−T
δ
y escribir la forma simbólica de esta relación y c) que, en general,
f′
T
δ
=f(0) ′
T
δ
−′
f(0)T
δ
(Simbólicamente:
f(x)′
δ
(x)=f(0) ′
δ
(x)−′
f(0)
δ
(x)
).
Problema 6. Mostrar que
Tfn
→T
δ
con
n→ ∞
para la secuencia de funciones:
fn=sin nx
π
x
!!
Problema 7. Demostrar que dada la sucesión de funciones rectangulares definidas por:
fk(x)=ksi x≤1 2 k
0 si x>1 2k
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
la sucesión de distribuciones
Tfk
converge distribucionalmente a
T
δ
Problema 8. Demostrar formalmente que
′
T=lim
h→0
T+h−T
( )
/h
⎡
⎣⎤
⎦
(simbólicamente, si
s(x)
es
el símbolo asociado a T, entonces vale que
′
s(x)=lim
h→0
[(s(x+h)−s(x)) / h]
).
Problema 9. Mostrar que
Tfa
→TPV (1/x)
cuando
a→0
para la familia de distribuciones
regulares generadas por
fa(x)=x
x2+a2
!
