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Ejercicios Campo Eléctrico 1.- Una carga q 1 = 2 μC está situada en x=0. En x=10 cm hay otra carga, q 2 =-1μC. Las cargas están fijas y no se pueden mover. Calcular el punto x donde el campo eléctrico resultante es cero. Sol: x=0.34 m 2.- Repetir el ejercicio anterior sustituyendo la carga q 2 por una de +3 μC. Solución: x = 0.0449 m 3.- Demostrar que el campo eléctrico creado por un dipolo (carga q en x= a , carga -q en x=- a ) es inversamente proporcional a la distancia al cubo para distancias mucho mayores que a : a) En el eje x. b) En el eje y. 4.- Tres cargas están ubicadas en tres vértices de un cuadrado como se indica en la figura. Las cargas valen q 1 =2μC, q 2 = 3μC y q 3 = -2 μC. El lado del cuadrado vale 15 cm. Calcular: a) La energía potencial del sistema b) El potencial en el vértice en el que no hay carga. Sol: (a) U = -0.169 7 J, (b) V = 127 kV 5.- Un sistema está formado por dos esferas huecas concéntricas. La menor tiene radio R 1 , y carga Q. La mayor tiene radio R 2 >R 1 y carga -Q. Determinar el potencial y el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Sol: r<R 1 : E = 0, V = [Q/(4πε 0 )](1/R 1 -1/R 2 ); R 1 <r<R 2 : E(r) = Q/(4πε 0 r^2 ), V(r) = [Q/(4πε 0 )](1/r-1/R 2 ); r> R 2 : E=0, V = 0 6.- Un sistema está formado por dos cilindros conductores coaxiales. El interior es macizo, con radio R 1 y densidad lineal de carga λ (C/m). El externo es hueco, con radio R 2 >R 1 y densidad lineal de carga -λ (C/m). Son infinitamente largos. Determinar el campo Eléctrico y el potencial en todos los puntos del espacio. Sol. r<R 1 : E=0; V = [λ/(2πε 0 )]ln(R 2 /R 1 ) R 1 <r<R 2 : E(r) = λ/(2πε 0 r), V(r) = [λ/(2πε 0 )]ln(R 2 /r) r>R 2 : E=0; V = 0 7.- Una carga positiva de 10-9^ C se sitúa en el origen de coordenadas. A una distancia de un metro, sobre los ejes OX y OY, se colocan sendas cargas de -10-8C (ver figura). Calcular: a) El módulo de los campos eléctricos creados por cada carga en el punto A, situado a 2m del origen sobre el eje OX. b) Las componentes del campo total en A. c) Repetir los apartados a) y b) para el punto B = (0.5,0.5) d) El trabajo necesario para llevar una carga de 7 C desde A hasta C, situado en (3,1). Sol: (a) |E 1 | = 18 N/C, |E 2 | = 2,25 N/C, |E 3 | = 90 N/C; (b) Ex = -1 0 3, 8 N/C, Ey=8, 05 N/C; (c) |E 1 | = 18 0 N/C, |E 2 | = 18 N/C, |E 3 |= 180 N/C; Ex = 12.73 N/C, Ey=12.73 N/C; (d) W = -118.26 J 8.- Un arco semicircular, de grosor despreciable y radio a, tiene carga total Q distribuida uniformemente. Calcular el campo eléctrico en el centro. Sol: E = Q/(2π^2 ε 0 a^2 ) 9.- Calcular las capacidades de los sistemas de los ejercicios 5 y 6. Sol: C = 4πε 0 (R 1 R 2 )/(R 2 -R 1 ) (ej 5) ; C/x = 2πε 0 /ln(R 2 /R 1 ) (ej 6, Capacidad por unidad de longitud x)
x
y
a
-q q
a
q q q C (3,1) 10 -9C A (2,0) -10-8C -10-8C
a
Q
10.- Un condensador de capacidad C está compuesto por dos placas de área A separadas una distancia d, en el vacío. Se establece una diferencia de potencial V, mediante una fuente de alimentación, de manera que las placas quedan cargadas. Si, posteriormente, se desconecta la fuente de alimentación, determinar cómo cambian: campo eléctrico, potencial, carga (o densidad de carga) de las placas, capacidad y energía potencial electrostática si se realizan las siguientes modificaciones: a) Se duplica la distancia entre placas. b) Se introduce un material de constante dieléctrica K=5 en el condensador (ocupa todo el espacio entre las placas ) Sol: (a) E, σ, Q invariantes; V, U × 2; C × 1/2 ; (b) σ, Q invariantes; E, V, U × 1/K; C × K 11.- Repetir el ejercicio anterior en el supuesto de que los cambios realizados tienen lugar con la fuente de alimentación conectada. Sol: (a) V invariante; E, Q, σ, C, U × 1/2; (b) V, E invariantes; Q, σ, C, U × K; 12.- En un condensador de placas de 1 m² separadas una distancia d, se ha introducido un aislante de constante K=4.5. El campo total en la zona entre las placas es Etot = 1.4·10^6 N/C. ¿Cuánto vale la densidad superficial de carga libre, en las placas del condensador? ¿Cuánto vale la densidad superficial de carga inducida en las superficies del dieléctrico? ¿Cuánto vale la energía potencial electrostática del sistema? 13.- Un conductor esférico de radio a se rodea por otro de radio b concéntrico con él. En el espacio entre ellos se encuentra un material de constante dieléctrica K = (c+r)/r , donde c es una constante y r es la distancia al centro de la esfera interior. Calcular la diferencia de potencial entre la esfera interior y la exterior, si la primera tiene carga Q y la segunda está conectada a tierra, es decir, tiene carga cero. Sol: Va-Vb=[Q/(4πε 0 c)] ln {[b(a+c)]/[a(b+c)]} 14.- Un cilindro metálico indefinido, hueco y de radio a tiene una densidad de carga superficial σ. Se sumerge en un aceite de constante dieléctrica K. Calcular : a) El campo eléctrico dentro y fuera del cilindro, en función de la distancia r a su eje. b) La densidad de carga inducida en las superficies del aceite que están en contacto con las paredes del cilindro. Sol: (a) r<a → E=0; r>a → E = σa/(Kε 0 r); (b) σ (^) ind = σ(1-1/K) 15.- Dos cilindros huecos, concéntricos y conductores tienen radios a y c >a. El interior tiene densidad lineal de carga λ(C/m) y el exterior -λ(C/m). El espacio intermedio está llenado parcialmente en la zona b<r< c por un cilindro de material dieléctrico con constante dieléctrica K. Determinar a) El campo eléctrico en todos los puntos del espacio, en función de la distancia r al eje. b) La diferencia de potencial entre los cilindros conductores (los de radios a y c ) c) La capacidad del sistema, por unidad de longitud del mismo (es decir, en lugar de calcular la capacidad del sistema, calcular la capacidad que tendría un tramo de longitud l del cilindro, y dividir el resultado por dicha distancia l. Sol: (a) r<a → E = 0 a<r<b → E = λ/(2πε 0 r) b<r<c → E = λ/(2πε 0 rK) c<r → E = 0 (b) V(a) -V(c) = [λ/(2πε 0 )][(1/K)ln(c/b)+ln(b/a)] (c) C/ l = 2πε 0 /[ln(b/a)+(1/K)ln(c/b)]
a
b
Q
a
b
c
K
8 .- Un sistema está formado por un cable rectilíneo en horizontal, con densidad lineal de carga λ, alineado a lo largo del eje OX, y un plano paralelo a él, horizontal, en z = -3, con densidad superficial de carga σ. Calcular el campo Eléctrico, con sus componentes, en los puntos A(1,1,1) y B(2,0,-1). Sol: E A = λ/(4πε 0 ) ( j + k ) + σ/(2ε 0 ) k EB = [ -λ/(4πε 0 ) + σ/(2ε 0 )] k 9 .- Tres cargas están alineadas en el eje OX según se muestra en la figura. En el origen de coordenadas hay una carga q 1 = 5μC, en x=a, q 2 = -3 μC y en x = a+b, q 3 = 2 μC. Las cargas están fijas y no se pueden mover. a) Calcular las componentes del campo eléctrico en el punto P(a+b/2,c). b) Calcular el potencial en dicho punto. c) Calcular la posición, medida desde el origen, en que debería situarse q 2 para estar en equilibrio. ¿Y si la cambiásemos por -q 2? Datos: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 6 cm. Sol: a) E = -3.02·10^6 i + 6.77·10^5 j N/C b) V = 171 kV c) x = 0.11 m 10 .- Un condensador está formado por dos placas paralelas con carga +Q y -Q , de área A y separadas una distancia d. En el espacio entre placas se introduce una lámina de material aislante, con grosor h , área A y constante dieléctrica K. Calcular la capacidad del sistema y la energía potencial electrostática que almacena. Sol: C = Aε 0 K/d , U = (1/2)Q²d(Aε 0 K) 11 .- Una esfera metálica de radio R = 15 cm y con carga Q= 1 mC se sumerge en un líquido aislante con constante dieléctrica K = 2. Calcular: a) El campo eléctrico y el potencial que crea la esfera en todos los puntos del espacio, antes y después de sumergirla. b) La densidad superficial de carga que se induce en la superficie del líquido que está en contacto con la esfera. Sol: a) Vacío => E(r<R)=0; E(r>R) = Q/(4πε 0 r²). Con dieléctrico => E(r<R)=0; E(r>R) = Q/(4Kπε 0 r²) V(r<R) = Q/(4πε 0 R) ; V(r>R)=Q/(4πε 0 r) V(r<R) = Q/(4Kπε 0 R) ; V(r>R)=Q/(4Kπε 0 r) b) σind = -Q(1-1/K)/(4πR²) 12 .- Un condensador está formado por dos placas paralelas, de área A , separadas por una distancia d. En el espacio intermedio, tocando una de las placas, hay un bloque de material dieléctrico de área A y grosor d/. Su constante dieléctrica es K. Determinar la capacidad del sistema y comparar con la que existiría sin el dieléctrico. Sol: CK = 3Aε 0 /d(2+1/K) (con dieléctr); C = Aε 0 /d (sin dieléctr) => CK/C=3/(2+1/K) = 3K/(2K+1) 13 .- Dos cables paralelos, rectilíneos, de gran longitud y anchura despreciable tienen densidades lineales de carga λ (C/m) y 2λ (C/m). La distancia entre ellos es d (ver figura). Calcular el campo eléctrico creado por este sistema en todos los puntos del plano que los contiene. Sol: (Sistema de referencia: cable con 2λ pasa por y=0) y>d => E = [λ/(πε 0 )][1/2(y-d)+1/y]
y
q 1 q 2 q x
3
a b
P(a+b/2,c)
c
b/
d σ λ x y z
d
2d/
d
14 .- Dos cilindros huecos, coaxiales, y conductores tienen radios R 1 = 10 cm y R 2 = 20 cm, y son de gran longitud. El interior tiene densidad lineal de carga λ (C/m) y el exterior -λ (C/m). El espacio intermedio se ha rellenado con materiales dieléctricos. En 10 cm < r < 12 cm el material tiene una constante K = 4. Entre 12 cm < r < 20 cm el material dieléctrico tiene K = 8. Calcular el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Calcular la capacidad del sistema. Sol: E(r < 0.1) = 0 E(0.1 < r < 0.12) = l/[8πrε 0 ] E(0.12< r < 0.2) = l/[10πrε 0 ] E(r>0.2) = 0 C/l = 27πε 0 λ 15 .- Una carga eléctrica puntual de 1 C se sitúa en el eje de coordenadas. Está rodeada por una corteza esférica metálica de radio interior R= 1 m y unos centímetros de grosor. Determinar la densidad superficial de carga que existe en la superficie interior de la corteza esférica. Sol: σ = 0.08 C/m^2 16 .- Un sistema está compuesto por dos placas paralelas, planas, de gran tamaño, con densidad superficial de carga σ y -2σ, separadas por una distancia d. A media distancia de las placas hay una carga puntual Q. Calcular el campo eléctrico en todos los puntos del espacio. Sol: (Sistema de referencia: Q puntual en origen)
E = 1
Q
r
2 r −^
z (si z > d/2)
E = 1
Q
r
2 r −^
z (si -d/2 < z < d/2)
E = 1
Q
r
2 r ^
z (si z < -d/2)
17 .- En el sistema de cargas puntuales de la figura, la distancia entre q 1 y q 2 es de 2 cm y entre q 2 y q 3 la distancia es de 3 cm. Las cargas son q 1 = 1 μC, q 2 = - μC y q 3 = -3 μC. Las coordenadas de A y B vienen dadas en cm. Calcular: a) El campo eléctrico y el potencial en A. b) El trabajo necesario para transportar una carga de 2 mC desde el punto A hasta el punto B. Sols: a) E A= (-1.5 i -1,7 j )·10^7 N/C.; VA = -821 kV b) W = 324 J 18 .- Un condensador está formado por dos placas de área A separadas una distancia d. En el espacio entre las placas se rellena completamente colocando dos bloques dieléctricos con área A. Uno de ellos tiene espesor d 1 y constante K 1 , y el otro tiene espesor d 2 y constante K 2. a) Calcular la capacidad del sistema. b) Si se sustituyesen los dieléctricos por uno de constante Keq, ¿Cual debería ser el valor de Keq para tener la misma capacidad que antes? c) Si se quitan los dieléctricos, quedando vacío el espacio entre placas, ¿a qué distancia deq deberían estar para tener la misma capacidad que antes? Sols: a) C = Aε 0 /(d 1 /K 1 +d 2 /K 2 ) b) Keq = dK 1 K 2 /(d 1 K 2 +d 2 K 1 ) c) deq = d 1 /K 1 +d 2 /K 2
1 C
1 m
q 1 q 2 q 3 A(3,1) B(5,0)
23 .- Cuatro cargas puntuales q, -q, Q y 2Q (Ojo!, q≠Q) se sitúan en los vértices de un cuadrado de lado a, tal y como se indica en la figura. Calcular: a) La energía electrostática del sistema. b) El campo eléctrico en el punto A (Módulo, dirección y sentido), y el potencial. c) La relación que debe haber entre q y Q para que el campo eléctrico en A sea cero (es decir, cuánto ha de valer q/Q para que en A no haya campo eléctrico). Sols: a) U = [2Q²+Qq(1/√2 – 1)+q²]/[4πε 0 a] b) Ex = [2q/(5√5)-Q]/[πε 0 a²]; Ey = 0; V = 3Q/(2πε 0 a) c) q/Q = 5 √5/ 24 .- Un plano conductor indefinido, cargado con densidad superficial de carga σ, está colocado entre dos láminas, también indefinidas, de espesor d y constante dieléctrica K, tal y como se indica en la figura. Determinar a) La diferencia de potencial entre los puntos A y B. b) La diferencia de potencial entre los puntos A y C. Sols: a) VA-VB = 0 b) VA-VC = [σd/ε 0 ] (1/2K + 1) 25 .- El espacio comprendido entres dos placas conductoras paralelas, indefinidas y separadas una distancia d, está ocupado por tres láminas de dieléctrico de espesor d/3 cada una y constantes dieléctricas K 1 , K 2 =2K 1 y K 3 =4K 1 , tal y como se indica en la figura. La diferencia entre las placas es V 0. Calcular: a) La densidad de carga en las placas. b) El campo eléctrico en cada región. c) Las diferencias de potencial entre las dos superficies de cada lámina dieléctrica. d) La densidad de carga inducida en cada superficie de los dieléctricos. Sols: a) σ = 12V 0 ε 0 K 1 /7d b) E 1 = 12V 0 /7d E 2 = 6V 0 /7d E 3 = 3V 0 /7d c) ∆V 1 = 4V 0 / ∆V 2 = 2V 0 / ∆V 3 = V 0 / d) σind,1 = σ(1-1/K 1 ) σind,2 = σ(1-1/2K 1 ) σind,3 = σ(1-1/4K 1 ) 26 .- Un sistema está compuesto por una esfera conductora, maciza, de radio R 1 = 15 cm y con carga Q, concéntrica con otra hueca, también conductora, de radio R 4 = 30 cm y carga -Q. El hueco intermedio se rellena parcialmente con un cascarón esférico de radio interior R 2 = 20 cm y radio exterior R 3 = 25 cm. Este cascarón es un material dieléctrico con constante K=5. Calcular: a) El campo eléctrico en todas las regiones del espacio. b) El potencial en todos los puntos del espacio. c) La capacidad del sistema. d) Comparar los apartados a), b) y c) con las soluciones que se obtendrían si el dieléctrico no estuviese presente. q -q Q 2Q A a/ a R 1 R 2 R 3 R 4 Q -Q K K 1 K 2 K 3 V 0 d d (^) d/ B^ d/ A C K K σ
