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Taller 1. 2.
ANTHONY CÁCERES Y DIEGO SINGO
PROBABILIDAD Y ESTADISTICA TEC
1. Ejercicio 2. 54
Basado en su experiencia, un agente bursátil
considera que en las condiciones
económicas actuales la probabilidad de que
un cliente invierta en bonos libres de
impuestos es 0.6, la de que invierta en fondos
comunes de inversiones es 0.3 y la de que
invierta en ambos es 0.15. En esta ocasión
encuentre la probabilidad de que un cliente
invierta:
a.- En bonos libres de impuestos o en fondos
comunes de inversión.
b.- En ninguno de esos dos instrumentos.
𝐵 (Bonos libres) =0.
𝐹 (Fondos comunes) =0.
𝐵 ∩ 𝐹 (Ambos)=0.
F NO F EVENTO X
B 0.15 0.45 0.
NO B 0.15 0.25 0.
EVENTO Y 0.30 0.70 1
a)
b)
2. Ejercicio 2. 56
Un fabricante de automóviles está
preocupado por el posible retiro de su sedán
de cuatro puertas con mayor venta. Si fuera
retirado habría 0.25 de probabilidad de que
haya un defecto en el sistema de frenos, 0.
de que haya un defecto en la transmisión, 0.
de que esté en el sistema de combustible y
0.40 de que esté en alguna otra área.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que el
defecto esté en los frenos o en el sistema de
combustible, si la probabilidad de que haya
defectos en ambos sistemas de manera
simultánea es 0.157?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que no haya
defecto en los frenos o en el sistema de
combustible?
a:
DF: Defecto de frenos
DC: Defecto en el sistema de combustible
b:
DF: Defecto de frenos
DC: Defecto en el sistema de combustible
3. Ejercicio 2. 61
En un grupo de 100 estudiantes graduados de
preparatoria, 54 estudiaron matemática, 69
estudiaron historia y 35 cursaron matemática
e historia. Si se selecciona al azar uno de
estos estudiantes, calcule la probabilidad de
que:
a.- El estudiante haya cursado matemática o
historia.
b.- El estudiante no haya llevado ninguna de
estas materias.
c.- El estudiante haya cursado historia, pero
no matemática.
M NM EVENTO X
H 0.35 0.34 0.
NH 0.19 0.12 0.
EVENTO Y 0.54 0.46 1
a)
b) D
c)
4. Ejercicio 2. 63
A continuación, se listan los porcentajes,
proporcionados por Consumer Digest
(julio/agosto de 1996), de las probables
ubicaciones de las PC en una casa:
Dormitorio de adultos: 0.
Dormitorio de niños: 0.
Otro dormitorio: 0.
Oficina o estudio: 0.
Otra habitación: 0.
a.- ¿Cuál es la probabilidad de que una PC
esté en un dormitorio?
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que no esté en
un dormitorio?
c.- Suponga que de entre las casas que tienen
una PC se selecciona una al azar, ¿en qué
habitación esperaría encontrar una PC?
A1= Dormitorio de adultos
A2= Dormitorio de niños
A3= Otro dormitorio
A4= Oficina o estudio
A5= Otra habitación
A1 A2 A3 A4 A
Tabla 1 :Probabilidades PC.
a:
La probabilidad de que una PC este un dormitorio
es del 32%.
b:
′
La probabilidad de que una Pc no este en el
dormitorio es del 68 %
c:
Se esperaría encontrar una PC en la oficina o
estudio ya que es la que tiene mayor probabilidad
de un 40%
5. Ejercicio 2. 69
En muchas áreas industriales es común que
se utilicen máquinas para llenar las cajas de
productos. Esto ocurre tanto en la industria
de comestibles como en otras que fabrican
productos de uso doméstico, como los
detergentes. Dichas máquinas no son
perfectas y, de hecho, podrían cumplir las
especificaciones de llenado de las cajas (A),
llenarlas por debajo del nivel especificado (B)
o rebasar el límite de llenado (C). Por lo
general, lo que se busca evitar es la práctica
de llenado insuficiente. Sea P(B)= 0.001,
mientras que P(A)= 0.990.
a.- Determine P(C).
b.- ¿Cuál es la probabilidad de que la maquina
no llene de manera suficiente?
c.- ¿Cuál es la probabilidad de que la máquina
llene de más o de menos?
a:
A B C
Tabla 2 : Probabilidades con el Dato C faltante.
A B C
Tabla 3 : Probabilidades completas llenado.
La probabilidad de C es de 0.9%.
b:
La probabilidad de que la maquina no llene de
manera suficiente es de 1%
c:
Ilustración 1 : Árbol de Probabilidad.
𝑛
𝑚
En caso de que m=n la fórmula queda:
𝑛
Propiedades
Permutaciones con repetición: Cuando una cosa
tiene n tipos diferentes también se tiene n
opciones cada vez.
Permutaciones sin repetición: se reduce el
número de opciones en cada paso.
Ejemplos
1.- Dana, Camilo y Natalie van a formar un
comité para administrar una empresa. Los
cargos que habrá en el comité son:
presidente, vicepresidente y secretario. ¿De
cuantas formas se puede constituir el
comité?
Solución
En este caso se considera que hay un orden
jerárquico: presidente, vicepresidente y
secretario. Además, una persona no puede
ocupar dos cargos, por lo que, no es posible la
repetición.
Se pueden colocar los datos en una tabla debido
a que el espacio que se crea es pequeño:
Presidente Vicepresidente Secretario
1 Dana Camilo Natallie
2 Dana Natallie Camilo
3 Camilo Dana Natallie
4 Camilo Natallie Dana
5 Natallie Dana Camilo
6 Natallie Camilo Dana
Tabla 4 : Datos para la permutación.
Con la tabla se puede apreciar que existen 6
formas distintas de construir el comité.
Aplicando la fórmula:
Como m es igual a n se utiliza la segunda
formula:
𝑛
3
Por lo tanto, el comité se puede construir de 6
formas.
2.- Hallar la cantidad de maneras en que
pueden obtener las medallas de oro, plata y
bronce 8 ciclistas que participan en un
campeonato
Solución
El espacio se vuelve muy grande por lo que no
se puede tabular, de forma que se procede a
aplicar la formula:
Como m es diferente a n se utiliza la primera
formula:
𝑛
𝑚
3
8
𝑛
𝑚
Por lo tanto, las medallas pueden ser repartidas
entre los ocho ciclistas de 336 maneras.
9. Combinaciones
¿Qué es?
Se llama combinaciones de m elementos
tomados de n en n (m ≥ n) a todas las
agrupaciones posibles que pueden hacerse con
los m elementos de forma que:
No entran todos los elementos
No importa el orden
No se repiten los elementos
La combinación o combinatoria es una técnica de
conteo que se aplica en experimentos aleatorios,
en los que no se tiene en cuenta el orden en que
se eligen los elementos y no es posible la
repetición.
Fórmulas
La fórmula general de la permutación es:
𝑚
𝑛
𝑚
𝑛
𝑛
Utilizando factoriales:
𝑚
𝑛
Propiedades
Combinaciones con repetición: de n elementos
tomados de r en r: posibles muestras no
ordenadas de r elementos no necesariamente
distintos que se pueden extraer de un conjunto
de n elementos.
Ejemplos
1.- Hallar el número de formas en que se
pueden mezclar cinco colores: amarillo (a),
verde (v), rojo (r), blanco (b) y café (c),
tomándolos de tres en tres.
Solución
Aplicando la fórmula:
Como m es diferente a n se utiliza la siguiente
formula:
𝑚
𝑛
5
3
5
3
5
3
5
3
Estas combinaciones son:
S={(a,v,r),(a,v,b),(a,v,c),(a,r,b),(a,r,c),(a,b,c),
(v,r,b),(v,r,c),(v,b,c),(r,b,c)}
Por lo tanto, existen 10 formas para mezclar los
cinco colores tomándolos de a tres.
2.- A las semifinales del campeonato de
microfútbol Inter cursos, clasifican 4 equipos.
Si para definir los dos equipos que pasarán a
la final cada uno se enfrenta con los otros 3
sólo una vez, ¿cuántas formas hay para
organizar los partidos en la semifinal?
Solución
En este caso no importa el orden en que se
nombren los equipos para un partido y no hay
forma en que en un partido un equipo se repita:
Como m es diferente a n se utiliza la siguiente
formula:
𝑚
𝑛
4
2
4
2
5
3
5
3
Por lo tanto, es posible organizar los partidos de
6 formas diferentes, de tal modo que cada equipo
juegue con los demás solamente una vez.
