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2025 26 lecciones de estadistica ingenieria
Tipo: Ejercicios
1 / 24
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EX1011 Estadística y Optimización
𝟐
En una fábrica seleccionamos 4 piezas. Sabemos que la probabilidad de
que una pieza sea defectuosa es 0.1.
a) Calcula la probabilidad de que las dos primeras piezas sean
defectuosas.
1
2
3
4
b) Calcula la probabilidad de que dos piezas sean defectuosas ( no
importa el orden en que las seleccionamos ).
4
2
= 6 (𝑐𝑜𝑛 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑑𝑜𝑟𝑎 4 𝑛𝐶𝑟 2 = 6 )
ҧ 𝑑
ҧ 𝑑, 𝑑
ҧ 𝑑𝑑
ҧ 𝑑, 𝑑
ҧ 𝑑
ҧ 𝑑𝑑,
ҧ 𝑑𝑑𝑑
ҧ 𝑑,
ҧ 𝑑𝑑
ҧ 𝑑𝑑,
ҧ 𝑑
ҧ 𝑑𝑑𝑑
Usamos v.a. X=“número de piezas defectuosas de 4” y el rango de X es
rg(X)={0,1,2,3,4}
Nos piden P(X=2) = suma de las probabilidades de cada uno de esos 6
resultados, que es el valor 0.0081 multiplicado por 6.
Lo podemos escribir: 𝑃 𝑋 = 2 =
2
2
= 6 · 0. 0081 = 0. 0486
Problema de variable aleatoria que justifica usar MODELOS
La empresa local “RenovCS” líder en productos de iluminación LED sabe que en el 6%
de los actuales proyectos de iluminación pública se demanda esta tecnología. Este
año ha conseguido 8 proyectos de alumbrado público en la provincia.
sus productos LED.
Tenemos 8 pruebas independientes = n (los 8 proyectos)
Cada prueba tiene 2 resultados posibles:
Éxito = el proyecto demanda LED → P(éxito) = 0.06 = p
Fracaso = el proyecto NO demanda LED → P(fracaso) = q = 1 – p = 1 – 0.06 = 0.
❖ Definimos v.a. X=“nº proyectos demandan LED de los 8” →Bi(n=8, p=0.06)
Nos piden 𝑃 𝑋 > 2 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 2 = 1 − 𝑓 0 + 𝑓 1 + 𝑓 2 = 1 −
0.6096 + 0. 3113 + 0. 0695 = 1 − 0. 9904 = 0. 0096
𝑓 0 =
8
0
0
8 = 0. 6095689384
𝑓 1 =
8
1
1
7 = 0. 31126924521
𝑓 2 =
8
2
2
6 = 0. 06953887393
5.2.2 Modelo discreto BINOMIAL. Problema 5 ex. Junio 2014.
La probabilidad de que aparezca algún defecto en 3m
2 de tela es 0.05.
piezas de tela para que aparezcan defectos en 1 pieza.
Ahora nos piden el número de pruebas necesarias para tener 1 éxito
(1 pieza con defectos). Debemos utilizar el modelo Binomial Negativo,
con k = nº piezas con defecto = 1 y p = P(pieza con defectos) = 0.
La v.a. es X = “nº de piezas necesarias para tener 1 pieza con defectos”
Nos piden 𝑃 𝑋 > 𝟑 = 1 − 𝑃 𝑋 ≤ 3 = 1 − 𝑓 1 + 𝑓 2 + 𝑓 3
1
0
= 0. 05
1
1
= 0. 0475
1
2
= 0. 045125
5.2.3 Modelo discreto BINOMIAL NEGATIVA. Problema 7
El número de taras por metro cuadrado de un material para alfombras varía
con una media de 0.1 taras por m
2
. Define la variable aleatoria necesaria
en cada apartado y justifica el modelo de probabilidad utilizado.
2.a) Calcula la probabilidad de que haya sólo 1 tara en una alfombra de 2.5 m
2
2.b) Calcula la probabilidad de que haya como máximo 2 taras en una
alfombra de 4 m
2 .
2.c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya alguna tara en una alfombra de 9m
2 ?
2.d) En el almacén hay 40 alfombras de 9 m
2 :
2.d.1) ¿cuál es la probabilidad de que haya exactamente tres alfombras con
alguna tara?
2.d.2) Calcula el número esperado de alfombras defectuosas y su variabilidad.
5.2.5 Modelo discreto POISSON. Problema 2 ex. Junio 2018
Una línea de alta tensión presenta, de media, seis puntos de sobrecarga
cada 2 km de línea recorridos.
A. 1 ) Determina el modelo de distribución que sigue la variable aleatoria
número de puntos de sobrecarga cada 2 km recorridos.
A. 2 ) Calcula la probabilidad de que en 10 km se encuentren un total de
entre 29 y 31 puntos de sobrecarga (extremos incluidos).
B) Si la línea de alta tensión es la que une las ciudades de Madrid y
Valencia ( 360 km de línea aproximadamente), ¿cuál es la probabilidad
de que se obtenga un número mayor a 1090 de puntos de sobrecarga
en dicha línea? (Necesitamos Teorema Central del Límite, trasparencia 15 )
> pnorm(c( 1090. 5 ), mean= 1080 , sd= 32. 8633 , lower.tail=FALSE)
[ 1 ] 0. 3746717
Lección 5. Problema examen Junio 2020
Una empresa que fabrica rodamientos para automóviles obtiene un
beneficio de 0.02 euros por rodamiento. Sabemos que la demanda diaria
presenta una distribución uniforme(a=mínimo, b=máximo), el beneficio
diario esperado es de 1600 euros y la probabilidad de vender un día al
menos 95 mil rodamientos es 1/5. Calcula:
a) El número de rodamientos mínimo y máximo vendidos diariamente.
b) La probabilidad de vender menos de 95 mil rodamientos un día que
ya sabemos que se han vendido 80 mil.
5.3 Modelos continuos. Problema 2 ex. Enero 2016
Una línea de alta tensión presenta dos puntos de sobrecarga consecutivos,
cuya distancia entre los mismos se considera fluctuante y tiene una
varianza igual a 25 km
2 y un valor esperado igual a 5 km.
a) Determina el modelo de distribución más adecuado que sigue la
variable aleatoria distancia transcurrida entre dos puntos de sobrecarga
detectados consecutivos.
b) Calcula la probabilidad de que la distancia entre dos puntos detectados
de sobrecarga consecutivos sea mayor a 6.5 km teniendo en cuenta que la
longitud de la línea es de 8.75 Km.
5.3.2 Modelo continuo EXPONENCIAL. Problema ex. junio 2020
Z→ Normal (media = μ = 0 y varianza = σ
2 = 1).
> pnorm(c(0.5, - 0.84, 1.28), mean = 0, sd = 1, lower.tail = TRUE)
5.3.3 Modelo continuo NORMAL tipificado. (con R-Commander)
X → N (media = μ, varianza = σ
2 )
❑ Distribución simétrica respecto a la media y más o menos aplastada
según el valor de la varianza.
❑ Sea X →N(μ, σ
2 ) e Y = aX + b, siendo a y b constantes. Entonces
Y → N(aμ+b, a
2 σ
2 )
❑ Sea X →N(μ, σ
2 ). Si consideramos 𝑍 =
𝑋−𝜇
𝜎
sigue modelo N(μ=0, σ
2 =1).
❑ Teorema de Adición. n v.as independientes X i
, cada una N(μ i
, σ i
2 );
constantes a 1
, a 2
, …a n
, b. Se cumple
1
1
2
2
𝑛
𝑛
𝑌
𝑌
2
) siendo
Media 𝜇 𝑌
1
1
2
2
𝑛
𝑛
Varianza 𝜎 𝑌
2
= 𝑎 1
2
𝜎 1
2
2
𝜎 2
2
2
𝜎 𝑛
2
5.3.3 Modelo continuo NORMAL y Teoremas
Se ha conseguido que el motor de una hélice de barco en forma
experimental obtenga un rendimiento medio eficiente de 0. 87 ( 87 %),
con una varianza de 0. 016. Se considera que el rendimiento puede
modelizarse a través de una distribución Normal.
Investigadores de la UJI han conseguido que dicho rendimiento pueda
ser aumentado en cada prueba experimental un 20 % más (es decir,
Además, se ha incorporado un dispositivo fijo que aumenta un 7 %
el rendimiento de manera constante.
A) Determina el modelo de distribución que sigue el rendimiento del
nuevo prototipo = R.
B) Calcula la probabilidad de que el rendimiento del nuevo prototipo
de motor creado por la UJI esté entre el 105 % y el 115 %.
Lección 5. Problema examen Junio 2020
❑ Si Z 1
2
n
independientes tales que Z i
→N( 0 , 1 ) entonces X sigue
modelo chi-cuadrado con n grados de libertad.
𝑿 = σ 𝒊=𝟏
𝒏
𝒁 𝒊
𝟐
𝟐
(𝒏) se cumple E[X] = n y var[X] = 2 n
❑ Teorema de adición : Sean 𝑋 → 𝜒
2
𝑛 , 𝑌 → 𝜒
2
(𝑚) independientes
entonces 𝑋 + 𝑌 → 𝜒
2
(𝑛 + 𝑚)
❑ Ejemplo : Supongamos que X → χ
2 ( 70 ). Usando tabla chi-cuadrado
equivale x = χ
2
( 70 ) = 90. 531 (valor de la v.a. con esa prob. acumulada a izquierda)
n 0. 95 0. 25 probabilidades
5.3.4 Modelo continuo chi-cuadrado de Pearson
❑ Sean las v.a.s independientes 𝑋 → 𝜒
2
𝑛 , 𝑌 → 𝜒
2
(𝑚). Definimos
❑ La v.a. F sigue modelo F de Snedecor con n grados de libertad en
numerador y m grados de libertad en denominador.
Propiedad :
P(F(n, m) ≤ a) = P(F(m, n) ≥ 1 /a) equivale F α
(n, m) = 1 /F 1 - α
(m, n)
❑ Ejemplo : Sea X → F( 5 , 20 )
encontramos el valor 2. 71 para esos grados de libertad)
a = F
( 5 , 20 ) = 4. 1027 (en página de probabilidad 0. 99 )
b = F
( 20 , 5 )= 1 / 4. 5581 = 0. 21939 (en página de prob. 0. 95 )
5.3.6 Modelo continuo F de Snedecor
❑ Distribución Gamma. G(λ, k) siendo λ=parámetro de escala, k=parámetro de
forma y ambos números reales positivos.
cuando k= 1.
❑ Distribución Erlang. Es un caso particular del modelo Gamma cuando k es
entero positivo.
e independientes que ocurren en un intervalo de tiempo es una v.a. Poisson con
frecuencia de ocurrencia constante igual a λ, entonces T=“tiempo de espera hasta
que sucede k-ésima ocurrencia de Poisson” tiene distribución Gamma (λ, k).
primer evento Poisson, la distribución Erlang (Gamma) es la distribución que sigue la
suma de k variables exponenciales independientes de parámetro λ. (Es lo que
debemos usar en problema 26 .a)
❑ Distribución Weibull. W(b, θ) con los parámetros forma=b > 0 y escala=θ > 0.
❑ Las distribuciones Gamma y Weibull están en el R-Commander
5.3.8 Otros modelos continuos
