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ejercicios estadisica, consta de ejercicios resueltos para problemas de probabilidad
Tipo: Apuntes
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”La probabilidad no nos puede decir lo que va a suceder, s´olo nos dice lo que es probable que suceda”.
Conjuntos. T´ecnicas de conteo. Experimento aleatorio. Espacio muestral. Su- cesos. Probabilidad. Espacios probabilidad finitos, contables y continuos. Probabilidad condicionada. F´ormulas de la probabilidad total y de Bayes. Su- cesos independientes. Experimentos compuestos. Ejercicios.
2 3. Probabilidad
La Teor´ıa de la Probabilidad es la ciencia de la incertidumbre, las matem´aticas que describen el comportamiento del azar. Dicho comportamiento, que es impredeci- ble con pocas repeticiones, pasa a ser regular y predecible con muchas repeticiones. Se interesa, por tanto, por los fen´omenos de azar o aleatorios. Ahora bien, ”alea- torio” no significa ”de cualquier manera”, sino una clase de orden que ´unicamente aparece despu´es de muchas repeticiones. Definici´on: Un fen´omeno aleatorio es aquel que puede reproducirse en las mis- mas condiciones iniciales y, en cambio, los resultados de cada realizaci´on o ”prueba” del mismo pueden ser distintos de tal manera que, aunque conocemos de antemano, todos los posibles resultados que se pueden obtener, no sabemos el resultado de cada prueba.
Ejemplo 3.0.1. Lanzamiento de una moneda Cuando lanzamos una moneda al ai- re s´olo hay dos posibles resultados, cara o cruz. A priori no podemos predecir el resultado, puede variar cuando volvamos a lanzarla. Sin embargo, existe un com- portamiento regular de los resultados, una regularidad que aparece s´olo despu´es de muchas repeticiones. As´ı, la proporci´on de lanzamientos cuyo resultado es cara es bastante variable al principio, cuando el n´umero de pruebas es peque˜no, pero se va estabilizando a medida que hacemos m´as y m´as lanzamientos, aproxim´andose al va- lor 0,5, la ”probabilidad de obtener cara”. Este hecho remarcable es la base de la idea de probabilidad.
Dado que para calcular probabilidades debemos, en muchos casos, contar, para ”contar bien”, necesitamos algunas t´ecnicas de conteo. Previamente, introducimos algunas nociones de la Teor´ıa de Conjuntos.
Los conceptos de conjunto y elemento son tan intuitivos que no pueden definirse. Si el alfabeto, por ejemplo, es un conjunto, cada letra es un elemento. Los conjuntos se expresan con letras may´usculas: A, B, C,... y sus elementos
Alicia M. Juan Gonz´alez
4 3. Probabilidad
el conjunto vac´ıo es el que no tiene elementos y se indica por ∅. Por ejemplo, ∅ = {n ∈ N/ 10 < n < 11 }, y
el conjunto unitario es el que tiene un solo elemento. Por ejemplo, si B es el conjunto de las vocales de la palabra ”mar”, entonces B = {a}.
Cardinal: Dado un conjunto A, su cardinal es el n´umero de elementos que lo componen y lo notamos por n(A). Por ejemplo, en los casos anteriores n(A) = 5, n(B) = 1 y n(C) = 14. Se definen las siguientes relaciones y operaciones con conjuntos:
→ Relaciones:
Ejemplo 3.1.3. Si P es el conjunto de los n´umeros pares, entonces P ⊂ N. De hecho, los conjuntos de n´umeros se relacionan de la forma:
N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C
Si A es el conjunto de las vocales y M el conjunto de las vocales de la palabra ”murci´elago”, entonces A = M.
→ Operaciones:
Alicia M. Juan Gonz´alez
3.1. Conjuntos 5
pertenecen al menos a uno de dichos conjuntos, esto es, por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B,
A ∪ B = {w / w ∈ A o w ∈ B}
A ∩ B = {w / w ∈ A y w ∈ B}
A B A B A B
Si A ∩ B = ∅, se dice que A y B son conjuntos disjuntos.
Alicia M. Juan Gonz´alez
3.1. Conjuntos 7
Ejemplo 3.1.5. Si Ω = {a, b, c}, entonces
P(Ω) = {∅, {a}, {b}, {c}, {a, b}, {a, c}, {b, c}, Ω}
Es interesante observar que, en general, si n(Ω) = n, entonces n (P(Ω)) = 2n.
Conjunto complementario: Si A ⊂ Ω, entonces el conjunto complementario de A respecto a Ω, es el conjunto de los elementos de Ω que no pertenecen a A. Se indica por Ac^ y queda determinado por
Ac^ = {w / w ∈ Ω y w 6 ∈ A}
Se deduce as´ı las relaciones siguientes:
Ac^ = Ω − A y A − B = A ∩ Bc
Ejemplo 3.1.6. Si F es el conjunto de las vocales fuertes, entonces F c^ es el conjunto de las vocales d´ebiles,
A = {a, e, i, o, u} F = {a, e, o} F c^ = {i, u}
Propiedades 3.1.1. Si A, B y C son tres subconjuntos cualesquiera de Ω, pueden probarse las siguientes propiedades de la uni´on, intersecci´on y complementaci´on,
Idempotente: A ∪ A = A A ∩ A = A Commutativa: A ∪ B = B ∪ A A ∩ B = B ∩ A Asociativa: A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
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8 3. Probabilidad
Distributiva: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Simplificativa: A ∪ (A ∩ B) = A A ∩ (A ∪ B) = A Elemento neutro: A ∪ ∅ = A A ∩ Ω = A Elemento complementario: A ∪ Ac^ = Ω A ∩ Ac^ = ∅ Elemento absorbente: A ∪ Ω = Ω A ∩ ∅ = ∅ Leyes de Morgan: (A ∪ B)c^ = Ac^ ∩ Bc (A ∩ B)c^ = Ac^ ∪ Bc La clase P(Ω) tiene, en virtud de estas propiedades, estructura de ´algebra y ello significa, en definitiva, que
∀A 1 , A 2 ,... , An ∈ P(Ω) ⇒ A 1 ∪ A 2 ∪ · · · ∪ An ∈ P(Ω)
∀A 1 , A 2 ,... , An ∈ P(Ω) ⇒ A 1 ∩ A 2 ∩ · · · ∩ An ∈ P(Ω)
No obstante, existen otras clases A de conjuntos de Ω tales que A ⊂ P(Ω) y tambi´en tienen estructura de ´algebra. Por ejemplo,
El ´algebra m´as sencillo asociado a cualquier conjunto Ω es A = {∅, Ω}. ∀A ⊂ Ω, la clase de conjuntos A = {∅, A, Ac, Ω} es un ´algebra.
Alicia M. Juan Gonz´alez
10 3. Probabilidad
a) aprobaron al menos uno de los cursos, b) aprobaron exactamente uno de los dos cursos, c) suspendieron ambos cursos. Sol. Si aprobar el curso de Estad´ıstica es el conjunto E y aprobar el de Inform´ati- ca es el conjunto I, entonces n(E) = 60, n(I) = 45, n(E ∩ I) = 20, y a) Aprobar al menos uno de los cursos es el conjunto E ∪ I, con lo cual,
n(E ∪ I) = n(E) + n(I) − n(E ∩ I) = 60 + 45 − 20 = 85
b) Aprobar exactamente uno de los dos cursos, es el conjunto
(E ∩ Ic) ∪ (I ∩ Ec) = (E − I) ∪ (I − E) = E△I
pero, dado que tambi´en es cierta la relaci´on (E ∪ I) = (E△I) ∪ (E ∩ I), entonces
n(E ∪ I) = n(E∆I) + n(E ∩ I) ⇒ n(E∆I) = 85 − 20 = 65
c) Suspender ambos cursos es el conjunto Ec^ ∩ Ic^ = (E ∪ I)c, y
n(E ∪ I)c^ = n(Ω) − n(E ∪ I) = 140 − 85 = 55
Principio del producto: si una tarea se puede separar en dos etapas, primera y segunda, y si hay m resultados posibles para la primera etapa y n para la se- gunda, entonces la tarea puede realizarse, en el orden asignado, de m × n maneras. Formalmente, si A × B es el conjunto producto cartesiano de A y B, entonces
n(A × B) = n(A) × n(B)
y su generalizaci´on a m´as de dos conjuntos es
n(A 1 × A 2 × · · · × Ak) = n(A 1 ) × n(A 2 ) × · · · × n(Ak)
Ejemplo 3.2.8. Supongamos que el men´u del Comedor universitario consta de 3 primeros platos (n(A) = 3), 4 segundos platos (n(B) = 4) y 2 postres distintos (n(C) = 2). ¿Cu´antos men´us distintos pueden confeccionarse eligiendo un primer plato, un segundo plato y un postre? Sol. Aplicando el principio del producto, hay un total de 3 × 4 × 2 = 24 men´us distintos.
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3.2. T´ecnicas de conteo 11
Principio de distribuci´on de Dirichlet: nos dice de cu´antas formas distin- tas pueden distribuirse n objetos en k casillas cuando n > k, lo que significa que habr´a alguna casilla con, al menos, [ (^) n − 1 k
Ejemplo 3.2.9. Si tenemos 11 palomas, ¿c´omo pueden ocupar 10 nidos? Es evidente que, al menos, dos de las palomas han de meterse en un mismo nido. En efecto, aplicando el principio de distribuci´on de Dirichlet, [ (^11) − 1 10
En segundo lugar, estudiamos las principales t´ecnicas de conteo o Combinatoria, que nos permiten contar bien, para lo cual debemos saber responder a las siguientes preguntas:
Variaciones: Es el n´umero total Vn,p de grupos distintos que podemos formar, cuando influye el orden, tomando p elementos de un conjunto inicial de n elementos (p < n) de tal manera que no hayan elementos repetidos.
Vn,p = n × (n − 1) × (n − 2) × · · · × [n − (p − 1)] = (^) (n −n! p)! (3.2)
Alicia M. Juan Gonz´alez
3.2. T´ecnicas de conteo 13
Permutaciones circulares: Supongamos que queremos saber de cu´antas ma- neras distintas pueden sentarse n personas alrededor de una mesa circular, teniendo en cuenta que dos permutaciones son iguales cuando una de ellas se puede obtener a partir de la otra mediante un giro de las personas alrededor de la mesa. Si, por ejemplo, n = 4, entonces las cuatro disposiciones siguientes son la misma, A
B
C
porque se han ido obteniendo girando 90o, en el sentido de las agujas del reloj, las personas de la izquierda. La posici´on relativa entre ellas no ha cambiado, se trata de la misma permutaci´on. Estas 4 permutaciones se llaman ”permutaciones circulares” y as´ı, el n´umero total de permutaciones circulares es
4! 4 = 3! = 6
En general, el n´umero total de permutaciones circulares de n elementos es
(n − 1)! (3.5)
Permutaciones con repetici´on: Es el n´umero total P Rn=n 1 +···+nk de grupos distintos que podemos formar, cuando influye el orden, con n elementos, entre los cuales existen n 1 iguales entre s´ı, n 2 iguales entre s´ı y distintos de los anteriores y as´ı sucesivamente, hasta un n´umero final nk de ellos iguales entre s´ı, de forma que n 1 + n 2 + · · · + nk = n.
P Rn=n 1 +···+nk = (^) n n! 1!^ ×^ n 2!^ × · · · ×^ nk!^
Ejemplo 3.2.13. ¿Cu´antas palabras distintas, tengan o no tengan sentido, se pue- den formar con las letras de la palabra ESTADISTICA?. Sol. El conjunto inicial est´a formado por 11 letras (n = 11), aunque las letras distintas son {E, S, T, A, D, I, C} de tal manera que cada una de las letras S, T , A,
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14 3. Probabilidad
I se repiten 2 veces. Por tanto, el n´umero total de palabras distintas de 11 letras que podemos formar con las letras de ESTADISTICA son,
P R11=2+2+2+2+1+1+1 = (^) 2! × 2!11! × 2! × 2! = 2494800
Combinaciones: Es el n´umero total Cn,p de grupos distintos de p elementos que podemos formar con n elementos iniciales (n ≥ p) de tal manera que los elementos en cada grupo no se repiten, pero no importa el orden de los elementos en el grupo.
Cn,p =
(n p
= (^) p! × (nn! − p)! (3.7)
Ejemplo 3.2.14. Si un examen consta de 10 preguntas y debemos contestar 5, ¿de cu´antas formas distintas podemos elegir las preguntas?. Sol. Hay que agrupar las 10 preguntas de 5 en 5, las preguntas elegidas no se repiten y no importa en qu´e orden se contestan. Por tanto, ( 10 5
Combinaciones con repetici´on: Es el n´umero total CRn,p de grupos distin- tos que podemos formar, cuando no influye el orden, tomando p elementos de un conjunto inicial de n elementos de tal manera que dichos elementos pueden repetirse.
CRn,p =
(n + p − 1 p
Ejemplo 3.2.15. ¿De cu´antas fichas constar´ıa un domin´o que tuviese hasta el nueve doble? Sol. Contando con la cara blanca, hay 10 d´ıgitos (n = 10). Cada ficha tiene dos caras, esto es, los d´ıgitos se agrupan de 2 en 2 y, puesto que se pueden repetir y no importa el orden, el n´umero total de fichas ser´ıa
CR 10 , 2 =
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16 3. Probabilidad
→ Relaciones entre sucesos:
→ Operaciones con sucesos:
A ∪ B = {w ∈ Ω; w ∈ A o w ∈ B}
A ∩ B = {w ∈ Ω; w ∈ A y w ∈ B}
Dos sucesos A y B son incompatibles cuando no pueden ocurrir a la vez y, formalmente, se indica por A ∩ B = ∅.
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3.3. Espacio muestral. Sucesos 17
A^ Ac
A ∪ Ac^ = Ω A ∩ Ac^ = ∅
Ejemplo 3.3.17. En el fen´omeno aleatorio que consiste en lanzar un dado, si A es el suceso ”obtener m´ultiplo de 3” y B es el suceso ”obtener m´ultiplo de 2”, entonces A ∪ B = { 2 , 3 , 4 , 6 }, mientras que A ∩ B = { 6 } es el suceso ”obtener m´ultiplo de 6”. As´ı mismo, sus sucesos contrarios son: Ac^ = { 1 , 2 , 4 , 5 } y Bc^ = { 1 , 3 , 5 }. Si I es el suceso ”obtener un n´umero impar al lanzar el dado”, entonces su suceso contrario Ic^ es el de ”obtener un n´umero par”.
La clase de todos los sucesos de un experimento aleatorio es la formada por todas las partes del espacio muestral Ω. En consecuencia, se puede representar por P(Ω) y as´ı, con tal que A sea un suceso de dicho fen´omeno aleatorio (A ⊂ Ω), ser´a A ∈ P(Ω). En virtud de las propiedades de la uni´on, intersecci´on y complementaci´on de los sucesos de un fen´omeno aleatorio (Propiedades 3.1.1), dicha clase, como ya sabemos, tiene estructura de ´algebra. No obstante, existen otras clases A de sucesos del fen´omeno aleatorio tales que A ⊂ P(Ω) y tienen tambi´en estructura de ´algebra.
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3.4. Probabilidad 19
a) ∀A, B ∈ A, P (A ∪ B) ≤ P (A) + P (B). b) ∀A, B, C ∈ A P (A ∪ B ∪ C) = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (B ∩ C) − P (A ∩ C) +P (A ∩ B ∩ C)
Dem.
P (A) = P (A ∪ ∅) = P (A) + P (∅) ⇒ P (∅) = 0
1 = P (A) + P (Ac) ⇒ P (Ac) = 1 − P (A)
A ∪ B = (A − B) ∪ B = (A − B) ∪ (A ∩ B) ∪ (B − A) = A ∪ (B − A) Si tomamos, por ejemplo, A ∪ B = (A − B) ∪ B ⇒ P (A ∪ B) = P (A − B) + P (B) y, puesto que aplicando la 4a^ propiedad, P (A − B) = P (A) − P (A ∩ B), queda P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B)
Suceso nulo: Es cualquier suceso A ∈ A tal que A 6 = ∅, pero P (A) = 0.
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20 3. Probabilidad
Dado un suceso A de un experimento aleatorio (P (A) = p), sus posibilidades (”odds”) son de x a y porque
P (A) = p ⇒ Odds(A) = (^1) −p p = x y (x : y) (3.9)
Ejemplo 3.4.18. Si P (A) = 0, 3 , entonces
Odds(A) =^00 ,,^37 =^37 (3 : 7)
las posibilidades de A son de 3 a 7.
Las posibilidades son muy ´utiles cuando se habla de eventos muy raros (Odds(A) = 1 : 99) o muy frecuentes (Odds(A) = 99 : 1). Conocidas las posibilidades de un evento (x:y), su probabilidad p viene dada por odds = x y ⇒ p = (^) x +x y (3.10)
Si el espacio muestral Ω de un fen´omeno aleatorio es finito, Ω = {w 1 , w 2 ,... , wn} y A = P(Ω)
pueden darse dos situaciones: los sucesos elementales son equiprobables, o no lo son.
∀i = 1,... , n Ei = {wi} y P (Ei) = p
entonces p =^1 n
donde n = n(Ω) es el n´umero de resultados o casos posibles. La probabilidad de cualquier suceso est´a determinada, pues
∀A ∈ A A =
wi∈A
Ei
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