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DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
Estadística II
Grado en Administración y Dirección de Empresas
Grado en Marketing e Investigación de Mercados
Doble Grado en Administración y Dirección de Empresas y Derecho
Relación de Ejercicios del Bloque I: Muestreo y estimación
1) Se va a realizar un estudio de muestreo para estimar el gasto medio por alumno en las
universidades españolas, a partir del siguiente listado alfabético por Comunidades Autónomas en
el que se indica si son privadas o de la Iglesia:
a) Para llevar a cabo un muestreo aleatorio simple se generan los siguientes números aleatorios:
2, 25, 47, 13, 72, 28, 61, 22, 11, 18. ¿Qué universidades formarán parte de la muestra?
b) Suponga que se opta por un muestreo sistemático en el que se van a seleccionar 1 de cada 7
universidades. Si aleatoriamente se elige el 5 como elemento de arranque, ¿qué centros
conformarán la muestra?
c) Teniendo en cuenta que el gasto por alumno difiere entre universidades públicas, privadas y de
la Iglesia, ¿qué otro tipo de muestreo aleatorio resultaría más adecuado? Suponiendo una
afijación proporcional, ¿cuántos cuestionarios corresponderían a cada grupo de
universidades?
(Solución: c) 8 públicas, 3 privadas y 1 de la Iglesia).
Andalucía
1 Universidad de Almería
2 Universidad de Cádiz
3 Universidad de Córdoba
4 Universidad de Granada
5 Universidad de Huelva
6 Univ. Internacional de And.
7 Universidad de Jaén
8 Universidad de Málaga
9 Universidad Pablo de Olavide
10 Universidad de Sevilla
Aragón
11 Universidad de Zaragoza
12 Universidad San Jorge (*)
Canarias
13 Universidad de La Laguna
14 Univ. de LPGC
Cantabria
15 Universidad de Cantabria
16 UIMP
Castilla la Mancha
17 Univ. de Castilla La Mancha
Castilla y León
18 Universidad de Burgos
19 Univ. Católica de Ávila (+)
20 Eur. Miguel de Cervantes (*)
21 IE Universidad (*)
22 Universidad de León
23 Pontificia de Salamanca (+)
24 Universidad de Salamanca
25 Universidad de Valladolid
Cataluña
26 Universitat Abat Oliba CEU
27 Autónoma de Barcelona
28 Universitat de Barcelona
29 Universitat de Girona
30 Univ. Intern. de Catalunya(*)
31 Universitat de Lleida
32 Oberta de Catalunya (*)
33 Politécnica de Catalunya
34 Universitat Pompeu Fabra
35 Universitat Ramon Llull (*)
36 Universitat Rovira i Virgili
37 Universitat de Vic (*)
Comunidad de Madrid
38 Univ. Alfonso X El Sabio (*)
39 Universidad de Alcalá
40 Univ. Antonio de Nebrija (*)
41 Univ. Autónoma de Madrid
42 Univ. Camilo José Cela (*)
43 Univ. Carlos III
44 Univ. Complutense
45 Univ. a Distancia de Madrid
46 Univ. Europea de Madrid (*)
47 Univ. Francisco de Vitoria(*)
48 UNED
49 Univ. Politécnica de Madrid
50 Pontificia de Comillas (+)
51 Universidad Rey Juan Carlos
52 Univ. de San Pablo-CEU (*)
Comunidad Foral de Navarra
53 Universidad de Navarra (+)
54 Univ. Pública de Navarra
Comunitat Valenciana
55 Universidad de Alicante
56 Universitat Jaume I
57 Univ. Miguel Hernández
58 Politècnica de València
59 Universitat de València
60 Cardenal Herrera-CEU (*)
61 Univ. "S. Vicente Mártir" (+)
Extremadura
62 Universidad de Extremadura
Galicia
63 Universidade da Coruña
64 De Santiago de Compostela
65 Universidad de Vigo
Islas Balears
66 Univ. de Les Illes Balears
La Rioja
67 Universidad de La Rioja
País Vasco
68 Mondragon Unibertsitatea (*)
69 Universidad de Deusto (+)
70 Universidad del País Vasco
Principado de Asturias
71 Universidad de Oviedo
Región de Murcia
72 Politécnica de Cartagena
73 Católica de San Antonio (+)
74 Universidad de Murcia
() Universidad privada*
(+) Universidad de la Iglesia
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2) Si admitimos que los días desde que se emite una factura hasta que esta se paga se distribuyen
normalmente con media 16 y desviación estándar 5, ¿cuál sería la probabilidad de que en una
muestra aleatoria simple de 16 facturas la media fuera inferior a 18 días?
(Solución: 0,9452)
3) La renta anual de las familias de un determinado país, expresada en miles de €, se distribuye
normalmente, con media 55 y desviación típica 2.
a) A partir de la siguiente salida del programa Stagraphics, exprese formalmente la probabilidad
de que, seleccionada una muestra aleatoria simple de 16 familias, la renta media anual esté
comprendida entre 54.000 y 55.000 €.
b) Calcule la probabilidad de que la suma de la rentas de las 16 familias supere los 900.000 €.
(Solución: a) 0, 47725 ; b) 0,0062).
4) Las notas de los alumnos en un examen son una variable aleatoria X con distribución normal de
media 5. Determine la probabilidad de que la media muestral de las notas de 4 alumnos
seleccionados aleatoriamente, cuya cuasivarianza muestral es igual a 4, sea superior a 7.
(Solución: 0,05).
5) Se sabe que el 8% de los cartuchos de tinta producidos por una conocida marca de la rama
informática son defectuosos. Calcule la probabilidad de que entre 150 cartuchos seleccionados al
azar:
a) Haya más del 10% defectuosos.
b) Haya menos del 4% defectuosos. Resuélvalo con ordenador.
c) La proporción muestral de cartuchos defectuosos sea superior a la poblacional.
(Solución: a) 0,184 1 ; b) 0,0354 69 ; c) 0,5).
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b) ¿Qué condiciones deben cumplirse para que un estimador sea consistente en media
cuadrática? Analice la consistencia del primer estimador propuesto.
(Solución: a)
1
μ
ˆ es insesgado;
n
1
sesgo
2
( μˆ )=- ;
1
μˆ podría ser eficiente ; b)
X
1
ˆ es consistente porque
es insesgado y su varianza asintótica es nula).
10) Compruebe que la media muestral es un estimador eficiente del parámetro μ de la distribución de
Poisson. (Nota: Cota de Cramer-Rao=
n
μ
).
11) Se toma una muestra de tamaño 36 de una población de forma desconocida. No se conoce su
media (μ), pero se sabe, sin embargo, que su varianza σ
2
=144. Considerando que la muestra es
suficientemente grande:
a) Según el Teorema Central del Límite, diga cuál sería la forma y los parámetros de la
distribución de la media muestral procedente de dicha población.
b) Se obtiene que la media de esa muestra es 6. Aplique el método de los momentos para
estimar μ. A continuación, suponga que esa estimación es el verdadero valor de μ. Calcule la
probabilidad de obtener en otra muestra aleatoria simple de igual tamaño una media mayor
que 5 pero menor que 7.
(Solución: a) N ( μ , 2 ) ; b) 0,383).
12) Un torno fabrica tornillos cuya longitud oscila aleatoriamente entre dos valores, a y b. Suponiendo
que la longitud de los mismos se ajusta a una variable aleatoria uniforme, estime los parámetros
a y b haciendo uso del método de los momentos y a partir de los siguientes datos muestrales:
(Solución: 10 , 25
ˆ
10 , 08 ;
ˆ = =
MM MM
a b
).
13) Sea X una población con distribución Exponencial. Estime el parámetro β mediante el método de
máxima verosimilitud.
(Solución: X
MV
b =
).
14) Un proceso industrial produce paquetes de azúcar. El peso de estos paquetes sigue una
distribución normal con desviación típica 15 gramos. Se selecciona una muestra aleatoria de 25
paquetes y se obtiene un peso medio de 1.000 gramos.
Se pide:
a) Obtenga e interprete un intervalo de confianza del 95% para el peso medio de todos los
paquetes de azúcar producidos en el proceso.
b) Calcule el correspondiente error de estimación.
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c) ¿Qué tamaño de muestra sería necesario si queremos mantener el nivel de confianza pero
reducir el error de estimación hasta los 5 gramos?
Resuelva el ejercicio también a través del programa Excel.
(Solución: a) (994,12, 1005,88); b) ± 5 , 88 ; c) 35 ).
15) El retraso de los vuelos de una determinada compañía aérea sigue una distribución normal. Esta
compañía asegura que el retraso medio de sus vuelos es de 10 minutos, con una desviación
estándar de 5 minutos. Para contrastar esta información, se selecciona una muestra aleatoria de
35 vuelos, obteniéndose un retraso medio de 22 minutos y una desviación estándar de 7 minutos.
En base a esta información y a las siguientes salidas del programa Excel:
a) Formalice un intervalo de confianza del 95% para el retraso medio de los vuelos suponiendo
que la varianza poblacional aportada por la compañía es correcta.
b) Exprese formalmente un intervalo de confianza del 95% para el retraso medio de los vuelos
suponiendo que la varianza poblacional es desconocida.
c) Extraiga conclusiones a la luz de los resultados obtenidos.
(Solución: a) (20,34, 23,66); b) (19,56, 24, 44 )).
16) Para estudiar el consumo de gasolina de un nuevo modelo de coche, se selecciona una muestra
aleatoria de 20 vehículos y se obtiene un consumo medio cada 100 Km recorridos de 9,74 litros y
una desviación típica de 0,8 litros. Calcule un intervalo de confianza del 90% para el consumo de
gasolina medio de los automóviles de ese modelo, suponiendo que la distribución de la población
es normal.
(Solución: (9,4227, 10,0573)).
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c) Obtenga e interprete el intervalo de confianza al 99% para la diferencia de cuotas de mercado.
Nota: en todo el ejercicio se trabaja con el tamaño muestral obtenido en el primer apartado.
(Solución: a) 2.401; b) (0,11 2 , 0,13 8 ); (0,15 2 , 0,18 2 ); c) (-0,0679, - 0,0 155 )).
21) Una empresa de ámbito nacional va a realizar una investigación acerca del número de horas
diarias que sus 500 empleados trabajan con el ordenador. Esta variable sigue una distribución
normal. Se toma una muestra aleatoria de 10 trabajadores y se obtiene una media de 5’5 horas y
una desviación estándar corregida de 1 hora. Con esta información:
a) Estime un intervalo de confianza del 95% para el número medio de horas diarias que los
empleados trabajan con el ordenador.
b) Si el margen de error permitido hubiera sido de 1 hora ¿qué nivel de confianza se tendría en la
estimación?
c) Por estudios similares, se sabe que la varianza del tiempo de trabajo con el ordenador es de
1’5 horas
2
. ¿Qué tamaño muestral es necesario para estimar la media si se fija un error de
media hora y un nivel de confianza del 95%?
(Solución: a) (4,8864, 6,1136); b) 99,86%; c) 23).
22) Para dar respuesta a la demanda ciudadana y paliar los problemas de tráfico, el Ayuntamiento de
un determinado municipio se plantea la posibilidad de construir un aparcamiento subterráneo en
un barrio con 3.000 habitantes. Previamente, decide llevar a cabo un estudio de mercado
mediante muestreo aleatorio simple entre los residentes de dicha zona. A partir de las siguientes
salidas del programa Excel:
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a) Indique a partir de qué expresión se obtendría el tamaño de la muestra que debe
seleccionarse para estimar la proporción de vecinos que estarían dispuestos a adquirir una
plaza de aparcamiento, con un nivel de confianza del 90% y un error máximo de 0’03 y cuál
sería dicho tamaño.
b) Tras seleccionar dicha muestra, se comprueba que el 18% de los vecinos está interesado en
comprar una plaza de garaje. Formalice la expresión de un intervalo de confianza del 90%
para la proporción de clientes potenciales, indicando el resultado obtenido y el correspondiente
error de estimación.
c) El Ayuntamiento sólo aprobará la construcción del aparcamiento si confía en vender más de
500 plazas a los vecinos. ¿Qué decisión tomaría según el estudio de muestreo realizado?
(Solución: a) n=60 1 ; b) (0,15 69 , 0,203 1 ); error de estimación: ± 0,023; c) Construiría).
23) Para analizar la inserción laboral de sus titulados, la Facultad de Ciencias Económicas y
Empresariales de la UMA realiza un estudio de muestreo estratificado con asignación
proporcional en función de la titulación entre los estudiantes que finalizaron su carrera durante el
período 2001-2006. Para ello, de los 888 Licenciados en Administración y Dirección de Empresas
(LADE) se selecciona una muestra aleatoria simple de 172 individuos y entre los 662 de
Economía, otra de 12 8. En el siguiente cuadro se resumen algunos resultados relativos al tiempo
de búsqueda del primer empleo de los encuestados y al porcentaje que obtuvo dicho empleo en
Málaga capital:
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Ejercicios Complementarios
24) Un ascensor tiene como límite de carga 320 kg. Los pesos de los posibles usuarios del mismo se
distribuyen normalmente con media 75 kg y desviación típica 18 kg.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que el peso total de cuatro personas elegidas de forma aleatoria e
independiente supere dicho límite?
b) ¿Cuál es el peso máximo que debería poder soportar el ascensor si se quiere que sólo en el
1% de las ocasiones la suma de los cuatro pesos supere ese peso máximo?
(Solución: a) 0,2877; b) 383,88)
25) Suponga que la proporción de artículos defectuosos producidos en una fábrica es de 0,1. ¿Cuál
es el número más pequeño de tales artículos que habría que seleccionar si queremos que la
proporción de artículos defectuosos en la muestra sea inferior a 0,13 con una probabilidad de
(Solución: 543).
26) Dos empresas multinacionales A y B difieren en el porcentaje de trabajadores de género
femenino, de manera que la primera cuenta con un 40% de mujeres y la segunda sólo con un
27%. Seleccionados aleatoriamente dos grupos de 150 y 100 trabajadores, respectivamente,
para recibir un curso de formación, formalice la expresión de la probabilidad de que la proporción
muestral de mujeres en la empresa A supere a la de B en más de 0,20 puntos, y obténgala a
partir del programa Statgraphics.
(Solución: 0,12 072 )
27) De una población normal
N (μ, s)
se selecciona una muestra aleatoria de tamaño 2 y se utiliza
como estimador de la media el siguiente estadístico. ¿Es insesgado? Si no lo es, determine el
sesgo.
1 2
X
X
μ= +
(Solución: sesgo=
μ
).
28) Para estimar μ en una población Normal con desviación típica 1, se extrae una muestra aleatoria
simple de tamaño 3 y, se considera el siguiente estimador para μ:
1 1 2 3
X
2
1
X
8
3
X
8
1
T = + +
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Tomando como criterio el Error Cuadrático Medio, elija el óptimo entre T
1
y otro estimador (T
2
cuyo error cuadrático medio es
. Razone su respuesta.
(Solución: ( ) ; ( ) ( )
1 2 2 1
T óptimoporque ECMT ECM T
32
13
ECM T = <
).
29) Dada una variable aleatoria X con media μ y varianza σ
2
se proponen los siguientes estimadores
para la media:
1 2 1 2
μ ˆ μˆ ( ... )
n
X X X X
n n
a) Estudie la insesgadez de estos estimadores.
b) Defina el error cuadrático medio de un estimador, calcúlelo para cada uno de los estimadores
propuestos y elija el preferido bajo este criterio.
(Solución: a) esinsesgado
n
Sesgo
1 2
μ μ
; b)
n
ECM
n
n
ECM
2
2
2
2
1
s
μ
s
μ = + )=
; elegimos
2
μ
30) Se extrae una muestra de 4 observaciones para estimar el parámetro β de una población
exponencial y se define el siguiente estimador:
( ) ( )
1 1 2 3 4
T = X + X + X + X
.
a) Obtenga el error cuadrático medio de dicho estimador y explique si, según este criterio, sería
más adecuado que la media muestral.
b) Compruebe si el estimador T 1
es eficiente (NOTA: La cota de Cramer-Rao es
2
n
b
(Solución: a)
2
1
18
5
ECM ( T )= b
; sería preferible la media muestral dado que
4
ECM X
2
b
( ) =
; b) No, porque
la varianza no alcanza la Cota de Cramer-Rao).
31) Con objeto de comparar el coste de la vida en dos ciudades se realiza una encuesta sobre el
gasto en alimentación de las familias con tres miembros. De cada ciudad se seleccionan
aleatoriamente una muestra de 20 familias de este tipo y se observan sus gastos semanales en
alimentación, obteniéndose los siguientes resultados (expresados en euros):
225 s 21 x 195 s 12
1 1 2 2
x
Si se supone que las correspondientes poblaciones son normales, independientes y de igual
varianza, utilizando el programa Excel obtenga intervalos de confianza del 90% y del 99% para la
diferencia de medias, expresando formalmente la expresión de dichos intervalos. ¿Podríamos
concluir que existe una diferencia real entre el gasto medio de estas familias en las dos
ciudades?
(Solución: a) (20,6 4 , 39,3 6 ); b) (14,95, 45,05)).
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36) Un colegio en el que están matriculados 800 alumnos se plantea ofrecer servicio de comedor
para el próximo curso, pero sólo estaría dispuesto a hacerlo si una cuarta parte de sus alumnos
solicitara dicho servicio. Para estudiar el proyecto, se selecciona una muestra aleatoria de 50
estudiantes, de los cuales 20 indican que utilizarían el comedor escolar. Con estos datos:
a) Construya un intervalo de confianza del 95% para estimar la proporción de alumnos del colegio
interesados en el comedor. Según el resultado obtenido, ¿se ofertará dicho servicio?
b) Calcule el correspondiente error de estimación.
c) Si se quisiera estimar dicha proporción con un error máximo de 0,05 y un nivel de confianza del
98% ¿cuántos alumnos deberían seleccionarse en la muestra?
(Solución: a) (0,2672, 0,5328); sí; b) ± 0,1328; c) 324).
37) Una compañía decide analizar los hábitos de ahorro semestrales de sus 360 empleados, para lo
cual lleva a cabo un estudio de muestreo estratificado con asignación proporcional. De los 40
empleados seleccionados al azar, 20 son obreros, 10 administrativos y otros 10 ejecutivos, para
los que se obtienen los siguientes resultados.
Obreros Administrativos Ejecutivos
Media 100 € 140 € 320 €
Cuasivarianza 16.000 €
2
2
2
Estime, suponiendo normalidad y utilizando el programa Excel, el ahorro medio de todos los
empleados por puntos y mediante un intervalo del 95% de confianza, indicando el error de
estimación. Debe formalizar todas las expresiones.
(Solución: Por puntos: 165; por intervalo: (63,6807, 266,3193); error: ±101,3193).
