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05P2. Introducción a la Estadística aplicada a la empresa
Licenciado en Administración y Dirección de Empresas
Departamento de Métodos cuantitativos para la Economía
Universidad de Murcia
Curso 2007/
Relación de problemas 3
Números índice
3.1 Ejercicios
3.2 Soluciones
3.1 Ejercicios
1.- De acuerdo con los datos del Censo Oficial de Población, los municipios españoles que más han crecido
desde 1981 son:
Población 2001 Población 1981 Fuenlabrada 182.705 78. Murcia 370.745 284. Móstoles 196.524 150. Marbella 100.036 60. Torrevieja 50.953 12.
a) ¿Cuál es la tasa de variación del periodo para el municipio de Torrevieja? ¿Ha crecido más o menos,
relativamente hablando, que el municipio de Murcia?
b) Supongamos que Marbella crece en el periodo 2001-2002 exactamente a la tasa media anual que ha
crecido durante el periodo 1981-2001. ¿Qué número de habitantes tendría en 2002?
c) Construya un índice simple, base 1981, de la Población en 2001, para cada uno de los municipios.
2.- Los datos sobre la producción y precios de venta de una empresa durante los años 2001 y 2003 por
ramas de actividad de la empresa son:
Producción Precios Rama 2001 2003 2001 2003 A 100 150 14 10 B 250 300 18 12
a) Calcule los índices de Laspeyres y Paasche para los precios de la empresa en 2003 con base 2001.
b) ¿Cuál ha sido la tasa media anual de variación de los precios en el periodo 2001-2003? ¿y la tasa de
variación del período 2001-2003?
3.- Una empresa fabrica 3 productos A, B y C, cuyos precios y unidades producidas en el periodo 1997-
se encuentran en la siguiente tabla:
Precio Nº unidades Precio Nº unidades Precio Nº unidades A 10 500 12 600 14 550 B 30 900 28 950 35 1020 C 20 700 18 750 21 800
Responda a los siguientes apartados:
a) Obtenga las tasas de variación anuales del precio del producto B en el periodo 1997-1999. ¿Cuál es la
tasa media de variación anual en dicho periodo?
b) Calcule e interprete los índices de cantidades de Paasche y Edgeworth en el año 1998, base 1997.
c) Obtenga los índices de precios de Laspeyres en 1998 y 1999, base 1997. ¿Cuál es la tasa de variación
media anual en el periodo 1997-1999 de los precios de los tres bienes considerados simultáneamente?
4.- Una empresa de productos químicos fabrica tres tipos de artículos. Las unidades producidas de cada uno
de ellos y sus precios durante el período 2002-2005 se recogen en la siguiente tabla:
precio nº uds. precio nº uds. precio nº uds. precio nº uds. Artículo 1 12 300 10 350 18 380 19 400 Artículo 2 9 250 12 210 14 200 16 215 Artículo 3 60 100 63 116 75 118 85 108
a) ¿Qué artículo ha experimentado un incremento relativo mayor en su precio en el período 2002-2005?
b) Obtenga los índices de cantidades tipo Laspeyres en base 2002. ¿Ha aumentado la cantidad producida
por la empresa en su conjunto en el año 2005 respecto del 2002?
c) Calcule el índice de valor de 2003 con base 2002.
d) ¿Cuál es la tasa media de variación anual de la cantidad de artículos tipo 2 en el período 2002-2005? Si
se deseara que al menos esa misma tasa se produjese el año siguiente, ¿cuál sería la cantidad
producida del artículo 2 en 2006?
5.- En el año 2000 una compañía aérea sacó dos tipos de ofertas para un “paquete de diez vuelos, ida y
vuelta, a Nueva Delhi válidos durante cuatro años”. Los diez vuelos pueden utilizarse o no pero el precio
de la primera oferta consistía en cuatro pagos anuales, siendo el primero de 1.000 €, con un aumento
anual igual al IPC de transportes. El precio de la segunda consistía también en cuatro pagos anuales
siendo el primero también de 1.000 € pero con un aumento anual fijo del 5% con respecto a la cantidad
pagada el año anterior.
Año 2000 2001 2002 2003 IPC transporte (base 2002) 86% 94% 100% 107%
a) Calcule las cantidades anuales que tuvo que pagar un cliente con cada oferta.
b) ¿Cuál es la mejor oferta para el cliente a precios constantes del año 2003? Justifique su respuesta.
c) Obtenga la tasa media de variación anual, en el periodo de estudio, del precio de cada oferta.
6.- Se dispone de la siguiente información acerca de la producción de una empresa y los precios de venta de
sus artículos en diferentes años:
Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad Producto A 45 18 50 20 55 Producto B 20 9 15 5 30
a) Obtenga la tasa de variación de la producción de A en el período 2000-2002.
b) Calcule la tasa media de variación anual de la producción de B en el período 2000-2002. Compárela
con las tasas de variación anuales de dicha producción. Comente el resultado.
c) Construya los índices simples de precios del año 2001 con base 2000. Comente los resultados.
d) Construya los índices de producción de Laspeyres de cada año en base el anterior. Comente los
resultados.
e) Si el precio de B en el 2002 es 12 u.m. y el índice de Paasche de precios del 2002 en base 2000 es
1. Obtenga el índice de valor del año 2002 en base 2000.
2. Obtenga el valor de la producción del 2002.
3. Obtenga el valor de la producción del año 2001 a precios del 2002.
7.- Una empresa textil fabrica pantalones, jerséis y calcetines. Las secciones que fabrican los diferentes
productos han ofrecido los siguientes datos:
Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad Precio Cantidad Pantalones 10 157 11 160 13 190 15 189 Jerséis 8 130 9 190 9 180 9,5 196 Calcetines 1,1 600 1,3 750 1,4 738 1,6 785
a) Obtenga las tasas de variación anuales del precio, de la producción y del valor de los pantalones.
b) Obtenga el índice de precios de Paasche del 2002, base 2000.
c) ¿Cuál es el artículo que más ha aumentado su precio (en términos relativos) en el periodo 1999-2002?
¿Cuáles han sido las respectivas tasas medias de variación anual en ese periodo?
d) ¿Cuáles serían los precios de los tres productos en el año 2003 si se desea un aumento de precios, en
los pantalones, jerséis y calcetines, del 2%, 1,5% y 1%, respectivamente? ¿Y el índice de precios de
Laspeyres para ese año, base 1999?
14.- Una empresa ha recogido información sobre su gasto telefónico, teniendo en cuenta llamadas
provinciales e interprovinciales:
Precio (€/minuto)
Tiempo (minutos)
Precio (€/minuto)
Tiempo (minutos)
Precio (€/minuto)
Tiempo (minutos) Provincial 0,2 22.000 0,3 24.000 0,4 21. Interprovincial 0,5 21.000 0,6 13.000 0,55 9.
Se pide:
a) Tasa de variación del periodo 2000-2002 de los precios de ambos tipos de llamadas así como la tasa
media anual correspondiente en cada caso.
b) El índice de precios de Laspeyres del año 2002 (base 2000).
c) La tasa de variación del precio, en términos constantes, de las llamadas provinciales y de las
interprovinciales en el período 2000-2002, sabiendo que el IPC de 2002 con base 2000 es de 110%.
15.- Se desea estudiar la evolución, en el período 1998-2001, del precio medio de dos tipos de viviendas:
vivienda de 100 m
2
construidos (tipo 1) y vivienda de 150 m
2
construidos (tipo 2). En la siguiente tabla se
recogen los precios (en euros) y el número de viviendas construido para cada tipo (1 y 2), así como el IPC
de dicho años:
Precio (tipo 1) 150.000 170.000 179.000 186. Nº de viviendas (tipo 1) 1.000 2.000 3.000 5.
Precio (tipo 2) 200.000 210.000 250.000 275. Nº de viviendas (tipo 2) 500 500 1.000 2.
IPC (base 1992) 123% 126% 131% IPC (base 2000) 100% 104%
Se pide:
a) Completar la serie del IPC con base 2000 y obtener el IPC con base 1992 en el año 2001.
b) Calcular el porcentaje de incremento del precio real (u.m. del año 1992) de las viviendas tipo 1
experimentado entre 1998 y 2001.
c) Calcular el incremento (en porcentaje) del precio nominal de las viviendas de tipo 2 experimentado entre
2000 y 2001.
d) Si el precio de las viviendas de 150 m 2 construidos hubiesen incrementado según el IPC, calcular cuál
debería ser el precio en 2001 si en 1998 costaba 200.000€.
e) Hallar la tasa media de variación anual experimentado conjuntamente por los dos tipos de vivienda
entre 1998 y 2001.
16.- Se dispone de la siguiente información acerca del salario mensual, en u.m. corrientes, de un trabajador y
de los índices de precios en su comunidad autónoma en el período 1998-2005:
Años Salario Indice (base 92) Indice (base 02) 1998 1.503 121,56% 1999 1.518 123,65% 2000 1.603 126,65% 2001 1.631 131,00% 2002 1.654 135,70% 2003 1.704 105,12% 2004 1.726 118,73% 2005 1.754 125,14%
a) Calcule la tasa de variación del salario nominal en el período completo 1998-2005.
b) Calcule la tasa de variación del salario real en dicho período. Interprete el resultado, comparándolo con
el obtenido en el apartado anterior.
c) Obtenga la tasa media de variación anual del salario nominal en el período 1998-2001. Interprétela.
17.- Para una empresa textil se sabe que los salarios (en miles de euros) que paga a sus empleados en
distintas categorías y años son los siguientes:
Años Salario 2003 Categoría 1999 2000 2001 2002 Salario nº trabaj. A 1,00 1,10 1,15 1,18 1,25 75 B 1,30 1,35 1,40 1,43 1,47 60 C 1,50 1,53 1,55 1,60 1,70 25 D 2,00 2,05 207 2,10 2,15 10 IPC 2000 97,5% 100% 102,5% 104% 109%
a) Calcule los índices simples del año 2003, base 99, para los salarios de cada categoría. Comente los
resultados.
b) Calcule un índice de salarios para el conjunto de la empresa para el año 2003, base 99. ¿Qué índice ha
calculado? Comente el resultado.
c) Obtenga la serie de salarios, en u.m. constantes de 1999, para la categoría C. Calcule la tasa de
variación media para ambas series (u.m. corrientes y constantes). Comente los resultados.
d) Durante el periodo 1996-1999 se sabe que el salario de la categoría A ha crecido anualmente a una
tasa media del 3,75%. Obtenga el índice simple de salarios para esa categoría para el año 2003, base
18.- Una empresa tiene tres categorías de trabajadores (A, B y C) de las que ofrece la siguiente información
para los años 2000 y 2004:
Número de trabajadores Salario por trabajador (en euros) Categoría (^2000 2004 2000 ) A 100 75 1.250 1. B 200 250 2.000 2. C 50 40 3.000 3.
a) Obtenga las tasas medias de variación anuales de los salarios de cada categoría. Comente los
resultados.
b) Calcule el índice de salarios de Laspeyres del año 2004 y la tasa de variación de los salarios del periodo
2000-2004 para el conjunto de la empresa. Comente el resultado.
c) Calcule el índice de valor del año 2004. Comente y compare sus resultados con el índice de salarios de
Laspeyres para ese mismo año.
d) Si los precios en el periodo 2000-2004 han subido un 15%, calcule el salario real del año 2004, en u.m.
del 2000, de las tres categorías.
19.- A partir de la siguiente información acerca del salario medio de los trabajadores y de los índices de
precios durante el período 1997-2001,
Años Salario (u.m.) IPC (base 92) IPC (base 98) 1997 150.300 119,2% 1998 152.800 121,56% 1999 160.300 110% 2000 163.100 112,3% 2001 175.400 121%
a) Completar las series de índices base 92 y base 98.
b) Obtener los salarios reales (en u.m. constantes año 1997) y determinar si el poder adquisitivo de los
trabajadores aumenta durante el período 1997-1999.
c) Un contrato de trabajo tiene una cláusula por la cual se hará un ajuste de 25 euros en el salario si, como
mínimo, el índice de precios se incrementa un 9% durante el período 1997-2001. Determinar si se llevará a
cabo dicho ajuste.
20.- La empresa “Seguros del sureste, S.A.” se dedica a la realización de seguros de diversas clases en una
localidad determinada. Dada la alta competencia del sector, ofrece precios (primas de seguros) más bajos
que otras compañías, sin embargo, éstos junto con la cuantía del riesgo cubierto (o coste de un siniestro)
son únicos por cada tipo de seguro. Los datos de los que se dispone se refieren al año 1998 y se ofrecen
en la tabla 1:
Tabla 1
Tipo de Seguro Prima anual (u.m.) Nº asegurados Coste de un siniestro (u.m.) Nº siniestros Obligatorio de vehículos 200 150 400 43 Hogar 100 75 150 12 Responsabilidad civil ilimitada 55 20 85 1 Defensa jurídica 15 48 25 5 Vida 22 100 33 0 Mercancías 52 7 78 0 Accidentes 43 86 69 9 Viajeros 5 18 15 1 Asistencia sanitaria 110 56 185 90 Totales 602 560 1040 161
Tabla 2 1995 1996 1997 1998 1999 (estimado) IPC 90 125% 127% 130% 132% 133%
a) Obtenga la serie del IPC en base 97 para el periodo 1995-1999.
3.2 Soluciones
a) TVP 81 01 = 313,55%. Ha crecido más que el municipio de Murcia (30,28%). b) 102.611 habitantes. c) Índice simple (%) Fuenlabrada 233, Murcia 130, Móstoles 130, Marbella 166, Torrevieja 413, 2.- a) LP,01 03 = 67,80% PP,01 03 =68% b) TMAA^0301 = −17,66% si se utiliza el índice de Laspeyres y TMAA 0301 = −17,54% si se calcula a partir del índice de Paasche. Para la tasa de variación del período los datos correspondientes son -32,20% y -32%. 3.-
a) TAV 97 98 = −6,67% TAV 9899 = 25% TMAA^9997 =8,01% b) PQ,97 98 = 107,99% EQ,97 98 =107,79% c) LP,97 98 = 95,22% L (^) P,97^99 = 115,65% TMAA^9997 =75,41%
4.- a) El artículo 2, 77,78%. b) LQ,02 03 = 110,13% LQ,02 04 = 113,42% LQ,02 05 =111,52%. Sí, en un 11,52%. c) IV 0203 =112,47% d) TMAA^0502 = −4,90%. La cantidad producida sería 205.
5.- a) 2000 2001 2002 2003 1 oferta 1000 940 940 1005, 2 oferta 1000 1050 1102,5 1157,
b) La segunda. c) TMAA^0300 = 7,55% para la primera oferta y TMAA 0300 =5% para la segunda.
6.-
a) TVP 0002 =22,22% b) TMAA^0200 = 22,47% TAV 00 01 = 25% TAV 0102 =100% c) IA,00 01 = 111,11% IB,00 01 = 55,55%. d) LQ,00 01 = 104,54% LQ,01 02 =116,28% e) 1. IV 00 02 = 169,69% 2. 1.679,96 3. 1.
7.- a) TAV (%) Precio
TAV (%)
Cantidad
TAV (%)
Valor 2000-1999 10 1,91 12, 2001-2000 18,18 18,75 40, 2002-2001 15,38 -0,53 14, b) PP,00 02 = 122,40%. c) Los pantalones (50%). TMAA (%) Pantalones 14, Jerséis 5, Calcetines 13, d) 15,3 (pantalones) 10,925 (jerséis) 1,616 (calcetines). 03 LP,99 =146,54%
8.- a) Años 2001 2002 2003 I t 2001 100% 102% 103,02%
2002 2002 2001 2001 2003 2002 2003 2001 2001 2002
I 1 TAV 1 0,02 1,02 (102%)
I I I 1,02 1,01 1,0302 (103,02%)
= × = × =
b) 2002 2003 TAV (^) 02- Valor nominal 150 172,5 15,00% Valor real (u.m. 2001) 147,06 167,44 13,86% Índice de precios (base 2001) 102 103,02 1,00%
9.-
Año Valor nominal Índice precios (base 94)
Índice precios (base 2001)
Valor real (u.m. 2001) 1995 420 108% 98,18% 427, 1996 109% 99,09% 1997 420 108,50% 98,64% 425, 1998 109,10% 99,18% 1999 480 109,30% 99,36% 483, 2000 109,50% 99,55% 2001 550 110% 100,00% 550, NOTA: Para el cálculo del valor real se ha trabajado con 2 decimales en el índice de precios en %. 10.- 2004 2005 TVP (^) 04- Salario nominal 1.500 2.000 33,33% Salario real (u.m. 2004) 1.500 1.869,33 24,62% Indice de precios (base 2004) 100% 106,99% 6,99% 11.- a) Año 2 3 4 5 Indice anual de salarios 164,71% 116,07% 69,23% 133,33% TAV del salario 64,71% 16,07% -30,77% 33,33% b)
(^5 4 ) 1 1
(^5 4 ) 1 1
TMAA (Salario) I 1 1 0,1526 15,26% 34 49 TMAA (Nºtrabajadores) I 1 1 0,1832 18,32% 25
c) Año 1 2 3 4 5 IPC (base 5) 94,23% 94,69% 96,07% 97,92% 100,00% Salario real (u.m. año 5) 36,08 59,14 67,66 45,96 60,
TMAA (Salario real) I 1 1 0,1356 13,56% 36,
a)
02 P.O.,02^ P.O.,00^ Libres,02^ Libres, P, P.O.,00 P.O.,00 Libres,00 Libres, 02 P.O.,02 P.O.,00 Libres,02 Libres, Q, P.O.,00 P.O.,
p q p q (^) 57,3 60,1 115,9 296, L 1,3101 131,01% p q p q 54,4 60,1 86,3 296, q p q p L q p
+ × + ×
+ × + ×
Libres,00 Libres,
q p 60,1 54,4 296,2 86,
× + ×
× + ×
b)
(^02 202 ) 00 P, (^02 202 ) 00 Q,
TMAA (Precios) L 1 1,3101 1 0,1446 14,46%
TMAA (Cantidades) L 1 1,4534 1 0,2056 20,56%
c) Precio (miles €)
Número de viviendas (miles)
Precio (miles € del año 2000) P.O. Libres P.O. Libres P.O. Libres 2000 54,4 86,3 60,1 296,2 54,4 86, 2002 57,3 115,9 52,9 452,2 53,65 108, TAV (^) 01-02 5,33% 34,30% -11,98% 52,67% -1,38% 25,75%
a) Salarios (u.m. corrientes) Categoría 1999 2002 Indice de salarios (99-02) TVP (^) 99- A 20 28 140,00% 40,00% B 30 36 120,00% 20,00% C 45 55 122,22% 22,22% D 60 77 128,33% 28,33%
c)^0198 3 01983 ( )
TMAA I 1 1 0,0276 2,76%
a) CAT. A B C D 03 I 99 (salario) 125,00% 113,08% 113,33% 107,50% b) S (^) i,03ni,03 S* (^) i,99ni,* 93,75 75 88,2 78 42,5 37, 21,5 20 245,95 210,
=
∑
∑
D i,03 i, (^03) i A S,99 D i,99 i, i A
S n 245, P 1,1684 116,84% S n 210,
c) Años (^) (miles € corrientes)Salario de C Salario CTAV IPC 99 TAVIPC Salario real de C(miles € de 1999) 1999* 1,5 − 100,00% − 1, 2000 1,53 2,00% 102,56% 2,56% 1, 2001 1,55 1,31%^ 105,13% 2,51%^ 1, 2002 1,6 3,23%^ 106,67% 1,46%^ 1, 2003 1,7 6,25% 111,79% 4,80% 1, *NOTA: Para el cálculo del salario real se ha trabajado con 2 decimales en el IPC en %.
TMAA (S. nominal) I 1 1 0,0318 3,18% 1,
TMAA (S. real) I 1 1 0,0034 0,34% 1,
d)
( ) (^ )
03 03 96 96 96 96 99 99 99 99 99 993 3 (^96 )
S 1,
I (A) 1 ,396 (139,6%)
S 0,
S S I S S 1 0,
I 1 TMAA 1 0,
a)^0400 4 04004 ( )
TMAA (A) I 1 1 0,0466 4,66%
TMAA (B) I 1 1 0,0153 1,53%
TMAA (C) I 1 1 0,0393 3,93%
b)
S (^) i,04ni,00 S* (^) i,00ni,* 150.000 125. 425.000 400. 175.000 150. 750.000 675.
=
∑
∑
C i,04 i, (^04) i A S,00 C i,00 i, i A
S n
L 1,1111 111,11% S n 675.
TVP 0004 = LS,00 04 − 1 =0,1111 ( 11,11%)
c) S (^) i,04ni,04 S* (^) i,00ni,* 112.500 125. 531.250 400. 140.000 150. 783.750 675.
=
∑
∑
C i,04 i, (^04) i A 00 C i,00 i, i A
S n
IV 1,1611 116,11% S n 675.
d)
Categoría Salario nominal 2004 (u.m. corrientes )
04 IPC (^00) Salario real 2004 (u.m. año 2000) A 1.500 115% 1.304, B 2.125 115% 1.847, C 3.500 115% 3.043,
a) Años IPC (base 92) IPC (base 98) 1997 119,21% 98,07% 1998 121,56% 100,00% 1999 133,72% 110% 2000 136,51% 112,3% 2001 147,09% 121%
b) Años Salario nominal (u.m. corrientes) IPC (base 97) Salario real (u.m. 1997) 1997* 150.300 100,00% 150.300, 1998 152.800 101,97% 149.847, 1999 160.300 112,17% 142.908, 2000 163.100 114,51% 142.432, 2001 175.400 123,39% 142.150, NOTA: Para el cálculo del salario real se ha trabajado con 2 decimales en el IPC en %.
99 99 97 97
TVP (salario real, u.m.1997) I 1 1 0,0492 4,92%
c) Ya se calculó en el aparatado b, pero la resolución sería la siguiente
01 92 97 01 92 01 01 97 01 97 97 98 97 98
IPC 147,
IPC 119,
IPC TVP IPC 1 0,2339 23,39%
IPC 121
IPC 98,
⎪= =^ = ⎪
= ⎪^ ⎪ ⇒ = − =
23,39% > 9% ⇒ Sí se hará el ajuste de 25€ 20.-
a) Años 1995 1996 1997 1998
(estimado) IPC 97 96,15% 97,69% 100,00% 101,54% 102,31% b) Tipo de Seguro Prima anual 1998 IPC 9899 Prima anual 1999 Defensa jurídica 15 100,76% 15, Asistencia sanitaria 110 100,76% 110, c) Años Prima Seg. Hogar(u.m. corrientes) IPC 90 Prima Seg. Hogar(u.m. 1990) 1995 89 125% 71, 1996 91 127% 71, 1997 97 130% 74, 1998 100 132% 75, 1999 120 133% 90,
TMAA (Prima nominal) I 1 1 0,0776 7,76% 89
TMAA (Prima real) I 1 1 0,0610 6,10% 71,
a)^9590 5 95905 ( )
TMAA (S. nominal) I 1 1 0,1007 10,07% 52
b) Años Salario real (u.m. 1980)
TAV
05 05 98 98
TVP (S. real) I 1 1 0,1034 10,34% 37,
c) = = = =
96 (^96 ) (^96 95 95 95 ) 80
IPC 217
S S IPC S 84 88,92 u.m. IPC 205
