Tema%06.%Está-ca%analí-ca.%Método%de%los%trabajos%virtuales.%Método%del%potencial.%
Mecánica%
Cecilia'Pardo'Sanjurjo'
DPTO.%DE%INGENIERÍA%ESTRUCTURAL%Y%MECÁNICA%
Este%tema%se%publica%bajo%Licencia:%
Crea-ve%Commons%BY‐NC‐SA%3.0%
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Orientación Universidad
Prepara tus exámenes
Prepara tus exámenes y mejora tus resultados gracias a la gran cantidad de recursos disponibles en Docsity
Busca documentos
Prepara tus exámenes con los documentos que comparten otros estudiantes como tú en Docsity
Busca tu universidad
Encuentra los documentos específicos para los exámenes de tu universidad
Video Cursos
Estudia con lecciones y exámenes resueltos basados en los programas académicos de las mejores universidades
Quiz
Responde a preguntas de exámenes reales y pon a prueba tu preparación
Consigue puntos base para descargar
Gana puntos ayudando a otros estudiantes o consíguelos activando un Plan Premium
Comunidad
Pregúntale a la comunidad
Pide ayuda a la comunidad y resuelve tus dudas de estudio
Ebooks gratuitos
¡Nuestros e-books salva-estudiantes!
Descarga nuestras guías gratuitas sobre técnicas de estudio, métodos para controlar la ansiedad y consejos para la tesis preparadas por los tutores de Docsity
Un trabajo para ayuda del estudio de compañeros de carrera
Tipo: Apuntes
2021/2022
1 / 43
Esta página no es visible en la vista previa
¡No te pierdas las partes importantes!
Documentos relacionados
Vista previa parcial del texto
¡Descarga Ejercicios estática 06 y más Apuntes en PDF de Estática solo en Docsity!
Tema 06. Está-ca analí-ca. Método de los trabajos virtuales. Método del potencial.
Mecánica
Cecilia Pardo Sanjurjo
DPTO. DE INGENIERÍA ESTRUCTURAL Y MECÁNICA
Este tema se publica bajo Licencia: Crea-ve Commons BY‐NC‐SA 3.
Estática analítica Métodos basados en el cálculo del trabajo de las fuerzas y de las energías potenciales para estudiar el equilibrio de un sistema de sólidos.
- método de los trabajos virtuales posiciones de equilibrio
- método del potencial posiciones de equilibrio y estabilidad Puntos de equilibrio : configuración del sistema en que hay equilibrio Estabilidad : comportamiento del sistema cuando se separa de una posición de equilibrio En este tema le llamaremos V a la energía potencial por ser la notación habitual en mecánica analítica. En Dinámica hemos preferido llamarle Ep, notación empleada en el bachillerato.
Ejemplo: !" #""$% !" & #""$%
'
!"
$# %""&' !"
$# %""&' () ' *+,μ$' dW = 100 cos 30 ·dx dW = 100 cos 30 ·dx − μd N·dx El trabajo de una fuerza es el desplazamiento por la componente de la fuerza paralela al mismo. El trabajo de todas las fuerzas en un dx: ∑ Fy =^0 )N^ =^ mg^ +^100 sen^30 dW = 50 3 ·dx − μd ( mg + (^50) )·dx El trabajo total en ir de 1 a 2: W 12 = (^) ∫ 1 → 2 dW= ⎡ 50 3 − μd ( mg + 50 ) ⎣
0 ·dx a ∫ =^ ⎡ ⎣ 50 3 −^ μd (^ mg^ +^50 )⎤ ⎦ a Bloque deslizando de 1 a 2 con rozamiento
Trabajo en un sólido rígido El trabajo de las fuerzas interiores en un sólido rígido es cero, ya que las fuerzas interiores se cancelan dos a dos. Sólo hay que considerar el trabajo debido a las fuerzas exteriores.
dW = F
∑ extiidr
i Siendo i el punto donde está aplicada la Fext i y dri el desplazamiento de ese punto. A partir de ahora elimino el subíndice exteriores: siempre me estaré refiriendo a ellas cuando consideremos sólidos rígidos
- Trabajo del par de fuerzas en una traslación:
- Trabajo del par de fuerzas en una rotación con centro en A:
dr
A =^ dr
B =^ dr
dWM = −
Fidr
Fidr
drA = 0
dr
B
= a ⋅ dθ tangente a la trayectoria
dWM =
Fidr
B =^ F·a·dθ^ =^ M^ dθ
Si la rotación y el momento tienen el mismo sentido , como en este caso, el trabajo es positivo. Si son opuestos , el trabajo es negativo. dr a A B F F dr a A B F F d! drB=ad!
Trabajo de un par de fuerzas: dWM =
Midθ
A d! M dW= + Md! B A^ d! M dW= Md! B Esta expresión es general para problemas espaciales, en los cuales los pares y los desplazamientos angulares puede ser tres componentes. En el caso plano se reduce al simple producto de los módulos con signo + o – según sean del mismo sentido u opuestos:
dr
A
F
r
N
dr
A A
N
F
r
=μ N
- En los apoyos entre sólidos:
La fuerza de rozamiento trabaja únicamente si hay deslizamiento relativo
dWF
r
Fr idr
= − Fr dr
dWF
r
Fr idr
= − Fr drA
drA=0: dWFr=
N
Fr= μN
c) Giro y deslizamiento en A: a) Deslizamiento (traslación): b) Giro sin deslizamiento en A: En todos los casos:
dWN = 0 N ⊥ dr
Trabajo virtual Los trabajos que hemos definido eran realizados en desplazamientos reales, en movimientos que ocurren. Pero también podemos imaginarnos unos desplazamientos hipotéticos, que no tienen por qué ocurrir: a esos desplazamientos se les llama desplazamientos virtuales , y al trabajo realizado por las fuerzas en esos desplazamientos ficticios, recibe el nombre de trabajo virtual. mg dy real mg !y virtual mg !r virtual Para distinguir desplazamientos reales y virtuales, utilizaremos el símbolo delta ( ) para designar los desplazamientos virtuales y los trabajos virtuales correspondientes
δr
δW= desplazamiento virtual
Fiδr
δ
Trabajo virtual: δW=
Fiδr
δr
desplazamiento virtual
! (^)! "!
! ! (^)! Para situar un sólido rígido libre en el plano, hay que dar la posición de uno de sus puntos y la orientación en el plano para que todos sus puntos queden perfectamente determinados. El punto se puede dar con 2 distancias y, la orientación se suele dar mediante el ángulo de inclinación respecto a un eje fijo: 3 coordenadas 3 coordenadas variables Una sola coordenada , ,es suficiente ya que hay un enlace en A θ
Principio de los trabajos virtuales Un sistema de cuerpos rígidos conectados está en equilibrio si y sólo si el trabajo virtual realizado por todas las fuerzas y pares exteriores que actúan sobre el sistema es igual a cero para cualquier desplazamiento virtual:
δW = F
∑ iiδri
= 0 ∀ δr
i
En la posición de equilibrio
Se puede aplicar, dadas las fuerzas, para determinar la posición de equilibrio o a la inversa, para calcular cuanto debe valer alguna fuerza para que haya equilibrio en una posición determinada. Aunque se puede aplicar para cualquier desplazamiento del sistema, conviene utilizar desplazamientos compatibles con los enlaces para minimizar el número de fuerzas que den trabajo. Hay además que expresarlo sólo en función de las coordenadas independientes. Vamos a ver como se aplica con un ejemplo
G A B C D W 1 ! W 2 W 2 M L/ L/ ! x y E H yH=0.5Lsen yG=yC+2h/ h yE=BA+0.5Lsen! δW = −W 1 δyG − W 2 δyH − W 2 δyE + Mδθ yG = Lsenθ + 2 h 3 → δyG = Lcosθ δθ yH =
L
senθ → δyH =
L
cosθ δθ yE = AB+
L
senθ → δyE =
L
cosθ δθ Desplazamientos coordenadas: δW = (^) ( −W 1 Lcosθ − W 2 Lcosθ + M) δθ = 0 ∀δθ En el equilibrio: M = (^) ( W 1 + W 2 ) Lcosθ La expresión del trabajo virtual: Uso un desplazamiento angular δθ del mismo sentido que M → δWM = +Mδθ
A B C D W 2 !!"! x y H G E^ M !!"! "! W 2 W 1 "! "rH "rC Desplazamiento del sistema que se ha empleado: δθ positivo (aumento del ángulo θ)
El hilo se sustituye por la fuerza que ejerce sobre los puntos a que va unido, D y E. Es la fuerza que queremos hallar
250 N
A
B
C
D E
5 m 3 m 4 m
T T
Ángulos en la posición de equilibrio Las reacciones en A y en C no producen trabajo en desplazamientos que sea compatibles con esos enlaces.
Hacemos un desplazamiento compatible con los enlaces : A se mantiene fijo y C sólo se desplaza en horizontal. El ángulo de 90º deja de serlo y la distancia AC ya no es 5 m.
250 N
A
B
C
D
E
T T
x C Los dos ángulos están relacionados: si cambio uno, cambia el otro