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SEMANA 11
2. INTERÉS COMPUESTO Y DESCUENTO COMPUESTO
2. 7. ECUACIÓN DE VALOR
En la semana 2, sección 1.3 se describió las ecuaciones de valor a una tasa de interés simple;
la mayor parte de los principios y procedimiento se aplican a una tasa de interés compuesto. Así, la
definición de equivalencia es: $X pagaderos en una fecha determinada equivalen a una tasa 𝑖 de
interés compuesto a $Y pagaderos 𝑛 períodos después, si
𝑛
o X= 𝑌( 1 + 𝑖)
−𝑛
La figura muestra los valores fechados equivalentes a determinado valor X fechado
Dos propiedades importantes de la equivalencia del interés compuesto son:
- A determinada tasa de interés compuesto, si X es equivalente a Y y Y es equivalente a Z,
entonces X es equivalente a Z (la propiedad transitiva).
- Si dos conjuntos de pagos son equivalentes en una fecha focal (es decir, la suma de los
valores fechados equivalentes de los miembros de un conjunto es igual a la suma
correspondiente del otro conjunto), entonces son equivalentes en cualquier fecha focal.
OBSERVACIONES :
- Ninguna de estas propiedades es válida con interés simple. con interés compuesto, la
propiedad 2 implica que la fecha focal para una ecuación de valor (definida como en el
caso del interés simple) se puede escoger en forma arbitraria.
Fecha anterior
𝑌( 1 + 𝑖)
−𝑛
Fecha dada
𝑋
Fecha posterior
𝑋( 1 + 𝑖)
𝑛
n periodos
n periodos
- La fecha en la que un conjunto de obligaciones pagaderas en fechas futuras distintas se
puede cumplir haciendo un solo pago igual a la suma de las varias deudas se llama fecha
promedio de vencimiento de las deudas.
- El tiempo, desde hoy hasta esa fecha, se llama tiempo equiparado.
- La siguiente regla práctica para calcular el tiempo equiparado se usa con frecuencia:
i. Multiplicar cada deuda por el tiempo (en años) que pasa para que se venza.
ii. Sumar todos los productos obtenidos en (i) y dividir entre suma de las deudas.
PROBLEMAS RESUELTOS:
- Demostrar que, a determinada tasa de interés compuesto, si X es equivalente a Y y Y es
equivalente a Z, entonces X es equivalente a Z.
SOLUCIÓN :
De la figura Si X es equivalente a Y, entonces
𝑛
2
−𝑛
1
Si Y es equivalente a Z, entonces
Z= 𝑌( 1 + 𝑖)
𝑛 3
−𝑛 2
Al eliminar Y de las dos ecuaciones se obtiene:
𝑛
2
−𝑛
1
( 1 + 𝑖)
𝑛
3
−𝑛
2
= 𝑋( 1 + 𝑖)
𝑛
3
−𝑛
1
𝑛 3
−𝑛 1
Por lo tanto, Z es equivalente a X
- Una obligación de $ 2500 se vence al final de 7 años. Si el dinero vale 𝑗
12
= 10% calcular
una deuda equivalente al final de a) 3 años; b) 10 años
SOLUCIÓN:
𝑍
𝑛
3
𝑌
𝑛
2
𝑋
𝑛
1
0
𝑌
120
2500
84
𝑋
36
0
2
− 8
Obsérvese que los valores fechados X y Y son equivalentes:
8
8
- Un consumidor compra mercancía con valor de $1500, pagando $500 al contado y $ 500
al final de 6 meses. Si la tienda cobra intereses a 𝑗
12
= 18% sobre saldos insolutos, ¿qué
pago final será necesario hacer al final de 1 año?
SOLUCIÓN:
Sea X el pago requerido. El pago al contado de $500 se puede restar de $1500 y la deuda
resulta $1000. Se puede escoger cualquier fecha focal para formular la ecuación de
valor.
Ecuación de valor al final de 12 meses
6
12
Ecuación de valor hoy
− 6
− 12
- Un hombre estipula en su testamento que $50000 de su patrimonio se pongan en un fondo
del cual cada una de sus tres hijas debe recibir la misma cantidad, a la edad de 21 años.
12
𝑋
1000
0
Deudas
Pagos
6
500
Cuando el hombre muere, las mujeres tienen 19, 15 y 13 ¿Cuánto recibirá cada una, si el
fondo gana intereses de 𝑗
2
SOLUCIÓN:
Sea X el pago requerido. La de 19 años recibirá $X en 2 años, la de 15 en 6 años y la de 13
en 8 años.
− 4
− 12
− 16
- Si el dinero vale 10% compuesto continuamente, ¿qué pagos iguales X al final de 5 meses y
2 años sustituirán equitativamente las obligaciones siguientes? $ 1000 pagaderos hoy y
$2000 con intereses de 𝑗
2
= 11% pagaderos en 3 años?
SOLUCIÓN:
El valor al vencimiento de la segunda obligación es 2000 ( 1 + 0. 055 )
6
−( 0. 10 )(
1
2
)
−( 0. 10 )( 2 )
(− 0. 10 )( 3 )
16
4 12
0
50 000
X X X
3
1000
0
Deudas
Pagos
2
𝑋
1 / 2
𝑋
- 69
