Ecuaciones paramétricas de planos y rectas en tres dimensiones, Ejercicios de Matemáticas

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S3r

MATEMÁTICAS : Bachillerato II

Geometría

Ejercicios resueltos

by Sera

1. Calcular los vectores de longitud uno ortogonales a los vectores (2, − 2 , 3), (3, − 3 , 2).

Solución:

Se llamamosu⃗ = (a, b, c) a un vector perpendicular a los dos a la vez, debe suceder que u⃗ · (2, − 2 , 3) = 0 y u⃗ · ((3, − 3 , 2) = 0

luego 2 a − 2 b + 3c = 0 3 a − 3 b + 2c = 0

De donde 6 a − 6 b + 9c = 0 6 a − 6 b + 4c = 0

Por lo que c = 0 y a = b , así que la solución es

u⃗ = (

a √ 2 a^2

a √ 2 a^2

ó u⃗ = ( −a √ 2 a^2

−a √ 2 a^2

2. Encontrar las ecuaciones implícitas y la ecuación general del plano que contiene a la recta r : (x, y, z) = (− 1 , 2 , 0) + t(1, − 1 , 3) y al punto Q(2, 1 , 5).

Solución :

Como el punto Q no pertenece a la recta, el plano quedará determinado por un punto, por ejemplo Q(2, 1 , 5) o un punto P (− 1 , 2 , 0) de la recta, un vector director de la rectav⃗ =(1, −1, 3) que será paralelo al plano y el vector

P Q = (3, − 1 , 5).

Las ecuaciones paramétricas del plano serán:

x = −1 + t + 3s y = 2 − t − s z = 0 + 3t + 5t

La ec. implícita será:

x + 1 y − 2 z 1 − 1 3 3 − 1 5

= 0⇒ − 2 x + 4y + 2z − 10 = 0

o si simplificamos: −x + 2y + z − 5 = 0

• rango(M ) = rango(M ∗) = 1 ⇒ los tres planos coinciden. Si m = −2;

• M =

, −^2

= 0⇒ rango(M ) = 2

• M ∗^ =

⇒rango(M ∗) = 3

Rango(M ) = 2̸=rango(M )∗^ = 3⇒ los tres planos no tienen ningún punto en común.

Como

= 0, los planos se cortan dos a dos en una recta.

6. Estudiar la posición relativa de la recta y el plano siguientes: r : x− 1 1 = y+1 2 = z 1 π : x + y − 3 z = 1

Solución:

Las ecuaciones implícitas de la recta r : x− 1 1 = y+1 2 = z 1 son: r :  2 x − y = 3 x − z = 1 y el sistema queda de la siguiente forma

2 x − y = 3 x − z = 1 x + y − 3 z = 1

Como rango M = rango

= 2 y rango(M ∗) = rango

3 ⇒ el sistema es incompatible ⇒ la recta y el plano son paralelos.

7. Halla la ecuación de la recta que pasa por el punto P (1, 1 , −3) y es perpendicular al plano: x − 2 y + z − 2 = 0.

Solución:

Un vector director de la recta será paralelo al vector normal del plano: n⃗ = (1, − 2 , 1) por lo tanto la ecuación de la recta será:

x − 1 1

y − 1 − 2

z + 3 1

8. Hallar la ecuación del plano π que contiene al punto A(0, − 2 , 1) y es perpendicular a la recta r: x− 2 1 = y+1 3 = z− 12

Solución:

El vector normal del plano será paralelo al vector director de la recta, por lo tanto podemos tomar como vector normaln⃗ = (2, 3 , 1)⇒ π : 2x + 3y + z + D = 0 y como el punto A(0, − 2 , 1) pertenece al plano:

−6 + 1 + D = 0⇒D = 5

⇒ Luego π : 2x + 3y + z + 5 = 0

9. Halla la ecuación del plano que pasa por los puntos A(2, 1 , 0) y B(0, 1 , 3) y es perpendicular al plano 2 x − y + z − 4 = 0

Solución:

El plano buscado es paralelo a los vectores

→ AB = (− 2 , 0 , 3) yv⃗ = (2, −1, 1), vector normal del plano dado. Por lo tanto quedará determinado

por A,

→ AB yv⃗ y su ecuación será:

x = 2 − 2 t + 2s y = 1 − s z = 3 t + s

− 2 2 x − 2 0 − 1 y − 1 3 1 z

= 0⇒ 3 x + 8y + 2z − 14 = 0

10. Halla la ecuación implícita del plano que es perpendicular al plano π : 5x − y + 4z = 2 y contiene la recta r: x 3 = y −− 23 = z− 1 4.

Solución:

Como el plano α que buscamos es perpendicular al plano π, el vector normal de π,n⃗ = (5, − 1 , 4) será paralelo al plano α. Como el plano α contiene a la recta r, su vector directorv⃗ = (3, −2, 1) será paralelo a α,

r :

x = t y = t z = −5 + 3t π : x + y + 3z − 12 = 0

t + 3(−5 + 3t) − 12 = 0⇒ 11 t − 27 = 0⇒t = (^2711)

x =

, y =

, z = −5 + 3

Por lo tanto, es M

11 ,^

27 11 ,^

26 11

Si Q(a, b, c) es el simétrico de P respecto de r, M es el punto medio del segmento P Q, luego: 1+a 2 =^

27 11 ⇒^ a^ =^

43 11 ;^

2+b 2 =^

27 11 ⇒^ b^ =^

32 11 ;^

3+c 2 =^

26 11 ⇒^ c^ =^

19 11 Por lo tanto el punto simétrico de P respecto de r es Q

11 ,^

32 11 ,^

19 11

13. Hallar la proyección ortogonal del punto P (1, 0 , 4) sobre el plano: 2 x − y + z + 2 = 0

Solución: Para hallar Q(proyección ortogonal de P sobre el plano π) primero hallaremos la ecuación de la recta r perpendicular al plano que pasa por P y después obtendremos Qcomo punto de corte de dicha recta r con el plano π.

Los vectores directores de la recta que pasa por el punto P(1, 0, 4) y es perpendicular al plano tendrán la misma dirección que los vectores normales del plano. Por lo tanto podemos tomar como vector director de

la recta:v⃗ =(2, −1, 1) y su ecuación será: r :

x = 1 + 2t y = −t z = 4 + t

El punto de intersección de y π es:

2(1 + 2t) − (−t) + (4 + t) + 2 = 0⇒2 + 4t + t + 4 + t + 2 = 0⇒t =

Luego el punto Qtiene de coordenadas Q

14. Hallar la ecuación de la proyección de la recta r ≡ x 2 = y− 1 1 = z 3 sobre el plano π de ecuación: x + 2y − z + 4 = 0.

Solución: La proyección de la recta r sobre π se obtiene calculando la proyección ortogonal de dos puntos de r sobre el plano.

Como r y π se cortan en un punto M , uno de los puntos puede ser M.

r :

x = 2t y = 1 + t z = 3t

π : x + 2y − z + 4 = 0 n⃗ = (1, 2 , −1)

Intersección de r y π: 2 t + 2(1 + t) − 3 t + 4 = 0⇒M (− 12 , − 5 , −18) Un punto de r es P (0, 1 , 0). Vamos a hallar su proyección sobre π, para

elle calculamos la recta perpendicular a π que pasa por P :

x = t y = 1 + 2t z = t

El punto P´ proyección de P sobre el plano será la intersección de esta recta con π:

2 t + 2(1 + 2t) + t + 4 = 0 ⇒ t = − 1 ⇒ P ´(− 1 , − 1 , 1).

La recta buscada es la que pasa por P´y M y su ecuación será:

M (− 12 , − 5 , −18)

M P

′ = (11, 4 , 19)

x+ 11 =^

y+ 4 =^

z+ 19

15. Dados el punto A(0, 1, −3) y la recta r determinada por los puntos B(0, 0, 1) y C(2,−1, 3), se pide:

a) Ecuación de la recta r. b) Ecuación general del plano determinado por A y r. c) Halla la proyección ortogonal del punto A sobre la recta r.

Solución:

La recta r determinada por los puntos B(0, 0, 1) y C(2,−1, 3): es la deter- minada por un punto , por ejemplo, B(0, 0, 1) y es paralela al vector

BC

= (2, −1, 2) y por lo tanto sus ecuaciones paramétricas son:

x = 2t y = −t z = 1 + 2t El plano buscado será el determinado por los puntos A, B y C. En vector característico o normal del plano será perpendicular a los vectores BA=

(0, 1, −4) y BC= (2, −1, 2) y por lo tanton⃗ = BA x BC=

i j k 0 1 − 4 2 − 1 2

− 2 i − 8 j − 2 k, ⇒ −x − 8 y − 2 z + D = 0 y como, por ejemplo, el punto B(0, 0, 1) pertenece al plano −2 + D = 0⇒D = 2 y la ecuación implícita del plano es: − 2 x − 8 y − 2 z + 2 = 0 o si simplificamos x + 4y + z − 1 = 0 Hallamos el plano que pasa por A y es perpendicular a r. La intersección de dicho plano con la recta r nos dará la proyección de A sobre r El vector normal del plano será paralelo al vector director de la recta, por lo tanto podemos tomar como vector normaln⃗ = (2, − 1 , 2) ⇒ 2x − y + 2z + D = 0 y como el punto A(0, 1 , −3) pertenece al plano: − 1 − 6 + D = 0⇒ D = 7⇒π : 2x − y + 2z + 7 = 0 Obtenemos el punto P proyección de A sobre r como intersección de r con π:  

x = 2t y = −t z = 1 + 2t

π : 2x − y + 2z + 7 = 0 2(2t) − (−t) + 2(1 + 2t) + 7 = 0 ⇒

9 t + 9 = 0⇒t = − 1 y por lo tanto el punto es (− 2 , 1 , −1)

16. Hallar la ecuación del plano paralelo a la recta r: 2 x 0 − 1 = y 2 = 1 − 1 z y que contiene a la recta s : (1 − λ, 2 λ, 1).

Solución:

D = 0, como pasa por el punto P(−2, 1, 0) ⇒ −4 + 1 + D = 0 ⇒ D = 3 ⇒ π : 2x + y + z + 3 = 0

Hallamos M, punto de intersección de π y r.

r :

x = 2t y = t z = t π : 2x + y + z + 3 = 0

4t + t + t + 3 = 0 ⇒ t = − 21 ⇒ M

La recta buscada es la que pasa por P(−2, 1, 0) y M

x + 2 1

y − 1 − 1 / 2

z − 1 / 2

19. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el origen de coordenadas y es perpendicular a las rectas de ecuaciones. r :

x− 6 2 =^

y− 9 3 =^ z^ −^3 y^ s^ :

x = 4 + 4t y = − 1 − t z = 1 + t

Solución:

La recta está determinada por el origen de coordenadas O(0, 0, 0) y un vector directoru⃗ que sea perpendicular av⃗ = (2, 3 , 1) y w⃗ = (4, − 1 , 1), vectores directores de las rectas r y s. ⇒u⃗ =v x⃗⃗ w =( 4, 2, − 14 ). Por lo tanto la ecuación será: x 4 = y 2 = (^) −z 14.

20. Determina el valor de “a” para que la recta r de ecuaciones: x + 2y + 3 = 0 y + 2z = 5 sea paralela al plano de ecuación: x + 2y^ −2az = 5

Solución: Un vector característico o normal del plano es:n⃗ = (1, 2 , − 2 a).

El vectorv⃗ lo podemos obtener poniendo r en paramétricas:

x + 2y + 3 = 0 y + 2z = 5 ⇒ y = 5 − 2 z, x = − 3 − 2 y = − 3 − 10 + 4z = −13 + 4z ⇒  

x = −13 + 4t y = 5 − 2 t z = t⃗

v = (4, − 2 , 1).

La condición de paralelismo de r y π es quen⃗ yv⃗ sean ortogonales: v⃗ ·n⃗ = 0,v⃗ ·n⃗ = 4 − 4 − 2 a = 0 ⇒ a = 0.

21. Dadas las rectas r 1 :

2 x + 3y − 4 z = − 1 x − 2 y + z = 3 y r 2 :

3 x + y − 3 z = 2 x + y + z = 1

a) Probar que se cortan b) Dar la ecuación del plano que contiene a ambas rectas.

Solución:

a)

2 x + 3y − 4 z = − 1 x − 2 y + z = 3 3 x + y − 3 z = 2 x + y + z = 1

A∗ z }| {

        2 3 − 4 1 − 2 1 3 1 − 3 1 1 1 | {z } A

Rango A = rango A*^ = 3 = número de incógnitas (sistema compatible determinado) ⇒ las dos rectas se cortan en un punto que es la solución del sistema: z = 187 , y = − 32 , x = 2318 ⇒ El punto es P

18 ,^

− 2 3 ,^

7 18

b)El plano que contiene a las dos rectas queda determinado por un vector normal al mismo, que será perpendicular a los vectores directores de r 1 y r 2 , y un punto P

18 ,^

− 2 3 ,^

7 18

Como las rectas vienen dadas como intersección de dos planos, su vector director será perpendicular a los vectores normales de los dos planos que determinan la recta.

Vector director de r 1 :v⃗ 1 // (2, 3 , −4)x(1, − 2 , 1) =

i j k 2 3 − 4 1 − 2 1

=−5i −

6j − 7k, puedo tomar comov⃗ 1 = (− 5 , − 6 , −7) o cualquiera que sea pro- porcional a él.

Vector director de r 2 :v⃗ 2 // (3, 1, −3) x (1, 1, 1) =

i j k 3 1 − 3 1 1 1

= 4i − 6j

• 2k, puedo tomar comov⃗ 2 = (2, −3, 1) El vector normal al plano que contiene a las rectasn⃗ es perpendicu- lar a los vectores directores de las rectas por lo tanton⃗ //v⃗ 1 xv⃗ 2 = i j k − 5 − 6 − 7 2 − 3 1

=− 27 i − 9 j + 27k, podemos tomar comon⃗ = (3, 1, −3).

La ecuación del plano es de la forma 3x + y −3z + D = 0, como contiene al punto P

18 ,^

− 2 3 ,^

7 18

3 · 2318 − 23 − 3 · 187 + D = 0 ⇒ 3618 + D = 0 ⇒ D =

− 2 ⇒ la ecuación del plano es 3x + y −3z − 2 = 0.

25. Hallar el ángulo que forman el plano π 1 determinado por las

rectas: r : x = y 3 = 3 − 2 z y s :

x = 1 + t y − 1 + t z = 3 − t

con el plano π 2 de

ecuación. 2 x − y + z = 1.

Solución:

El plano π 1 quedará por un punto (0, 0 , 3) de r y un vector perpendi- cular a:v⃗ =(1, 3, −2) y w⃗ =(1, 1, −1), vectores directores de r y s respectivamente:

n⃗ =vx⃗⃗w = |

⃗i⃗ j⃗ k 1 3 − 2 1 1 − 1

| = −⃗ i − ⃗j − 2 ⃗k,n⃗ = (− 1 , − 1 , −2), −x −y −2z

• D = 0 , como pasa por el punto (0, 0, 3): −6 + D = 0 ⇒ D = 6 , la ecuación del plano será: −x −y −2z + 6 = 0 Un vector característico de π 2 :n⃗

′ = (2, − 1 , 1)

Cos α = n|⃗^ n·⃗^

′ | n|⃗ |· |n⃗ ′^ | =^

| (− 1 , − 1 ,√ −2)·(2, − 1 , 1) | 6 √ 6 =^

| − 3 | 6 =^

1 2 ⇒^ α^ = 60º

26. Estudia la posición relativa de la recta determinada por los pun- tos A(1, 2, 3) y B(−2, 1, 4) y el plano x − 4 y − z + 1 = 0. Calcula la distancia de A y de B a dicho plano.

Solución: La recta determinada por los puntos A y B tiene de ecuación: x− 1 − 3 =^

y− 2 − 1 =^

z− 3

Sus ecuaciones implícitas son:

−x + 1 = − 3 y + 6 y − 2 = −z + 3

−x + 3y = 5 y + z = 5

. Pa- ra hallar la posición relativa de la recta y el plano estudiaremos el sistema: −x + 3y = 5 y + z = 5 x − 4 y − z = − 1

, por lo tanto rango A = 2 ̸= rango A∗^ = 3 ⇒ el sistema

es incompatible ⇒ la recta y el plano son paralelos. Como la recta y el plano son paralelos ⇒ d(A, π) = d(B,π).

27. Halla el ángulo formado por la recta r que pasa por los puntos

P(0, 0, 0) y Q(1, 1, 1), y la recta s:

y = 1 z = 1

Solución: El vectorv⃗ =

PQ =(1, 1, 1), es un vector director de la recta r.

Las ecuaciones paramétricas de s :

x = t y = 1 z = 1

⇒w⃗ =(1, 0, 0) es un vector

director de s. cos α = (^) v|v|⃗ ⃗^ w||w·⃗^ ⃗ || = √^13 =

√ 3 3 ⇒^ α^ = arc cos^

√ 3 3

28. Halla el punto de la recta r:

x = t y = 3 − t z = 1 + 2t

cuya distancia al punto

P(1, 0, 2) sea

Solución: Un punto genérico de r es Q(t, 3 − t, 1 + 2t).

Dist (P, Q) =

p (t − 1)^2 + (3 − t)^2 + (2t − 1)^2 =

5 ⇒ (t − 1)^2 + (3 − t)^2 + (2t − 1)^2 = 5 ⇒ 6 t^2 − 12 t + 6 = 0 ⇒ t = 1 ⇒ Q(1, 2, 3)

29. Determina la distancia entre el plano de ecuación: π : 2x+y +2z = 9 y el plano que contiene a los puntos A(1, 0, −1), B(−2, 2, 1) y al origen de coordenadas,

Solución Si los planos se cortan en una recta o coinciden, la distancia es cero.

Si son paralelos tomaremos un punto de uno de ellos y calcularemos la distancia de ese punto al otro plano. Plano π ′ que pasa por A, B y O: queda determinado por el punto O(0, 0, 0), y los vectores

OA =(1, 0, −1),

OB =(−2, 2, 1)

x y z 1 0 − 1 − 2 2 1

| = 2x + y + 2z = 0.

Los planos π

′ y π son paralelos, entonces: d( π

′ ,π) = d(O, π) = |^2 ·0+0+2√4+1+4·^0 − 9 |= √^9 9 = 3

30. Halla la distancia entre las rectas r:

x = 2 α y = 1 + α z = 3 − α

y s:

x − 2 y − 1 = 0 y + z = 0

Solución:

El vector director de r⃗v =(2, 1, −1) y el de sw⃗ = (1, −2, 0) x (0.1, 1) = (−2, −1, 1) son proporcionales por lo tanto las rectas tiene la misma dirección. Como A(0, 1, 3) ∈ r ⇒ A̸ ∈ s ⇒ r y s son paralelas. La distancia de r a s es igual a la distancia de un punto A∈ r a s. Tomamos un punto B de s haciendo z = 0 B(1, 0, 0),

AB =(1, −1, −3).

d(r, s) = d(A, s) =

AB x⃗w | |w⃗ |

Recta que se apoya en otras dos y pasa por un punto

Un vector director de la perpendicular común a ambas rectas será:u⃗ = v x⃗⃗ w = (5, 2, −1)

La perpendicular común la podemos obtener como intersección de los pla- nos π y π´. Plano π determinado por A(0, 1, −3) ,v⃗ =(0, 1, 2) v x⃗w⃗ = (5, 2, −1)

(plano que contiene a r y a la perpendicular a r y s) |

x y − 1 z + 3 0 1 2 5 2 − 1

= 0 ⇔− 5 x + 10y − 5 z − 25 = 0⇔π : x − 2 y + z + 5 = 0 Plano π´ determinado por B(1, −1, 0),w⃗ =(1, −1, 3) yv x⃗⃗ w = (5, 2, −1)

(plano que contiene a s y a la perpendicular a r y s) |

x − 1 y + 1 z 1 − 1 3 5 2 − 1

= 0 ⇔π´: 5x −16y − 7z −21 = 0

Por tanto la ecuación de la perpendicular común es:

x − 2 y + z + 5 = 0 5 x − 16 y − 7 z − 21 = 0 Otra forma (por puntos genéricos) Vamos a hallar los puntos R y S en los que la perpendicular común p corta a r y a s.

Ecuaciones paramétricas de r:

x = 0 y = 1 + α z = −3 + 2α

, un punto genérico de r es

de la forma A(0,1+α,−3+2α)

Ecuaciones paramétricas de s

x = 1 + β y = − 1 − β z = 3β

, un punto genérico de s es de

la forma (1+β, − 1 − β, 3β) Un vector genérico de origen en r y extremo en s es

RS= (1+β, − 2 −α−β, 3 − 2 α+3β) Este vector

RS debe ser perpendicular a r y s: −→ RS·v⃗ =(1+β, − 2 −α−β, 3− 2 α+3β) · (0, 1, 2) = 0 ⇒ − 2 −α−β+6− 4 α+6β= ⇒ 5 α − 5 β = 4 −→ RS·w⃗ =(1+β, − 2 −α−β, 3− 2 α+3β)·(1, −1, 3)=0 ⇒ 1+β+2+α+β+9− 6 α+9β= ⇒ − 5 α +.11β = − 12

:

5 α − 5 β = 4 − 5 α + 11β = − 12

α = − 158 β = − (^43) ; los puntos son R

y S

RS =

para el vector normal a las dos recta podemos tomar

RS o cualquiera que sea proporcional a él, por ejemplo (−5, −2, 1).

Las ecuaciones de la perpendicular común: x+^

(^13) − 5 =^

y− (^13) − 2 =^

z+ 1