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Geometr´ıa Lineal
1. Rectas en el plano o rectas de R^2
1.1. La recta de R^2
Pensemos en el siguiente problema: Hallar el extremo del vector PQ sabiendo que tiene origen en P = (− 5 , 1) y es equivalente al vector v = (3, 1), es decir, tienen la misma longitud, direcci´on y sentido. Sabemos que v est´a definido a partir de sus componentes y que se pide un punto Q tal que:
Q − P = (3, 1)
Luego de operar se llega a que el punto pedido resulta ser Q = (− 2 , 2). Gr´aficamente, tal como se observa en la Figura 1 el punto Q se obtuvo a partir de trasladar el vector v hacia el punto P y observar las coordenadas del extremo del nuevo vector (que es equivalente a v).
Figura 1
En la Figura 2, podemos ver que, si al punto P lo interpretamos como un vector u,
con origen en (0, 0) y extremo en P , la siguiente suma de vectores
v + u = (3, 1) + (− 5 , 1) = (− 2 , 2)
arroja un nuevo vector cuyo extremo coincide con Q.
Figura 2
Por lo tanto, podemos hallar el extremo Q de un vector conociendo su origen P y sus componentes Q − P (equivalente a v) , mediante la operaci´on P + (Q − P ), donde cada uno de los puntos que aparece est´a asociado a un vector con origen en (0,0) y extremo en dicho punto.
Recordar que cuando operamos con un punto (par ordenado) lo hacemos pensando que equivale algebraicamente a un vector de R^2.
Observe que si realizamos la operaci´on P + 2.(Q − P ), obtenemos un punto alineado con P y con Q, que llamaremos A. Es decir, al punto (o vector) P se le suma un vector paralelo y de igual sentido que Q − P , pero con el doble de longitud. La Figura 3 muestra esto usando el ejemplo anterior:
A = (− 5 , 1) + (6, 2) = (1, 3)
En general, podr´ıamos hallar cualquier punto X alineado con P y con Q, realizando la operaci´on:
X = P + t.(Q − P )
siendo t un n´umero real cualquiera. Esto significa que es posible hallar cualquier punto de la recta que contiene a P y a Q.
Figura 4
Observaci´on: existen infinitas ecuaciones vectoriales que representan a la misma recta, eso depende del punto elegido (P o Q) y de los infinitos vectores paralelos a Q − P. Es por eso que, cuando se pida hallar la ecuaci´on de la recta se entender´a que puede dar cualquiera de todas las posibles. De la ecuaci´on vectorial:
X = P + t(Q − P ), t ∈ R
y llamando Q − P = A, donde Q = (q 1 , q 2 ), P = (p 1 , p 2 ), A = (a 1 , a 2 ), es posible desarrollar las operaciones poniendo:
X = P + tA (x, y) = (p 1 , p 2 ) + t(a 1 , a 2 ) (x, y) = (p 1 , p 2 ) + (ta 1 , ta 2 ) (x, y) = (p 1 + ta 1 , p 2 + ta 2 )
De la igualdad de vectores, resultan las siguientes igualdades escalares:
x = p 1 + ta 1 y = p 2 + ta 2 Estas ecuaciones son las ecuaciones param´etricas de la recta. Del sistema de ecuaciones anterior es posible eliminar el par´ametro t, despejando t de cada ecuaci´on e igualando las expresiones (siempre que a 1 y a 2 no sean 0), quedando la siguiente ecuaci´on:
x − p 1 a 1 =^
y − p 2 a 2
que llamaremos ecuaci´on cartesiana de la recta, y que tambi´en es posible pre- sentarla de la siguiente manera, realizando el despeje correspondiente:
y = a a^2 1
x +
p 2 − a a^2 1
p 1
que conocemos como ecuaci´on expl´ıcita de la recta. Pero tambi´en se podr´ıa igualar a 0, obteniendo una ecuaci´on cartesiana de la recta bajo la expresi´on llamada ecuaci´on impl´ıcita o general:
ax + by + c = 0
. Ejercicios Resueltos
- Escribir una ecuaci´on vectorial y una ecuaci´on cartesiana de la recta que con- tiene a los puntos (− 1 , 3) y (5, −2). RTA: Ecuaci´on vectorial: X = (− 1 , 3) + t(6, −5), t ∈ R Para hallar la ecuaci´on cartesiana, definimos las param´etricas primero: ( x = −1 + 6t y = 3 − 5 t
Despejando “t”de ambas ecuaciones e igualando las expresiones: x + 1 6 = y^ −^3 − 5
Obteniendo as´ı una ecuaci´on cartesiana:
y = − 65 x +^136
- Escribir otras ecuaciones vectoriales de la recta del punto anterior. RTA: Otras ecuaciones vectoriales de la misma recta:
X = (5, −2) + t(6, −5), t ∈ R
El cual es inconsistente, luego los puntos no est´an alineados.
- Escribir las ecuaciones vectoriales de los ejes coordenados de R^2. RTA: X = t(0, 1), t ∈ R (eje y) ; X = t(1, 0), t ∈ R (eje x)
1.3. Posiciones relativas entre dos rectas
1.3.1. Rectas paralelas
Criterio: Dos rectas de R^2 son paralelas si, y solo si sus vectores directores son paralelos. En s´ımbolos: Sean las rectas r y s de R^2 , definidas vectorialmente:
r : X = P + tA, t ∈ R ; s : X = Q + tB, t ∈ R
Diremos: r||s ⇔ A||B ⇔ ∃c ∈ R : A = cB
Observaci´on 1 : Dos rectas con vectores directores paralelos pueden ser coincidentes (¿C´omo identificar este caso?). En general, diremos que una recta es paralela a s´ı misma. Observaci´on 2 : En consecuencia, si dos rectas tienen el mismo vector director, en- tonces diremos inmediatamente que son paralelas.
Figura 5
1.3.2. Rectas perpendiculares
Criterio: Dos rectas son perpendiculares (u ortogonales) si, y solo si, sus vectores directores son perpendiculares. En s´ımbolos: Sean las rectas r y s de R^2 , definidas vectorialmente:
r : X = P + tA, t ∈ R ; s : X = Q + tB, t ∈ R
Diremos: r ⊥ s ⇔ A ⊥ B
Recordamos que dos vectores son ortogonales o perpendiculares si y solo si es pro- ducto escalar (o producto punto) entre ellos es cero. Otra forma de reconocer dos vectores ortogonales en R^2 es la siguiente: Dado el vector v = (a, b) se puede decir que la recta que lo contiene tiene pendiente m = ba. Una recta perpendicular a ´esta deber´ıa tener pendiente m = −ab. Por lo tanto, un vector en esa direcci´on podr´a ser u = (b, −a), o bien su opuesto, w = −u = (−b, a).
Figura 6
Observaci´on 1 : los vectores perpendiculares a v no son s´olo u y w sino tambi´en los infinitos paralelos a ´estos. Observe que todos ellos tienen la misma direcci´on, es decir, dada una direcci´on existe s´olo una perpendicular a ella en R^2.
(− 1 , 0) = (1, 3) + t(− 2 , 1) ⇒
1 − 2 t = − 1 3 + t = 0
t = 1 t = − 3 Como el sistema es inconsistente o incompatible, pues, el par´ametro t asume dos valores reales distintos, el punto de s, (− 1 , 0), no pertenece a r, por lo tanto, las rectas son paralelas no coincidentes, es decir, no existe intersecci´on.
Rectas con distinta direcci´on
r : X = (1, 3) + t(− 2 , 1), t ∈ R s : X = (− 1 , 0) + k(2, 1), k ∈ R
En este caso, que los vectores directores no son paralelos, es posible hallar un punto de intersecci´on. Para ello se igualan las ecuaciones, formando un sistema cuyas dos inc´ognitas son los par´ametros t y k que conocidos y reemplazados en las dos ecuaciones arrojan el mismo punto.
(1, 3)+t(− 2 , 1) = (− 1 , 0)+k(2, 1) ⇒
1 − 2 t = −1 + 2k 3 + t = k
2 t + 2k = 2 t − k = − 3
t = − 1 k = 2
Tomando t = −1 y reemplazando en la ecuaci´on de r, obtenemos que el punto de intersecci´on es X = (3, 2)
2. Rectas y planos en el espacio
2.1. Rectas de R^3
2.1.1. Ecuaciones de la recta
La construcci´on de la ecuaci´on vectorial de una recta de R^3 es equivalente a la que se dio en R^2 , siguiendo el mismo razonamiento geom´etrico, a partir de dos puntos visualizamos un punto de la recta (vector posici´on) y una direcci´on (vector director). Definimos entonces:
Una recta de R^3 es el conjunto de puntos X de R^3 que satisfacen la siguiente ecuaci´on:
X = P + t(Q − P ), t ∈ R
Donde P y Q son puntos distintos de R^3 que pertenecen a la recta. La ecuaci´on enunciada se llama ecuaci´on vectorial de la recta de R^3 que contiene el punto P en la direcci´on Q − P. Tambi´en podemos definir la ecuaci´on vectorial directamente como:
X = P + tA, t ∈ R Donde P es un punto de R^3 que pertenece a la recta y A es el vector director. Diremos que un punto pertenece a una recta de ecuaci´on dada, si existe un valor real para el par´ametro t tal que verifique la ecuaci´on.
Observaci´on: existen infinitas ecuaciones vectoriales que representan a la misma recta, eso depende del punto elegido (P o Q u otro) y de los infinitos vectores paralelos a A. Es por eso que, cuando se pida hallar la ecuaci´on de la recta se entender´a que puede dar cualquiera de todas las posibles. De la ecuaci´on vectorial:
X = P + tA, t ∈ R
donde P = (p 1 , p 2 , p 3 ), A = (a 1 , a 2 , a 3 ), es posible desarrollar las operaciones po- niendo: X = P + tA (x, y, z) = (p 1 , p 2 , p 3 ) + t(a 1 , a 2 , a 3 ) (x, y, z) = (p 1 , p 2 , p 3 ) + (ta 1 , ta 2 , ta 3 ) (x, y, z) = (p 1 + ta 1 , p 2 + ta 2 , p 3 + ta 3 )
De la igualdad de vectores, resultan las siguientes igualdades escalares:
x = p 1 + ta 1 y = p 2 + ta 2 z = p 3 + ta 3
Estas ecuaciones son las ecuaciones param´etricas de la recta.
- Investigar si los puntos (1,1,1),(2,3,4) y (-2,-3,-4) est´an o no alineados. RTA: Para verificar si los puntos (1,1,1),(2,3,4) y (-2,-3,-4) est´an o no alineados, igualamos las param´etricas de la recta que definen los dos primeros puntos, a las coordenadas del tercer punto.
(1, 1 , 1)+t(2− 1 , 3 − 1 , 4 −1) = (− 2 , − 3 , −4) ⇒ (1, 1 , 1)+t(1, 2 , 3) = (− 2 , − 3 , −4) ⇒
1 + t = − 2 1 + t = − 3 1 + t = − 4
Es evidente que este sistema es incompatible, por lo tanto, los puntos no est´an alineados.
2.2. Posiciones relativas de dos rectas. Intersecciones.
Podemos afirmar que, en el plano, dos rectas o se cortan, o son paralelas o son la misma recta. En cambio, en el espacio hay una cuarta posici´on: pueden cruzarse, es decir que no son paralelas, pero, aun as´ı, no tienen puntos en com´un. Tambi´en se suele decir que estas rectas son alabeadas.
Para detectar dos rectas paralelas usaremos el mismo criterio que en R^2 : Criterio: Dos rectas de R^3 son paralelas si, y solo si sus vectores directores son paralelos. En s´ımbolos: Sean las rectas r y s de R^3 , definidas vectorialmente
r : X = P + tA, t ∈ R; s : X = Q + tB, t ∈ R
r ∥ s ⇔ A ∥ B ⇔ ∃c ∈ R : A = cB
Observaci´on 1 : Dos rectas con vectores directores paralelos pueden ser coinci- dentes (¿C´omo identificar este caso?). Diremos que una recta es paralela a s´ı misma. Observaci´on 2 : En consecuencia, si dos rectas tienen el mismo vector director, entonces diremos inmediatamente que son paralelas.
Si las rectas no son paralelas, o se cortan (tienen un punto en com´un) o se cruzan (no tienen punto en com´un). Lo que se precisa en este caso es “hallar la intersecci´on” entre ambas rectas, si es que existe, de la misma manera que se plante´o en R^2 : Igualamos las expresiones de las ecuaciones param´etricas y resolvemos un sis- tema (en este caso de 3x2) cuyas inc´ognitas son los par´ametros de cada una de las rectas (siempre hay que diferenciarlos, no usar la misma letra al plantear el sistema). Sean las rectas r y s de R^3 , definidas vectorialmente
r : X = P + tA, t ∈ R; s : X = Q + kB, k ∈ R
igualamos las expresiones
P + tA = Q + kB ⇒
p 1 + ta 1 = q 1 + kb 1 p 2 + ta 2 = q 2 + kb 2 p 3 + ta 3 = q 3 + kb 3
En R^2 el sistema planteado para hallar la intersecci´on de dos rectas no paralelas siempre ten´ıa ´unica soluci´on. En este caso el sistema podr´ıa ser inconsistente y eso va a definir la posici´on entre las rectas: si existe una ´unica soluci´on quiere decir que las rectas se cortan y si no tiene soluci´on, que las rectas se cruzan.
Ejercicios resueltos
- Probar que las rectas r y s son coincidentes.
r : X = (3, 5 , 4) + t(2, − 1 , 3) s : X = (− 1 , 7 , −2) + k(− 4 , 2 , −6)
RTA:
Las rectas son paralelas ya que sus vectores directores son paralelos. Es posible probar que el punto de una pertenece a la otra. En este caso, analizaremos si el punto
El cual resulta inconsistente (verificar), luego las rectas no tienen puntos en com´un, pero tampoco son paralelas, as´ı que se cruzan. b) r : X = (3, 4 , −1) + t(1, − 2 , 4), t ∈ R
s : X = (1, 0 , 3) + k(−
2 ,^1 ,^ −2),^ k^ ∈^ R RTA: Los vectores directores de cada recta son (1, − 2 , 4) y (−^12 , 1 , −2). Los cuales son paralelos ya que (1, − 2 , 4) = −2(−^12 , 1 , −2). Luego, las rectas son paralelas. De todas maneras, verificaremos si son la misma recta o no. Tomamos un punto de una y vemos si pertenece a la otra:
3 + t = 1 4 − 2 t = 0 −1 + 4t = 3
t = − 2 t = 2 t = 1 Dado que es sistema resulta inconsistente, concluimos que las rectas son paralelas no coincidentes. c) r : X = (2, 3 , 0) + t(− 3 , 5 , 1), t ∈ R s : X = (1, 0 , 5) + k(− 1 , 2 , 0), k ∈ R
RTA: Los vectores directores no son paralelos, planteando el sistema igualando param´etricas, se puede comprobar que se cortan en un punto, el cual resulta ser (− 13 , 28 , 5).
3. Planos de R^3
As´ı como dos puntos definen una ´unica recta, tres puntos no alineados definen un ´unico plano. Figura 7.
Figura 7
Se puede decir que esos tres puntos definen dos direcciones no paralelas desde un mismo punto. En R^2 una combinaci´on lineal de dos vectores no paralelos “generan” cualquier punto del plano cartesiano (o sea, cualquier elemento de R^2 ). De la misma manera, cualquier combinaci´on lineal de dos vectores no paralelos de R^3 va dar como resultado cualquier punto del plano que los contiene. (Figura 8)
Figura 8
Supongamos que los tres puntos que se representan en la Figura 8 son: O = (0, 0 , 0), A = (a 1 , a 2 , a 3 ) y B = (b 1 , b 2 , b 3 ) Las infinitas combinaciones lineales (CL) entre los vectores OA y OB proporcionan
3.1. Ecuaciones del plano
Un plano de R^3 es el conjunto de puntos X de R^3 que satisfacen la siguiente ecuaci´on:
X = P + tA + kB, t ∈ R, k ∈ R
Donde P es un punto de R^3 que pertenece al plano y A y B son dos direcciones paralelas al plano, pero no paralelas entre s´ı. Dicha ecuaci´on es la que llamaremos ecuaci´on vectorial del plano. Diremos que un punto pertenece al plano de ecuaci´on dada, si existen dos valores reales para los par´ametros t y k, tal que se verifique la ecuaci´on.
Observaci´on: existen infinitas ecuaciones vectoriales que representan al mismo plano, eso depende del punto elegido P y de los infinitos vectores paralelos a A y a B. Es por eso que, cuando se pida hallar la ecuaci´on del plano se entender´a que puede dar cualquiera de todas las posibles. De la ecuaci´on vectorial:
X = P + tA + kB, t ∈ R, k ∈ R
donde P = (p 1 , p 2 , p 3 ) , A = (a 1 , a 2 , a 3 ) , B = (b 1 , b 2 , b 3 ) es posible desarrollar las operaciones poniendo:
X = P + tA + kB, t ∈ R, k ∈ R
(x, y, z) = (p 1 , p 2 , p 3 ) + t(a 1 , a 2 , a 3 ) + k(b 1 , b 2 , b 3 ) (x, y, z) = (p 1 , p 2 , p 3 ) + (ta 1 , ta 2 , ta 3 ) + (kb 1 , kb 2 , kb 3 ) (x, y, z) = (p 1 + ta 1 + kb 1 , p 2 + ta 2 + kb 2 , p 3 + ta 3 + kb 3 )
De la igualdad de vectores, resultan las siguientes igualdades escalares:
x = p 1 + ta 1 + kb 1 y = p 2 + ta 2 + kb 2 z = p 3 + ta 3 + kb 3
Estas ecuaciones son las ecuaciones param´etricas del plano. Eliminando los par´ametros t y k del sistema anterior, se obtiene una ecuaci´on
cartesiana o ecuaci´on impl´ıcita del plano de R^3 , de la forma:
ax + by + cz + d = 0
Vector de los coeficientes Un plano de R^3 de ecuaci´on cartesiana ax + by + cz = d (con a, b y c no simult´anea- mente nulos) es ortogonal a su propio vector de los coeficientes, que llamaremos “vector normal al plano” e indicaremos con N = (a, b, c).
Observaci´on: este vector es ortogonal a cualquier direcci´on paralela al plano (Figura 10). Existen infinitas direcciones paralelas al plano (no paralelas entre s´ı), pero existe s´olo una direcci´on perpendicular, dada por el vector de los coeficientes.
Figura 10
Ejercicio resuelto Hallar las ecuaciones del plano que contiene a los puntos P=(1,-2,-1) , Q=(0,2,1) y R=(1,1,0).
Empezamos armando la ecuaci´on vectorial, definiendo las direcciones paralelas al plano: P Q = (− 1 , 4 , 2) y P R = (0, 3 , 1) La ecuaci´on queda:
X = (1, − 2 , −1) + t(− 1 , 4 , 2) + k(0, 3 , 1), t ∈ R, k ∈ R
Las ecuaciones param´etricas resultan:
x = 1 − t y = −2 + 4t + 3k z = −1 + 2t + k
