Ejercicios Integrales indefinidas, Apuntes de Cálculo

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i

ii

iv

Fi cha Bibliográfica:

Paulo César Escandón Panchana

TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN:

500 EJERCICIOS RESUELTOS DE INTEGRAL INDEFINIDA

Primera Edición, 2017

Editorial UPSE

ISBN: 978 - 9942 - 776 - 00 - 6

Formato: 17 x 24 cm # páginas: 330

Derechos Reservados © 2017

Uni versidad Estatal Península de Santa Elena

Edi ci ones UPSE

Aveni da La Libertad-Santa Elena

Ci uda dela Universitaria UPSE

http://www.upse.edu.ec

ES TE LIB R O H A S ID O E VALUAD O B AJO EL S IS T EMA D E PAR ES

ACAD ÉMICOS Y MED IANT E LA MOD ALID AD D E D OB LE CIEG O.

Portada: Manuel Martínez Santana.

No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra ni su

tratamiento o transmisión por cualquier medio o método sin autorización

escrita de los editores.

IMPRESO EN ECUADOR

Pri nted in Ecuador

v

Los años de experiencia como docente de matemáticas, me han llevado al

reconocimiento de las diferentes dificultades que presenta el alumnado a la

hora de comprender y aplicar las técnicas de integración en un curso de

cálculo integral. Es por ello, que decidí volcar toda mi experiencia en un texto

que fuera de ayuda para tales fines.

Esta obra de título “Técnicas de Integración, 500 ejercicios resueltos de

integral indefinida” está dirigida a todo estudi ante de ingeniería o ciencias

exactas, así como para profesionales de ámbito no ingenieriles que presenten

problemas ante la comprensión en la resolución de integrales indefinidas. Los

lectores deben tener conocimientos en matemáticas básicas tales como,

algebra, geometría, trigonometría, derivación, para la correcta comprensión

del desarrollo del fundamento teórico de cada técnica de integración y así

poder evaluar la aplicación favorable a cada problema planteado.

EL texto se divide en 6 capítulos que abordan las cinco técnicas de integración

fundamentales y los principios básicos a partir de los que fueron

desarrolladas. Capitulo a capitulo se presenta el desarrollo teórico de la

técnica de integración y su aplicación mediante 500 ejercicios diferentes,

resueltos paso a paso, a tal fin de abordar las diversas circunstancias que

puedan darse al resolver una integral indefinida concreta.

Cabe destacar que en cada capítulo se proponen ejercicios para que el lector

pueda resolverlos, con su respectiva respuesta, los mismos que simultanean

las 5 técnicas de integración expuestas en los capítulos anteriores.

El Autor

vii

4.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE S US TITUCIÓN TRIGONOMÉTRICA:

5.INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA 186

5.1 EJERCICIOS DE INTEGRALES CON INTEGRACIÓN

TRIGONOMÉTRICA. 189

5.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE INTEGRACIÓN TRIGONOMÉTRICA

6. FRACCIONES PARCIALES 243

6.1 EJERCICIOS CON FRACCIONES PARC IALES 245

6.2 EJERCICIOS PROPUES TOS DE FRACCIONES PARC IALES 324

ABREVIATURAS 325

APÉNDICE A 326

APÉNDICE B 327

APÉNDICE C 328

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 329

viii

AGRADECIMIENTO

Agradecimiento absoluto a mi creador Jehová, por la fortaleza y

bendición que le da a mi vida.

A mi esposa e hijos por ser mi mayor inspiración de esfuerzo y

sacrificio.

A la Universidad Estatal Península de Santa Elena por abrirme

sus puertas para compartir mis conocimientos como docente de la

asignatura Cálculo Integral.

A mis estudiantes de pregrado que, con su dedicación y el interés

por las matemáticas, hicieron posible este ejemplar.

2

1. INTEGRAL INDEFINIDA

1.1CONCEPTO DE INTEGRAL INDEFINIDA

Se tiene una función 𝒇

, existe otra función 𝑭′

en todo el

rango de x para el dominio de 𝒇 , que cumple la siguie nte

igualdad:

′

Entonces existe una función 𝑭

que se conoce como

antiderivada o integral indefinida.

Para la representación de esta integral se utiliza la simbología

, de tal forma que el teorema se representa de la siguie nte

manera:

′

Es decir que la función 𝒇

es integrable mientras que la función

corresponde a la integral indefinida de esa función. A 𝑪 se

la conoce como una constante de integración o una constante

arbitraria que no afecta en nada al proceso de integrac ió n

indefinida ya que al derivar una constante toma el valor de 0, por

el contrario si existiera una condición inicial para los valores del

rango (x) se tendría un valor diferente en 𝑪. (Purcell, E. et al.,

Por ejemplo:

4

2

′

3

3

4

2

3

1.2 INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE

LA INTEGRAL INDEFINIDA.

Considerando la definición anterior, la integral indefinida de una

función dada, se escribe siempre con una constante de

integración. Si una función f(x) está definida en un intervalo y

F(x) es un antiderivada (integral indefinida) de f(x), entonces el

conjunto de todas las antiderivadas de f(x), viene dado por las

funciones: 𝑭

+ 𝑪, siendo C una constante arbitraria o de

integración.

Al interpretar el significado de la constante de integración, se

observa el hecho de que la función f(x), es la derivada de la

función F(x), es decir que, para cada valor de x, f(x) le asigna la

pendiente de F(x). Si se dibuja en cada punto (x, y) del plano

cartesiano un pequeño segmento con pendiente f(x), se obtiene un

campo vectorial, como el que se muestra a continuación.

Entonces el problema de encontrar una función F(x), tal que su

derivada sea la función f(x) se convierte en el problema de

encontrar una función de la gráfica de la cual, en todos los puntos

sea tangente a los vectores del campo.

Figura 1. Esta figura muestra la gráfica de las diferentes antiderivadas de la

función f(x)=x; es decir ∫

𝒙 𝒅𝒙 =

𝒙

𝟐

𝟐

• 𝑪 ;𝒔𝒊 𝒚 𝒔𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒊 𝑭𝟏(𝒙) =

𝒙

𝟐

𝟐

𝟑; 𝑭𝟏

( 𝒙

)

𝒙

𝟐

𝟐

• 𝟑; 𝑭𝟐

( 𝒙

)

𝒙

𝟐

𝟐

• 𝟏; 𝑭𝟑

( 𝒙

)

𝒙

𝟐

𝟐

• 𝟎; 𝑭𝟒

( 𝒙

)

𝒙

𝟐

𝟐

− 𝟏

5

En el apéndice C se encuentran más integrales estándar.

1.5TÉCNICAS DE INTEGRACIÓN

Las técnicas de integración nos permiten obtener una función que

sea integrable por medio de teoremas definidos durante el proceso

de integración, como son:

Cambio de variable.

Integración por partes.

Integración Trigonométrica.

Sustitución Trigonométrica.

Fracciones Parciales.

6

2. CAMBIO DE VARIABLE

Este método de integración se utiliza cuando no se encuentra una

integral inmediata o estándar.

Se tiene

𝒇(𝒙) 𝒅𝒙 , se puede realizar el siguiente cambio de

variable,

′

(𝒕) 𝒅𝒕, donde 𝒖(𝒕) es una funció n

derivable.

Entonces

′

Para realizar el cambio de variable se debe reemplazar por la

nueva función 𝒖(𝒕) y completar el diferencial con respecto a la

misma función en t, de tal forma que se pueda integrar

inmediatamente. (Demidovich, B. et al., 2001)

2.1EJERCICIOS. - CAMBIO DE VARIABLE

𝟓

𝒙

𝟑

𝒙

𝟑

Solución.-

5

6

𝟔

𝟕

𝒙

𝟐

𝟐

𝒙

𝟐

Solución.-

7

8

𝟖

Cambio de Variable

𝑢 = 𝑠𝑒𝑛

(

𝑥

3

)

𝑑𝑢 =

1

3

𝑐𝑜𝑠

(

𝑥

3

) 𝑑𝑥

Cambio de Variable

𝑢 = 𝑡𝑎𝑛 (

𝑥

2

)

𝑑𝑢 =

1

2

sec

2

(

𝑥

2

) 𝑑𝑥

8

2 𝑢 − 2 ln|𝑢| + 2 (∫ 𝑢

2

2 𝑢 − 2 ln

3

2

• 6 𝑢 − 2 ln

− 2 ln

3

2

− 2 ln

𝑥 − 2 ln

− 4 ln

𝟏

𝟐

Solución.-

cos 𝑢 𝑑𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝑢 + 𝐶 =

𝟐

𝟑

Solución.-

1 / 2

3

2

𝟑

𝟑

𝟐

Solución.-

3

− 3

Cambio de Variable

𝑢 =

1

2

𝑥

𝑑𝑢 =

1

2

𝑑𝑥

Cambio de Variable

𝑢 = 𝑡

3

• 1

𝑑𝑢 = 3 𝑡

2

𝑑𝑡

Cambio de Variable

𝑢 = 3 𝑥

2

− 1

𝑑𝑢 = 6 𝑥 𝑑𝑥

9

− 2

− 2

𝟐

−𝟐

𝟐

𝟑

𝟐

𝟑

Solución.-

1 / 3

− 1 / 3

2 / 3

2

3

𝟑

𝟐

𝟐

𝟑

𝟑/𝟒

Solución.-

3 / 4

3 / 4

3 / 4

1 − 3 / 4

− 3 / 4

1 / 4

− 3 / 4

5 / 4

1

4

5 / 4

1

4

• 𝐶 =

5 / 4

1

4

• 𝐶 =

4

4

1

4

𝟒

𝟏

𝟒

Cambio de Variable

𝑢 = 𝑦

3

• 3 𝑦

2

• 4

𝑑𝑢 = 3 (𝑦

2

• 2 𝑦)𝑑𝑦

Cambio de Variable

𝑢 = 1 + 𝑤

𝑤 = 𝑢 − 1

𝑑𝑢 = 𝑑𝑤

11

𝒙 𝒔𝒆𝒏

(√ 𝒙

𝟐

+𝟒

)

√

𝒙

𝟐

+𝟒

Solución.-

𝑠𝑒𝑛 𝑢 𝑑𝑢 = − cos 𝑢 + 𝐶 =

𝟐

𝟔

𝟕

𝟖

𝟕

𝟗

Solución.-

cos 𝑢 + 𝐶 =

𝟕

𝟗

Solución.-

2

2

2

2

2

ln

Cambio de Variable

𝑢 =

( 𝑥

2

• 4

)

1 / 2

𝑑𝑢 =

𝑥

√𝑥

2

• 4

𝑑𝑥

Cambio de Variable

𝑢 =

( 7 𝑥

7

• 𝜋

)

9

𝑑𝑢 = 441 𝑥

6

(

7 𝑥

7

• 𝜋

)

8

𝑑𝑥

Cambio de Variable

𝑢 = √ 2 𝑥 + 1 ; 𝑢

2

=

( √ 2 𝑥 + 1

)

2

;

𝑢

2

− 1

2

= 𝑥

𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

√ 2 𝑥 + 1

; 𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

𝑢

; 𝑢 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥

12

−(ln|√ 2 𝑥 + 1 + 1 | − ln|√ 2 𝑥 + 1 − 1 | + 𝐶) =

Solución.-

ln

− ln | 4 𝑥|

ln| 2 𝑥|

ln| 4 𝑥|

2

2

𝟐

𝟐

𝟐

𝟒

Solución.-

𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎

2

𝑥 + cos

2

2

𝑥 + cos

2

2

𝑥 cos

4

𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑠𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒 𝑙𝑎 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑛 :

2

2

𝑥 cos

4

2

2

𝑥 cos

4

cos

4

2

𝑥 cos

2

𝑆𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝑙𝑎 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑡𝑟𝑖𝑔𝑜𝑛𝑜𝑚é𝑡𝑟𝑖𝑐𝑎 𝑝𝑖𝑡𝑎𝑔ó𝑟𝑖𝑐𝑎

𝑠𝑒𝑛

2

𝑥 + cos

2

𝑥 = 1

sec

4

2

𝑥 + cos

2

2

𝑥 cos

2

sec

2

𝑥 sec

2

2

2

𝑥 cos

2

2

2

2

Cambio de Variable

𝑢 = ln 2 𝑥 ; 𝑣 = ln 4 𝑥;

𝑑𝑢 =

𝑑𝑥

𝑥

; 𝑑𝑣 =

𝑑𝑥

𝑥