Figura 3.54 ¿Rodea el campo

de veloc idad a la curva C?

b) “ Barda” o “cort ina” de altura

variab le G(x, y) cuy a base es C

Figura 3.55 Una inte rpr etac ión

ge omét rica de una int egr al dp línea

Las unidades del tra bajo dependen de las unidades de IIFII y de las unidades de dista ncia.

□

H Circulación Se dice que una integral de línea de un campo vectorial F alrededor de

una curva cerrada simple C es la circ ulación de F alrede dor de C; esto es,

circulación = ® F • dr = ffl F ■ T ds.

Je J c

En particular, si F es el campo de velocidad de un fluido, entonces la circulación es una

medid a de la cantidad con la que el fluido tiende a ro dear a la curva C rotando, o circu

lando, alrede dor de ella. Por ejemplo, si F es perpe ndicular a T para todo (x, y) de C,

entonces fc F • T ds = 0, y la curva no se mueve. Por otro lado, f c F • T ds > 0 y f c F •

T ds < 0 significa que el fluido tiende a rotar a C en sentido contrario al de las manecillas

del reloj y en el sentido de la manecillas del reloj, respectiva mente; véase la figura 3.54.

Comentarios

En el caso de do s variab les, la integ ral de lín ea res pecto a la lon gitu d de arco

fc G(x, y) ds se interp reta geo métr icam ente cuando G(x, y) > 0 en C. En la defi

nición 3.9, el símbolo Ask rep rese nta la longi tud del sub arco £-ésim o d e la cur va

C. Pero de la f igur a que ac omp aña a es a definición, se tien e la ap roxim ació n

Ask = \ / ( A xk)2 + (Ay¿)2. Con esta inte rpretación de Ask se observa de la fig ura 3.55a)

que el p roducto G(x*, y*) Ask es el área de un rectáng ulo vertical de a ltura G(x*, y*)

y ancho Ask. La integral / cG(x, y) ds rep res enta entonces al área de u n lado de una

“barda” o “cortina” que se extiende desde ¡a curva C en el plano xy h asta la gráfica de

G(x, y) corresp ondiente a los pu ntos (x, y) de C; véase la figura 3.55b).

EJERC ICIOS 3.8 Las respuestas a los proble mas impares seleccio nados com ienza n en la página RESP-TÁ.

En los problema s del 1 al 4, calcule fc G(x, y) dx, fc G(x, y) dy y

fc G(x, y) ds en la curva C indicada.

1. G(x, y) = 2xy; x = 5 eos t, y = 5 sen (,0s t < tt/4

2. G(x, y) = x 3 + 2xy2 + 2x; x = 2t, y = t 2, 0 < t < 1

3. G(x, y) = 3x2 + 6y2; y = 2x + 1,-1 ír S O

4. G(x, y) = x 2/y3; 2y = 3x2/3, 1 < x < 8

En los problemas 5 y 6, calcule f c G(x, y, z) dx, f c G(x, y, z) dy,

f c G(x, y, z) dz y f c G(x, y, z) ds de la curva C indicada.

5. G(x, y, z) = z; x = eos t, y = sen t, z = t, 0 ^ t ^ -nll

6. G(x, y, z) = 4xyz; x =f y t \ y = i 2, z = 2f, 0 < t < 1

En los proble mas del 7 al 10, calcule f c (2x + y) dx + xy dy

entre los puntos (—1, 2) y (2, 5) de la curva C proporcionada.

7. y = x + 3 8. y = x 2 + 1

9. 10 .

(- 1.2)--

( - 1.0)

(2, 5)

*

(2, 0)

Figura 3.56 Curva C para

el pro blema 9

Figura 3.57 Curva C para

el pro blema 10

En los problemas del 11 al 14, calc ule f cy dx + x dy entre los

punto s (0, 0) y (1, 1) de la curva C proporcio nada.

11. y = x 12. y = x

13. C está formada por segmentos de línea desde (0, 0) hasta

(0 ,1) y desde (0, 1) hasta (1, 1).

20 0 CAPÍTULO 3 C álcu lo ve cto ria l