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99 PPoror: Ju: Juanan RaRamimirerezz
Ejercicio 5.2Ejercicio 5.
Podria interpretarse el vectorPodria interpretarse el vector AA == xx
22 yXyX
++ xyxy
22 YY
++ aa
33 ee
−−βyβy
coscos((αxαx))ZZ
concon a,αa,α,, ββ == constconst. como un campo. como un campo
electelectrico conservrico conservativativo?o? Si laSi la respuerespuesta essta es afirmatafirmativiva, encontra, encontrar elar el potenciapotenciall a partil dela partil del cual secual se
podria obtener por medio depodria obtener por medio de EE ((rr) =) = −∇∅−∇∅((rr).).
Para saber si A es un campo electrico conservativo verificamos que:Para saber si A es un campo electrico conservativo verificamos que:
∇∇XAXA
∇∇xAxA
== [[
∂x∂x
XX
∂y∂y
YY
∂z∂z
ZZ
]]XX [[xx
22 yXyX
++ xyxy
22 YY
++ aa
33 ee
−−βyβy
coscos((αxαx))ZZ
]]
XX YY ZZ
∂x∂x
∂y∂y
∂z∂z
xx
22
yy xyxy
22
aa
33
ee
−−βyβy
coscos((αxαx))
XX
[[
∂y∂y
((aa
33
ee
−−βyβy
coscos((αxαx))))
∂z∂z
((xyxy
22
)] +)] + YY
[[
∂z∂z
((xx
22
yy))
∂x∂x
((aa
33
ee
−−βyβy
coscos((αxαx))] +))] + ZZ
[[
∂x∂x
((xyxy
22
))
∂y∂y
((xx
22
yy)])]
∇∇xAxA == XX
[[−−aa
33
βeβe
−−βyβy
coscos((αxαx)] +)] + YY
[[aa
33
αeαe
−−βyβy
sensen((αxαx)] +)] + ZZ
[[yy
22
−− xx
22
]]
∇∇xAxA
0 El vector A no es un campo electrico conservativo0 El vector A no es un campo electrico conservativo
Ejercicio 5.3Ejercicio 5.
Dos cargas puntuales q y -q se encuentra sobre el eje z enDos cargas puntuales q y -q se encuentra sobre el eje z en zz == aa yy −−aa respectivrespectivamente.amente. EncontrarEncontrar ∅∅ enen
cualqcualquier punto (x,yuier punto (x,y,z).,z). DemostrDemostrar quear que el planoel plano xy esxy es una superficie equipotenuna superficie equipotencial ycial y enconencontrartrar
su potencial.su potencial. ExplicExplicar elar el resultresultadoado
Sea:Sea: ∅∅ ==
11
44 πεπε 00
qqii
RRii
rr == xXxX
++ yYyY
++ zZzZ
rr
11
== aZaZ^
rr
22
== −−aZaZ
RR
11 ==^
xXxX
++ yYyY^
+ (+ (zz^ −−^ aa))ZZ^
y tambieny tambien RR 22 == xXxX^
++ yYyY^
11
44 πεπε 00
qq
((xx
22 ++yy
22
+(+(zz−−aa))
22
xx
22 ++yy
22 +(+(zz++aa))
22
qq
44 πεπε 00
[[[[xx
22
++ yy
22
+ (+ (zz −− aa))
22
]]
−− 11
22
−− [[xx
22
++ yy
22
22
]]
−− 11
22 ]]
En el plano XY : un punto P(x,y)En el plano XY : un punto P(x,y)
rr == xXxX
++ yYyY
,, rr
== aZaZ
,, rr
== −−aZaZ
Sacamos los nuevos valores de R sustituyendo z en a y -aSacamos los nuevos valores de R sustituyendo z en a y -a
RR
11 ==^
xXxX
++ yYyY^
++ aZaZ^
⇒⇒ RR 22 == xXxX^
++ yYyY^
−− aZaZ^
qq
44 πεπε 00
[[[[xx
22
++ yy
22
++ aa
22
]]
−− 11
22
−− [[xx
22
++ yy
22
++ aa
22
]]
−− 11
22 ]]
qq
44 πεπε 00
00
[[[[xx
22 ++ yy
22 ++ aa
22 ]]
−− 11
22 −− [[xx
22 ++ yy
22 ++ aa
22 ]]
−− 11
22 ]]
El plano XY es una superficie equipotencial porqueEl plano XY es una superficie equipotencial porque
== 00 == ctecte. Cada carga esta a la misma distancian del. Cada carga esta a la misma distancian del
plano XYplano XY
Ejercicio 5.5Ejercicio 5.
Considerese un cubo de lado a con b localizacion y orientacion del cuerpo mostrado en la fig. Hay una cargaConsiderese un cubo de lado a con b localizacion y orientacion del cuerpo mostrado en la fig. Hay una carga
puntual,q, en cada uno de los vertices.Encontrarpuntual,q, en cada uno de los vertices.Encontrar ∅∅ en el centro de la cara para lo cual x=a.en el centro de la cara para lo cual x=a.
TTenemosenemos que:que: rr == aXaX
aa
22
YY
aa
22
ZZ
punto en el centro de la cara para lo cual x=a y que:punto en el centro de la cara para lo cual x=a y que:
rr
11
== 00 ;; rr
22
== aXaX
;; rr
33
== aXaX
++ aYaY
rr
44
== aYaY
;; rr
55
== aYaY
++ aZaZ
;; rr
66
== aZaZ
;; rr
77
== aXaX
++ aZaZ
;; aXaX
++ aYaY
++ aZaZ
Calculamos ahora las resultante de cada uno de los vertice del cubo:Calculamos ahora las resultante de cada uno de los vertice del cubo:
RR 11 == aXaX
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR
22
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR
33
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR
44 ==^
aXaX
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR
55
== aXaX
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR
66
== aXaX
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR 77 ==
aa
22
YY
aa
22
ZZ
RR
88
aa
22
YY
aa
22
ZZ
11
44 πεπε
00
qqii
RR
ii
qq
44 πaεπaε 00
[[
11
aa
22 +(+(
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
((
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
((
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
aa
22 +(+(
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
aa
22 +(+(
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
aa
22 +(+(
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
((
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
11
((
aa
22
))
22 +(+(
aa
22
))
22
]]
qq
44 πaεπaε 00
[[
44
aa
33
22
44
aa
√√
22
22
]] ⇒ ∅⇒ ∅ ==
qq
44 πεπε 00
[[
44
22
aa
33
88
aa
22
]]
qq
44 πaεπaε 00
[[
44
22
33
88
22
]]
1010 PPor: Eor: Ememersorsonn CasCasteltellanlanosos
Ejercicio 5.6Ejercicio 5.
En unaEn una cierta regioncierta region deldel espacio, elespacio, el campocampo el´el´ectricoectrico
EE eses constconstantante.e. DemosDemostrar que untrar que un potencpotencial adecuadoial adecuado
para este caso espara este caso es φφ == −−
EE ·· rr ++ φφ
00
Soluci´Soluci´onon
EE ==
EE
xx
ˆˆxx ++
EE
yy
yyˆˆ ++
EE
zz
zzˆˆ
EE == −− φφ
EE == −−
∂φ∂φ
∂x∂x
xxˆˆ (^) ++
∂∂ φφ
∂y∂y
yyˆˆ (^) ++
∂∂ φφ
∂z∂z
ˆˆzz
−−→→ ((EExx,, EEyy,, EEzz ) =) = −−((∂∂xxφ,φ, ∂∂yyφ,φ, ∂∂zz φφ))
∂φ∂φ
∂x∂x
== −−EE
xx
∂φ∂φ ==
−−EE
xx
dxdx == −−EE
xx
xx ++ ff ((y,y, zz) +) + φφ oo
∂φ∂φ
∂y∂y
== −−EE
yy
∂φ∂φ ==
−−EE
yy
dydy == −−EE
yy
yy ++ gg((x,x, zz) +) + φφ oo
∂φ∂φ
∂z∂z
== −−EE
zz
∂φ∂φ ==
−−EE
zz
dxdx == −−EE
zz
zz ++ hh((x,x, yy) +) + φφ oo
TTenemosenemos que:que:
ff ((y,y, zz) =) = −−EE
yy
yy −− EE
zz
zz
gg((x,x, zz) =) = −−EE
xx
xx −− EE
zz
zz
hh((x,x, yy) =) = −−EE
xx
xx −− EE
yy
yy
LuegoLuego
φφ((x,y,zx,y,z) =) = −−EE
xx
xx −− EE
yy
yy −− EE
zz
zz ++ φφ 00
φφ((x,y,zx,y,z) =) = −−[[EE
xx
xx ++ EE yy
yy ++ EE zz
zz] +] + φφ oo
φφ((x,y,zx,y,z) =) = −−[([(EE
xx
xx ++ EE yy
yy ++ EE zz
zz)) ·· ((xx ++ yy ++ zz)] +)] + φφ
oo
dondedonde rr == ((xx ++ yy ++ zz)) ;;
EE == ((EE
xx
xx ++ EE yy
yy ++ EE zz
zz))
φφ ((x,y,zx,y,z) =) = −−
EE ·· rr ++ φφ
00
Ejercicio 5.8Ejercicio 5.
Una esfera de radio a posee una carga total Q, distribuido uniformemente en todo su volumen. El centro deUna esfera de radio a posee una carga total Q, distribuido uniformemente en todo su volumen. El centro de
la esfera se encuentra en el punto (A,B,C). Encontrar el potencial electrost´la esfera se encuentra en el punto (A,B,C). Encontrar el potencial electrost´aticoatico φφ en cualquier punto (en cualquier punto (x,y,zx,y,z
fuera de las esfera y a partir de esto, las componentes rectangulares defuera de las esfera y a partir de esto, las componentes rectangulares de
EE (^) en este puntoen este punto
Soluci´Soluci´onon
QQ
ENEN CC ==^
ρdτρdτ (^) ==
ρρ chch
rr
22 senθsenθ
drdr
dθdθ
dφdφ
QQ
ENEN CC
== ρρ chch
22 ππ
00
ππ
00
aa
00
rr
22
senθsenθ
drdr
dθdθ
dφdφ
22 ππ
00
dφdφ
ππ
00
senθsenθ
dθdθ
aa
00
rr
22
QQ
ENEN CC ==
44 πρπρ chch
aa
33
cargacarga dede lala esfeesferara
rr == xxˆˆxx ++ yy yyˆˆ ++ zz ˆˆzz
rr
== AAxxˆˆ^ ++ BB^ yyˆˆ^ ++ CC^ zzˆˆ
RR == ((xx
AA)ˆ)ˆxx + (+ (yy
BB)ˆ)ˆyy + (+ (zz
CC )ˆ)ˆzz
|| RR ||==
((xx −− AA))
22
+ (+ (yy −− BB))
22
+ (+ (zz −− CC ))
22
φφ (^) ==
44 πεπε oo
qq
ii
RR
ii
φφ (^) ==
44 πεπε oo
44 πρπρ chch
aa
33
((xx −− AA))
22
+ (+ (yy −− BB))
22
+ (+ (zz −− CC ))
22
φφ ==
QQ
44 πεπε 00
((xx −− AA))
22
+ (+ (yy −− BB))
22
+ (+ (zz −− CC ))
22
11
22
Ejercicio 5.9Ejercicio 5.
Una esfera de radioUna esfera de radio aa^ posee una densidad de carga que varia con la distanciaposee una densidad de carga que varia con la distancia rr^ al centro, de acuerdo conal centro, de acuerdo con
ρρ == ArAr
22
, donde, donde AA == const.y nconst.y n ≥≥ 0. Encontrar0. Encontrar φφ para todos los puntos dentro y fuera de la esfera, por mediopara todos los puntos dentro y fuera de la esfera, por medio
de (5-7), y expresar los resultados en funci´de (5-7), y expresar los resultados en funci´on de la carga totalon de la carga total QQ de la esferade la esfera
(5-7)(5-7) φφ((rr) =) =
11
44 πεπε 00
VV
ρρ((rr
))dτdτ
RR
Soluci´Soluci´onon
Punto fuentePunto fuente rr == zz zzˆˆ
Punto de CampoPunto de Campo
rr
== rr
rr
RR == zz zzˆˆ −− rr rrˆˆ
RR ==
zzzz −− rr
rr
zzzz −− rr
rr
RR ==
zz
22 ++ rr
22
−− 22 cosθcosθ
φφ((rr) =) =
11
44 πεπε 00
VV
ArAr
nn rr
22 senθdrdθdϕsenθdrdθdϕ
RR
φφ((rr) =) =
11
44 πεπε 00
22 ππ
00
ππ
00
aa
00
ArAr
nn+2+ senθdrdθdϕsenθdrdθdϕ
zz
22 ++rr
22
−− 22 cosθcosθ
φφ((rr) =) =
11
44 πεπε 00
22 ππ
00
dϕdϕ
ππ
00
senθdθsenθdθ
zz
22 ++rr
22
−− 22 cosθcosθ
aa
00
ArAr
nn+2+ drdr
seauseau (^) == cosθcosθ
dudu == −−senθdθsenθdθ
AA
θθ
ππ
00
senθdθsenθdθ
zz^22 ++rr
22
−− 22 cosθcosθ
ππ
00
senθdθsenθdθ
zz^22 ++rr
22
−− 22 ruru
11
zrzr
((|| zz ++ rr || −− || zz −− rr ||))
AA
rr
aa
00
ArAr
nn+2+ drdr ==
aa
nn +3+
nn+3+
1111 PPoror: Os: Oscacarr LuLunana
Ejercicio 5.10Ejercicio 5.
EncontrarEncontrar φφ para todos los puntos dentro y fuera de la esfera de carga del ejecicio 4-11 por medio de (5-11).para todos los puntos dentro y fuera de la esfera de carga del ejecicio 4-11 por medio de (5-11).
GraficarGraficar φφ en funcion de r.en funcion de r.
Figure 8: esferaFigure 8: esfera
(5-11) ∆(5-11) ∆φφ == φφ ((
((
22
11
EE ·· dsds ==
22
11
EE ·· dsds
La Ley de gauss nos diceLa Ley de gauss nos dice
EdaEda ==
QQ
((
encenc))
((
El campo ElectricEl campo Electrico yo y el diferneel difernecial de area son encial de area son en la direcciola direccion den de r.r. Al efectuaAl efectuar elr el productproducto punto se haceno punto se hacen
igual a 1.igual a 1.
Tambien sabemos que por las formulas, dv de una esfera esTambien sabemos que por las formulas, dv de una esfera es
rr
22
senθdθdφsenθdθdφ
sustituimossustituimos
EE
∗∗ dada ==
22 ππ
00
ππ
00
ErEr
22
senθdθdφsenθdθdφ
Resolvemos las integrales(E sale de las integraes ya que es constante)Resolvemos las integrales(E sale de las integraes ya que es constante)
EE 44 πrπr
22
Con la Ley de Gauss nos queda queCon la Ley de Gauss nos queda que
EE
QQ
encenc
44 πrπr
22
rr
CASO 1CASO 1 procedeprocedemos a calcumos a calcular el potenclar el potencialial φφ fuera de la esfera de cargafuera de la esfera de carga
Del ejercicio nos proporcionanDel ejercicio nos proporcionan ρρ == ArAr
11 // 22
QQ
encenc
ArAr
11 // 22
∗∗ dada
El radio es: ’a’El radio es: ’a’
QQencenc^ == AA
22 ππ
00
ππ
00
aa
00
rr
55 // 22 senθdθdφdrsenθdθdφdr
ResolvemosResolvemos
QQencenc == AA
aa
77
22 22 ππ(2)(2)
Ahora sustituimos la carga encerrada con el valor que encontramosAhora sustituimos la carga encerrada con el valor que encontramos
EE
88 πaπa
77
22
77
44 πrπr
22 00
SimplificamosSimplificamos
EE
22 AaAa
77
22
77 rr
22 00
rr
Para calcular el potencial sabemos quePara calcular el potencial sabemos que φφ == −−
ErEr
∗∗ dsrdsr
El producto punto de ello nos quedaEl producto punto de ello nos queda φφ == −−
EE ∗∗ dsds
Ahora sustituimos los valores que encontramos para calcular el potencialAhora sustituimos los valores que encontramos para calcular el potencial
22 AaAa
77
22
77 00 rr
22
drdr
22 AaAa
77
22
00
drdr
rr
22
El potencial fuera de la esfera de carga esEl potencial fuera de la esfera de carga es
cuando (cuando (rr > a> a))
22 AaAa
77
22
rr
Ejercicio 5.11Ejercicio 5.
EncontrarEncontrar φφ en todos los puntos para la distribucion de carga del ejercicio 4-6.Expresar la respuesta enen todos los puntos para la distribucion de carga del ejercicio 4-6.Expresar la respuesta en
funcion de la densidad de carga constantefuncion de la densidad de carga constante ρρ, y graficar, y graficar φφ en funcion de r.en funcion de r.
Figure 10: esferaFigure 10: esfera
Por medio de la ley de GaussPor medio de la ley de Gauss
EE
∗∗ dada ==
QQ
encenc
00
El campo ElectricEl campo Electrico yo y el diferneel difernecial de area son encial de area son en la direcciola direccion den de r.r. Al efectuaAl efectuar elr el productproducto punto se haceno punto se hacen
igual a 1.igual a 1.
Tambien sabemos que por las formulas, dv de una esfera esTambien sabemos que por las formulas, dv de una esfera es
rr
22
senθdθdφsenθdθdφ
sustituimossustituimos
EE
∗∗ dada ==
22 ππ
00
ππ
00
ErEr
22
senθdθdφsenθdθdφ
Resolvemos las integrales(E sale de las integraes ya que es constante)Resolvemos las integrales(E sale de las integraes ya que es constante)
EE 44 πrπr
22
Con la Ley de Gauss nos queda queCon la Ley de Gauss nos queda que
EE
QQ
encenc
44 πrπr
22
rr
CASO 1CASO 1 CalculCalculo de el potenciao de el potencial fuera de la esfl fuera de la esfera de radiera de radio bo b ((rr >> bb))
QQ
encenc
ρρ chch
∗∗ dada
QQ
encenc
== ρρ chch
22 ππ
00
ππ
00
bb
aa
rr
22
senθdθdφdrsenθdθdφdr
Resolvemos la integralResolvemos la integral
QQ
encenc
ρρ chch
44 ππ
((bb
33
−− aa
33
))
ProcedProcedemos aemos a sustitsustituir lauir la cargcargaa enceencerradarrada
EE
ρρchch 44 ππ
33
((bb
33
−− aa
33 ))
44 πrπr
22 00
rr
SimplificamosSimplificamos
EE
ρρ chch
33 rr
22 00
((bb
33
−− aa
33 ))rr
ParParaa calcucalcularlar elel potencpotencialial φφ
EE ∗∗ dsds == −−
ρρ chch
33 rr
22 00
((bb
33
−− aa
33
))())(rr))
ρρ chch
((bb
33
−− aa
33 ))
drdr
rr
22
Como resultado nos queda que el potencialComo resultado nos queda que el potencial φφ para los puntos fuera de la esferapara los puntos fuera de la esfera ((rr >> bb)) eses
φφ ==
ρρ chch
((bb
33
−− aa
33
))
33 rr 00
CASO 2CASO 2 CalcuCalculo de el potencial entlo de el potencial entre las dos esferare las dos esferass ((a < r < ba < r < b))
QQencenc == ρρchch ∗∗ dada
QQ
encenc
== ρρ chch
22 ππ
00
ππ
00
rr
aa
rr
22
senθdθdφdrsenθdθdφdr
Resolvemos la integralResolvemos la integral
QQ
encenc
(^44) πρπρ chch
((rr
33
−− aa
33
))
ProcedProcedemos aemos a sustitsustituir lauir la cargcargaa enceencerradarrada
EE
44 πρπρchch
33
((rr
33
−− aa
33 ))
44 πrπr
22
00
rr
SimplificamosSimplificamos
CASO 3CASO 3 CalculCalculo de elo de el potencpotencial cuando se encueial cuando se encuentrntra dentro de la esfera de radio aa dentro de la esfera de radio a ((rr << aa))
QQ
encenc
Por lo tantoPor lo tanto
EE
elel potencpotencialial φφ nos quedanos queda
EE
∗∗ dsds
φφ == 0 0
Figure 11: grafico del potencial en funcion del radioFigure 11: grafico del potencial en funcion del radio
Ejercicio 5.12Ejercicio 5.
EncontrarEncontrar φφ para todos los puntos fuera y dentro del cilindrodescrito en el ejercicio 3-13.para todos los puntos fuera y dentro del cilindrodescrito en el ejercicio 3-13.
Figure 12: CilindroFigure 12: Cilindro
Sabemos que:Sabemos que:
EE
∗∗ dada
QQ
encenc
00
Ahora obtenemos el campo Electrico de todas las carasAhora obtenemos el campo Electrico de todas las caras
11
EE
∗∗ dada
22
EE
∗∗ −−dada
33
EE
∗∗ dada
QQ
encenc
00
11
EρEρ
∗∗ daρdaρ
22
EρEρ
∗∗ daρdaρ
33
EρEρ
∗∗ daρdaρ
QQ
encenc
00
se cancelan 1 y 2 ya que sus diferenciales de area van en direccion opuestase cancelan 1 y 2 ya que sus diferenciales de area van en direccion opuesta
33
EρEρ
∗∗ daρdaρ
QQ
encenc
00
El producto punto de dos vecotres iguales es 1El producto punto de dos vecotres iguales es 1
33
EE ∗∗ dada ==
QQencenc
00
El Campo es constante y sale de la integral, la altura es h y nos queda el da que es el siguienteEl Campo es constante y sale de la integral, la altura es h y nos queda el da que es el siguiente
EE
22 ππ
00
hh
00
ρdφdzρdφdz ==
QQ
encenc
00
Procedemos a integrar y el resultado esProcedemos a integrar y el resultado es
EρEρ 22 πhπh ==
QQ
encenc
00
El campo electrico esEl campo electrico es
EE ==
QQ
encenc
ρρ 22 πhπh
ρρ
CASO 2CASO 2 POTENCPOTENCIAL FUERA DEL CIIAL FUERA DEL CILINDRLINDROO ((rr << aa))
QQ
encenc
ρρ chch
∗∗ dada
como nuestro radio varia en los puntos dentro del cilindro lo tomaremos como rcomo nuestro radio varia en los puntos dentro del cilindro lo tomaremos como r
QQ
encenc
== ρρ chch
hh
00
22 ππ
00
rr
00
ρdρdφdzρdρdφdz
QQ
encenc
== ρρ chch
22 πhπh
rr
22
se cancela el 2 y nos quedase cancela el 2 y nos queda
QQ
encenc
== ρρ chch
πhrπhr
22
Ahora sustituimos la carga encerrada con el valor que encontramosAhora sustituimos la carga encerrada con el valor que encontramos
EE ==
QQ
encenc
ρρ 22 πhπh 00
ρρ
EE ==
ρρchchπhrπhr
22
ρρ 22 πhπh 00
ρρ
SimplificamosSimplificamos
EE ==
ρρ chch
rr
22
ρρ 22 00
ρρ
Potencial electrostatico seraPotencial electrostatico sera
EE ∗∗ dρdρ
φφ ==
ρρ chch
rr
22
ρρ 22
00
dρdρ
continuamos resolviendocontinuamos resolviendo
ρρchchrr
22
00
dρdρ
ρρ
como resultado nos queda que el potencial fuera del cilindrocomo resultado nos queda que el potencial fuera del cilindro
((rr << aa))
es igual aes igual a
ρρ chch
rr
22
lnρlnρ
