Ejercicios estadistica, Ejercicios de Estadística

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UNIVERSIDAD DISTRITAL FRANCISCO JOSE DE CALDAS

FACULTAD DE INGENIERIA

ASIGNATURA: ESTADISTICA INFERENCIAL Y DISEÑO DE EXPERIMENTOS

TALLER N° 4: VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

V. OTRAS DISTRBUCIONES CONTINUAS

66. La duración X (en de cierto tipo de tubos al vacío en cientos de horas) tiene una distribución Weibull con parámetros . Calcule lo siguiente:

(a) E(X) y V(X) (b)

(c)

67. En un artículo de una revista científica sugieren que la “distribución Weibull se utiliza ampliamente en problemas de estadística relacionadas con el envejecimiento de materiales aislantes sólidos sujetos a envejecimiento y esfuerzo”. Proponen el uso de la distribución como modelo para el tiempo (en horas) para la falla de especímenes aislantes sólidos sometidos a un voltaje de CA. Los valores de los parámetros dependen del voltaje y temperatura; suponga (valores sugeridos por los datos de ese artículo).

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un especímen sea a lo sumo 200? ¿Menos de 200? ¿Más de 300?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la duración de un especímen esté entre 100 y 200?

(c) ¿Qué valor es tal que exactamente 50% de todos los especímenes tengan duraciones que excedan ese valor?

68. Sea X = el tiempo (en 10 –^1 semanas) del envío de un producto defectuoso hasta que el cliente regresa el producto. Suponga que el tiempo mínimo de devolución es y que el exceso X – 3,5 sobre el mínimo tiene una distribución Weibull con parámetros .

(a) ¿Cuál es el cdf de X?

(b) ¿Cuáles son el tiempo esperado de devolución y la varianza? [SUGERENCIA : Primero obtenga E(X – 3,5) y V(X – 3,5).]

(c) Calcule

(d) Calcule

69. Haga que X tenga una distribución Weibull con el pdf correspondiente a ésta. Verifique que ⁄^. [ SUGERENCIA : En la integral para E(X), haga el cambio de variable (^) ⁄ para que ⁄ (^) .]

70. (a) En el ejercicio 66, ¿cuál es la mediana de la duración de tales tubos? [ SUGERENCIA : Utilice la cdf de una va Weibull).

(b) En el ejercicio 68, ¿cuál es la mediana del tiempo de duración?

(c) Si X tiene una distribución Weibull con la cdf correspondiente a ésta, obtenga una expresión general para el (100p) avo percentil de la distribución.

(d) En el ejercicio 68, la compañía desea rechazar o aceptar devoluciones después de

t semanas. ¿Para qué valor de t serán rechazadas sólo el 10% de todas las devoluciones?

71. En el ejemplo desarrollado en clase donde X = la potencia mediana horaria (en decibeles) de señales de radio recibidas y transmitidas entre dos ciudades, en el que X tiene una distribución lognormal con parámetros calcule lo siguiente:

(a)

(b)

72. (a) Utilice la ecuación de la cdf de la distribución lognormal para escribir una fórmula para la mediana de ésta distribución. ¿Cuál es la mediana para la distribución de potencia del ejemplo mencionado en el ejercicio 71?

(b) Si recordamos que es la notación usada para el 100(1 - percentil de la distribución normal estándar, escriba una expresión para el 100( percentil de la distribución lognormal. Para el mismo ejemplo mencionado en el ejercicio 71, ¿arriba de qué valor será la mediana de la potencia sólo 5% del tiempo?

73. Una justificación teórica, basada en el mecanismo de falla de cierto material, sirve de fundamento a la suposición de que la resistencia a la ductilidad X de un material tiene una distribución lognormal. Suponga que los parámetros son

(a) Calcule E(X) y V(X)

(b) Calcule

(c) Calcule

(d) ¿Cuál es el valor de la mediana de la resistencia a la ductilidad?

(e) Si diez muestras diferentes de una aleación de acero de este tipo se someten a una prueba de resistencia, ¿cuántas debería

esperarse que tuvieran resistencia de por lo menos 120?

(f) Si fueran el 5% de los valores más pequeños de resistencia, ¿cuál sería la resistencia mínima aceptable?

74. Un artículo de una revista científica sugiere la distribución lognormal como un modelo para la concentración de SO 2 sobre cierto bosque. Suponga que los valores de parámetro son.

(a) ¿Cuáles son el valor medio y la desviación estándar de la concentración?

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que la concentración sea a lo sumo 10? ¿Entre 5 y 10?

75. ¿Qué condición sobre es necesaria para que la pdf beta estándar sea simétrica? 76. Suponga que la proporción X de área superficial de un cuadrante seleccionado al azar, cubierto por cierta planta, tiene una distribución beta estándar con.

(a) Calcule E(X) y V(X)

(b) Calcule

(c) Calcule

(d) ¿Cuál es la proporción esperada de la región de muestreo no cubierta por la planta?

77. Haga que X tenga una densidad beta estándar con parámetros.

(a) Verifique la fórmula dada para E(X).

(b) Calcule. Si X representa la proporción de una sustancia que contiene un ingrediente en particular, ¿cuál es la proporción esperada de que no esté formada por este ingrediente?

78. Se aplica esfuerzo a una barra de acero de 20 pulgadas que está sujeta en una posición fija en cada extremo. Sea Y = la distancia desde el extremo izquierdo en el